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9 转化与化归思想 如图，正方形网格中每一个小正方形的边长均为1，点A，B，C为格点（小正方形的顶点为格点），D为AC与网格线的交点，则∠ADB−∠ABD=
（第9题）
45
°。（第9题）答案
9. 45
10 如图，点A，B，C，D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长均为1，则AO的长为
2
。答案
10. 2 【解析】如图,连接$AE,ED$.由勾股定理,易得$AD=5$. $\because DE=5$,$\therefore AD=DE$,$\therefore ∠DAE=∠DEA$.由网格的特征,得 $AE // BC$, $\therefore ∠DAE = ∠DOC$, $∠DEA = ∠DCO$, $\therefore ∠DOC=∠DCO$,$\therefore DO=DC=3$,$\therefore AO=AD-DO=5-3=2$.
11 如图所示为一张三角形纸片$ABC$，$∠ C=90°$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$. 现将纸片折叠，使点$A$与点$B$重合，那么折痕$DE$的长为
$\frac{15}{4}$
$\mathrm{cm}$.答案
11. $\frac{15}{4}$
12 新情境 生活实际 如图，一只蚂蚁沿着棱长为1 dm的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B.如果它爬行的路径是最短的，那么最短路径的长为
$\sqrt{10}$
dm.答案
12. $\sqrt{10}$
13 方程思想 “四好农村路”的建设是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中$AB=BC$，现要在公路$BC$边修建一个景点$M$（$B$，$C$，$M$在同一条直线上），为方便$A$村村民到达景点$M$，又修建了一条公路$AM$，测得$AC=13\ \mathrm{km}$，$CM=5\ \mathrm{km}$，$AM=12\ \mathrm{km}$.
（1）判断$△ ACM$的形状，并说明理由；
（2）求公路$AB$的长.
（1）判断$△ ACM$的形状，并说明理由；
（2）求公路$AB$的长.
答案
13. (1) $△ ACM$ 是直角三角形 理由:$\because AC=13\ \mathrm{km}$,$CM=5\ \mathrm{km}$,$AM=12\ \mathrm{km}$, $\therefore CM^2+AM^2 = 5^2 + 12^2 = 169(\mathrm{km}^2)$,$AC^2=13^2=169(\mathrm{km}^2)$,$\therefore CM^2+AM^2=AC^2$,$\therefore △ ACM$ 是直角三角形,$∠AMC=90°$.
(2) 设$AB=BC=x\ \mathrm{km}$,则$BM=(x-5)\mathrm{km}$. $\because ∠AMC=90°$,$∠AMB+∠AMC=180°$,$\therefore ∠AMB=90°$.在$\mathrm{Rt}△ ABM$ 中,由勾股定理,得 $AM^2+BM^2=AB^2$,即$12^2+(x-5)^2=x^2$,解得 $x=16.9$,即 $AB=16.9\ \mathrm{km}$.答:公路$AB$的长为 $16.9\ \mathrm{km}$
(2) 设$AB=BC=x\ \mathrm{km}$,则$BM=(x-5)\mathrm{km}$. $\because ∠AMC=90°$,$∠AMB+∠AMC=180°$,$\therefore ∠AMB=90°$.在$\mathrm{Rt}△ ABM$ 中,由勾股定理,得 $AM^2+BM^2=AB^2$,即$12^2+(x-5)^2=x^2$,解得 $x=16.9$,即 $AB=16.9\ \mathrm{km}$.答:公路$AB$的长为 $16.9\ \mathrm{km}$
14 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,$CD⊥ AB$,$BE⊥ AC$,垂足分别为$D$,$E$,$F$为$BC$的中点,$BE$与$DF$,$DC$分别交于点$G$,$H$,$∠ ABE=∠ CBE$.
(1) 线段$BH$与$CA$相等吗? 若相等,请给予证明;若不相等,请说明理由.
(2) 求证:$BG^2 - GE^2 = EA^2$.
(1) 线段$BH$与$CA$相等吗? 若相等,请给予证明;若不相等,请说明理由.
(2) 求证:$BG^2 - GE^2 = EA^2$.
答案
14. (1) 相等 $\because CD⊥AB$,$BE⊥AC$,$\therefore ∠BDC=∠CDA=∠BEA=90°$,$\therefore ∠A+∠DCA=90°$,$∠A+∠ABE=90°$,$\therefore ∠ABE=∠DCA$. 又 $\because ∠ABC=45°$, $\therefore$ 易得 $∠BCD=∠ABC=45°$, $\therefore DC = DB$. 在 $△ DBH$ 和 $△ DCA$ 中,
$\begin{cases}∠DBH=∠DCA,\\DB=DC,\\∠BDH=∠CDA,\end{cases}$
$\therefore △ DBH≌△ DCA$,$\therefore BH=CA$
(2) 如图,连接 $CG$. $\because F$ 为 $BC$ 的中点,$DB=DC$,$\therefore DF$ 垂直平分 $BC$,$\therefore BG=CG$. $\because BE⊥AC$,$\therefore ∠BEA=∠BEC=90°$. 在 $△ ABE$ 和 $△ CBE$ 中,
$\begin{cases}∠ABE=∠CBE,\\BE=BE,\\∠BEA=∠BEC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CBE$,$\therefore EA=EC$. $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ CGE$ 中,由勾股定理,得 $CG^2-GE^2=EC^2$,$\therefore BG^2-GE^2=EA^2$
