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1. 计算$(-\dfrac{2}{5})^{2024} × (-\dfrac{5}{2})^{2025}$的结果是 （）
A.$\dfrac{2}{5}$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$-\dfrac{2}{5}$
D.$-\dfrac{5}{2}$
A.$\dfrac{2}{5}$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$-\dfrac{2}{5}$
D.$-\dfrac{5}{2}$
答案
D
解析
先将$(-\frac{5}{2})^{2025}$变形为$(-\frac{5}{2})^{2024} × (-\frac{5}{2})$，利用积的乘方逆运算$a^n · b^n=(ab)^n$计算：
原式$=(-\frac{2}{5})^{2024} × (-\frac{5}{2})^{2024} × (-\frac{5}{2})$
$=[(-\frac{2}{5}) × (-\frac{5}{2})]^{2024} × (-\frac{5}{2})$
$=1^{2024} × (-\frac{5}{2})$
$=-\frac{5}{2}$
原式$=(-\frac{2}{5})^{2024} × (-\frac{5}{2})^{2024} × (-\frac{5}{2})$
$=[(-\frac{2}{5}) × (-\frac{5}{2})]^{2024} × (-\frac{5}{2})$
$=1^{2024} × (-\frac{5}{2})$
$=-\frac{5}{2}$
2. 下列计算中，结果等于$a^{2n}$的是 （）
A.$a^n + a^n$
B.$(a^n)^2$
C.$(a^n)^n$
D.$a^n · a^2$
A.$a^n + a^n$
B.$(a^n)^2$
C.$(a^n)^n$
D.$a^n · a^2$
答案
B
解析
分别计算各选项：
A. $a^n + a^n = 2a^n$，结果不等于$a^{2n}$；
B. 由幂的乘方法则可得：$(a^n)^2 = a^{n×2}=a^{2n}$，结果等于$a^{2n}$；
C. 由幂的乘方法则可得：$(a^n)^n = a^{n^2}$，结果不等于$a^{2n}$；
D. 由同底数幂乘法法则可得：$a^n · a^2 = a^{n+2}$，结果不等于$a^{2n}$。
综上，结果等于$a^{2n}$的是选项B。
A. $a^n + a^n = 2a^n$，结果不等于$a^{2n}$；
B. 由幂的乘方法则可得：$(a^n)^2 = a^{n×2}=a^{2n}$，结果等于$a^{2n}$；
C. 由幂的乘方法则可得：$(a^n)^n = a^{n^2}$，结果不等于$a^{2n}$；
D. 由同底数幂乘法法则可得：$a^n · a^2 = a^{n+2}$，结果不等于$a^{2n}$。
综上，结果等于$a^{2n}$的是选项B。
3. 若$a=(-\dfrac{3}{4})^{-2}$，$b=(-\dfrac{1}{2})^{0}$，$c=0.75^{-1}$，则$a,b,c$三个数的大小关系是（）
A.$a＞b＞c$
B.$c＞a＞b$
C.$a＞c＞b$
D.$c＞b＞a$
A.$a＞b＞c$
B.$c＞a＞b$
C.$a＞c＞b$
D.$c＞b＞a$
答案
C
解析
根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则分别计算三个数：
1. 计算$a$：$a=(-\dfrac{3}{4})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{3}{4})^2}=\dfrac{1}{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{16}{9}$
2. 计算$b$：任意非零数的0次幂为1，故$b=(-\dfrac{1}{2})^0=1$
3. 计算$c$：$c=0.75^{-1}=(\dfrac{3}{4})^{-1}=\dfrac{4}{3}$
比较大小：$\dfrac{16}{9}＞\dfrac{4}{3}＞1$，即$a＞c＞b$
1. 计算$a$：$a=(-\dfrac{3}{4})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{3}{4})^2}=\dfrac{1}{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{16}{9}$
2. 计算$b$：任意非零数的0次幂为1，故$b=(-\dfrac{1}{2})^0=1$
3. 计算$c$：$c=0.75^{-1}=(\dfrac{3}{4})^{-1}=\dfrac{4}{3}$
比较大小：$\dfrac{16}{9}＞\dfrac{4}{3}＞1$，即$a＞c＞b$
4.若$2× 4^{m}× 8^{m}=2^{31}$，则$m$的值为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
D
解析
先将等式左边的项全部转化为以2为底的幂：
因为$4^m=(2^2)^m=2^{2m}$，$8^m=(2^3)^m=2^{3m}$，
代入原式得：$2×2^{2m}×2^{3m}=2^{1+2m+3m}=2^{1+5m}$，
结合等式$2×4^m×8^m=2^{31}$，可得同底数幂的指数相等：
$1+5m=31$，
解得$5m=30$，$m=6$。
因为$4^m=(2^2)^m=2^{2m}$，$8^m=(2^3)^m=2^{3m}$，
代入原式得：$2×2^{2m}×2^{3m}=2^{1+2m+3m}=2^{1+5m}$，
结合等式$2×4^m×8^m=2^{31}$，可得同底数幂的指数相等：
$1+5m=31$，
解得$5m=30$，$m=6$。
5.若$3^m=2$，$3^n=5$，则$3^{m+n}$的值是（）
A.7
B.10
C.15
D.90
A.7
B.10
C.15
D.90
答案
B
解析
根据同底数幂的乘法法则：$a^{m+n}=a^m· a^n$，可得$3^{m+n}=3^m·3^n$，将$3^m=2$，$3^n=5$代入，计算得$3^{m+n}=2×5=10$。
6. 已知$3^m=6$，$(\dfrac{1}{3})^n=2$，则$3^{m-n}=$（）
A.3
B.4
C.8
D.12
A.3
B.4
C.8
D.12
答案
D
解析
根据负整数指数幂的性质，可得$(\frac{1}{3})^n=3^{-n}=2$。
由同底数幂的运算法则，$3^{m-n}=3^{m+(-n)}=3^m × 3^{-n}$。
将$3^m=6$、$3^{-n}=2$代入，得$3^{m-n}=6×2=12$。
由同底数幂的运算法则，$3^{m-n}=3^{m+(-n)}=3^m × 3^{-n}$。
将$3^m=6$、$3^{-n}=2$代入，得$3^{m-n}=6×2=12$。
7. 2024年6月4日，嫦娥六号在月球背面成功展开五星红旗，该旗帜采用玄武岩纤维材料制成，可耐受月球上的极端环境，其纤维直径约为0.000 016 7 m。数据0.000 016 7用科学记数法可表示为 （）
A.$1.67× 10^{5}$
B.$0.167× 10^{-4}$
C.$1.67× 10^{-5}$
D.$16.7× 10^{-6}$
A.$1.67× 10^{5}$
B.$0.167× 10^{-4}$
C.$1.67× 10^{-5}$
D.$16.7× 10^{-6}$
答案
C
解析
绝对值小于1的正数用科学记数法表示的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为原数左起第一个非零数字前所有0的个数。对于0.0000167，左起第一个非零数字是1，其前面共有5个0，可得$0.0000167=1.67×10^{-5}$，符合规范的是选项C。
8. 如图，在数学兴趣活动中，小聪将两根长度相同的铁丝分别做成甲、乙两个长方形，其面积分别为$S_1,S_2$,则$S_1 - S_2$的值是（）
A.$16m$
B.$16m+27$
C.$27$
D.$3$
A.$16m$
B.$16m+27$
C.$27$
D.$3$
答案
D
解析
首先计算甲长方形的周长：$C_甲=2[(m+5)+(m+3)]=4m+16$。
由两根铁丝长度相同，可知乙长方形周长也为$4m+16$，因此乙的长为：$\frac{4m+16}{2}-(m+2)=m+6$。
计算甲的面积：$S_1=(m+5)(m+3)=m^2+8m+15$，
计算乙的面积：$S_2=(m+6)(m+2)=m^2+8m+12$，
因此$S_1-S_2=(m^2+8m+15)-(m^2+8m+12)=3$。
由两根铁丝长度相同，可知乙长方形周长也为$4m+16$，因此乙的长为：$\frac{4m+16}{2}-(m+2)=m+6$。
计算甲的面积：$S_1=(m+5)(m+3)=m^2+8m+15$，
计算乙的面积：$S_2=(m+6)(m+2)=m^2+8m+12$，
因此$S_1-S_2=(m^2+8m+15)-(m^2+8m+12)=3$。
