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1. 下列各组数据中,是勾股数的是(
A.8,10,6
B.1,1,$\sqrt{2}$
C.0.3,0.4,0.5
D.5,12,14
A
)A.8,10,6
B.1,1,$\sqrt{2}$
C.0.3,0.4,0.5
D.5,12,14
答案
1.A
解析
【分析】
要判断一组数是否为勾股数，需紧扣勾股数的两个判定条件：①三个数都必须是正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先根据第一个条件排除不符合的选项，再对剩余选项用勾股定理验证即可得到正确答案。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数。
选项B：含有无理数$\sqrt{2}$，不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
选项C：三个数都是小数，不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
选项A：6、8、10均为正整数，且$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足勾股定理，是勾股数；
选项D：5、12、14均为正整数，但$5^2+12^2=25+144=169$，$14^2=196$，$169≠196$，不满足勾股定理，不是勾股数。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，仅验证平方和关系导致错选，解题时要先判断数的类型，再验证勾股定理是否成立。
【难度系数】
0.8
要判断一组数是否为勾股数，需紧扣勾股数的两个判定条件：①三个数都必须是正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先根据第一个条件排除不符合的选项，再对剩余选项用勾股定理验证即可得到正确答案。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数。
选项B：含有无理数$\sqrt{2}$，不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
选项C：三个数都是小数，不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
选项A：6、8、10均为正整数，且$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足勾股定理，是勾股数；
选项D：5、12、14均为正整数，但$5^2+12^2=25+144=169$，$14^2=196$，$169≠196$，不满足勾股定理，不是勾股数。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，仅验证平方和关系导致错选，解题时要先判断数的类型，再验证勾股定理是否成立。
【难度系数】
0.8
2.在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$对边分别是$a$，$b$，$c$，下列条件不能判断$△ ABC$为直角三角形的是（
A.$∠ C=∠ A+∠ B$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
C.$c^2=a^2-b^2$
D.$a:b:c=1:1:\sqrt{2}$
B
）A.$∠ C=∠ A+∠ B$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
C.$c^2=a^2-b^2$
D.$a:b:c=1:1:\sqrt{2}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查直角三角形的判定，解题时可分别从“内角含90°”和“三边满足勾股定理逆定理”两个方向出发，对每个选项逐一验证，最终选出无法判定△ABC为直角三角形的选项即可。
【解析】
我们对每个选项依次分析：
选项A：根据三角形内角和为180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，已知∠C=∠A+∠B，代入得2∠C=180°，解得∠C=90°，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
选项B：已知∠A:∠B:∠C=3:4:5，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，根据内角和为180°，得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，因此三个内角分别为45°、60°、75°，无直角，不能判定△ABC是直角三角形，符合题意。
选项C：将条件c²=a²-b²移项可得a²=b²+c²，符合勾股定理逆定理，可知∠A为直角，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
选项D：设a=k，b=k，c=√2k（k＞0），计算得a²+b²=k²+k²=2k²，c²=(√2k)²=2k²，即a²+b²=c²，符合勾股定理逆定理，可知∠C为直角，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的判定、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础考查题，覆盖了直角三角形的两类判定方法，解题时需注意区分角的比例和边的比例的不同应用，避免混淆概念导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的判定，解题时可分别从“内角含90°”和“三边满足勾股定理逆定理”两个方向出发，对每个选项逐一验证，最终选出无法判定△ABC为直角三角形的选项即可。
【解析】
我们对每个选项依次分析：
选项A：根据三角形内角和为180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，已知∠C=∠A+∠B，代入得2∠C=180°，解得∠C=90°，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
选项B：已知∠A:∠B:∠C=3:4:5，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，根据内角和为180°，得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，因此三个内角分别为45°、60°、75°，无直角，不能判定△ABC是直角三角形，符合题意。
选项C：将条件c²=a²-b²移项可得a²=b²+c²，符合勾股定理逆定理，可知∠A为直角，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
选项D：设a=k，b=k，c=√2k（k＞0），计算得a²+b²=k²+k²=2k²，c²=(√2k)²=2k²，即a²+b²=c²，符合勾股定理逆定理，可知∠C为直角，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的判定、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础考查题，覆盖了直角三角形的两类判定方法，解题时需注意区分角的比例和边的比例的不同应用，避免混淆概念导致出错。
【难度系数】
0.8
3.如图，在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$OA=2$，$AB=1$，OA在数轴上，以O为圆心，OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C表示的实数是（
A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$2.5$
C
）A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$2.5$
答案
3.C
解析
【分析】
首先观察图形，△OAB为直角三角形，已知两条直角边的长度，可先利用勾股定理求出斜边OB的长度；再根据同圆半径相等的性质，得到弧的半径OC与OB长度相等；最后结合点C在数轴正半轴的位置，即可确定点C表示的实数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△OAB$中，$∠ OAB=90°$，已知$OA=2$，$AB=1$，根据勾股定理可得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
∵ 以O为圆心，OB为半径画弧交数轴正半轴于点C
∴ $OC=OB=\sqrt{5}$
点C在数轴正半轴，因此点C表示的实数为$\sqrt{5}$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，数轴与实数
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题，将勾股定理和圆的性质结合考查数轴上无理数的表示，解题关键是熟练掌握勾股定理的运算，以及同圆半径相等的性质。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，△OAB为直角三角形，已知两条直角边的长度，可先利用勾股定理求出斜边OB的长度；再根据同圆半径相等的性质，得到弧的半径OC与OB长度相等；最后结合点C在数轴正半轴的位置，即可确定点C表示的实数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△OAB$中，$∠ OAB=90°$，已知$OA=2$，$AB=1$，根据勾股定理可得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
∵ 以O为圆心，OB为半径画弧交数轴正半轴于点C
∴ $OC=OB=\sqrt{5}$
点C在数轴正半轴，因此点C表示的实数为$\sqrt{5}$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，数轴与实数
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题，将勾股定理和圆的性质结合考查数轴上无理数的表示，解题关键是熟练掌握勾股定理的运算，以及同圆半径相等的性质。
【难度系数】
0.8
4.某中学为准备“十四岁青春仪式”，原计划由八(1)班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务。如果这4个小组的人数相等，设每个小组有学生x名，根据题意可列方程为(
A.$\frac{360}{4x} - \frac{360}{3x} = 3$
B.$\frac{360}{3x} - \frac{360}{4x} = 3$
C.$\frac{360}{x+3} - \frac{360}{x} = 1$
D.$\frac{360}{x} - \frac{360}{x+3} = 1$
B
)A.$\frac{360}{4x} - \frac{360}{3x} = 3$
B.$\frac{360}{3x} - \frac{360}{4x} = 3$
C.$\frac{360}{x+3} - \frac{360}{x} = 1$
D.$\frac{360}{x} - \frac{360}{x+3} = 1$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中的等量关系：实际每名学生做的彩旗数 - 原计划每名学生做的彩旗数 = 3。接下来分别表示出原计划和实际的人均彩旗数即可：①原计划由4个小组完成，总人数为4x，总工作量是360面，因此原计划人均做$\frac{360}{4x}$面；②实际由3个小组完成，总人数为3x，因此实际人均做$\frac{360}{3x}$面。将两个代数式代入等量关系就能列出对应方程。
【解析】
设每个小组有学生x名。
1. 原计划总人数为$4x$名，原计划人均制作彩旗数为$\frac{360}{4x}$面；
2. 实际参与制作的总人数为$3x$名，实际人均制作彩旗数为$\frac{360}{3x}$面；
3. 根据“实际每名学生比原计划多做3面彩旗”的等量关系，可列方程：
$\frac{360}{3x} - \frac{360}{4x} = 3$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
分式方程应用、等量关系判定
【点评】
本题属于基础的实际问题列方程类题型，解题核心是准确找到两种情况的人均工作量，理清两个量的大小关系，避免出现被减数和减数颠倒的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确题目中的等量关系：实际每名学生做的彩旗数 - 原计划每名学生做的彩旗数 = 3。接下来分别表示出原计划和实际的人均彩旗数即可：①原计划由4个小组完成，总人数为4x，总工作量是360面，因此原计划人均做$\frac{360}{4x}$面；②实际由3个小组完成，总人数为3x，因此实际人均做$\frac{360}{3x}$面。将两个代数式代入等量关系就能列出对应方程。
【解析】
设每个小组有学生x名。
1. 原计划总人数为$4x$名，原计划人均制作彩旗数为$\frac{360}{4x}$面；
2. 实际参与制作的总人数为$3x$名，实际人均制作彩旗数为$\frac{360}{3x}$面；
3. 根据“实际每名学生比原计划多做3面彩旗”的等量关系，可列方程：
$\frac{360}{3x} - \frac{360}{4x} = 3$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
分式方程应用、等量关系判定
【点评】
本题属于基础的实际问题列方程类题型，解题核心是准确找到两种情况的人均工作量，理清两个量的大小关系，避免出现被减数和减数颠倒的错误。
【难度系数】
0.7
5.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，点D，E分别为BC，AC中点，若$AE=4$，$BD=5$，则AB的长为(
A.9
B.7
C.6
D.8
C
)A.9
B.7
C.6
D.8
答案
5.C
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，看到点E是AC中点、点D是BC中点，根据线段中点的性质，可将已知的AE、BD长度转化为AC、BC的长度；第二步，已知△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，已经求出两条边AC、BC的长度，直接利用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵点E是AC的中点，AE=4
∴AC=2AE=2×4=8
∵点D是BC的中点，BD=5
∴BC=2BD=2×5=10
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，由勾股定理得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
∴$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先利用线段中点的性质求出直角三角形的斜边和一条直角边的长度，再结合勾股定理计算未知边长，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，看到点E是AC中点、点D是BC中点，根据线段中点的性质，可将已知的AE、BD长度转化为AC、BC的长度；第二步，已知△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，已经求出两条边AC、BC的长度，直接利用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵点E是AC的中点，AE=4
∴AC=2AE=2×4=8
∵点D是BC的中点，BD=5
∴BC=2BD=2×5=10
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，由勾股定理得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
∴$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先利用线段中点的性质求出直角三角形的斜边和一条直角边的长度，再结合勾股定理计算未知边长，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
6.如图,在四边形ABCD中,AB=3,BC=$\sqrt{2}$,CD=1,AD=2$\sqrt{3}$,且∠BCD=90°,则四边形ABCD的面积为(
A.$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C.$2+2\sqrt{21}$
D.$3+\sqrt{21}$
A
)A.$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C.$2+2\sqrt{21}$
D.$3+\sqrt{21}$
答案
6.A
解析
【分析】
要求不规则四边形ABCD的面积，可将其拆分为△ABD和△BCD两个三角形分别计算面积后求和。首先利用△BCD是直角三角形的条件，通过勾股定理求出公共边BD的长度；再通过勾股定理的逆定理判断△ABD是否为直角三角形，若为直角三角形即可分别计算两个三角形的面积，相加得到四边形的总面积。
【解析】
1. 计算BD的长度：
在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=$\sqrt{2}$，CD=1，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2+CD^2=(\sqrt{2})^2+1^2=3$，所以$BD=\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根）。
2. 判断△ABD的形状：
已知AB=3，AD=$2\sqrt{3}$，计算得：
$AB^2+BD^2=3^2+(\sqrt{3})^2=9+3=12$，$AD^2=(2\sqrt{3})^2=12$，
所以$AB^2+BD^2=AD^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABD是直角三角形，且∠ABD=90°。
3. 计算两个三角形的面积并求和：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC × CD=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × BD=\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
所以四边形ABCD的面积$S=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是将不规则四边形拆分为两个三角形求解，先通过勾股定理计算公共边长度，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形，属于几何图形面积计算的常规题型，掌握勾股定理及其逆定理的应用是解题关键。
【难度系数】
0.7
要求不规则四边形ABCD的面积，可将其拆分为△ABD和△BCD两个三角形分别计算面积后求和。首先利用△BCD是直角三角形的条件，通过勾股定理求出公共边BD的长度；再通过勾股定理的逆定理判断△ABD是否为直角三角形，若为直角三角形即可分别计算两个三角形的面积，相加得到四边形的总面积。
【解析】
1. 计算BD的长度：
在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=$\sqrt{2}$，CD=1，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2+CD^2=(\sqrt{2})^2+1^2=3$，所以$BD=\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根）。
2. 判断△ABD的形状：
已知AB=3，AD=$2\sqrt{3}$，计算得：
$AB^2+BD^2=3^2+(\sqrt{3})^2=9+3=12$，$AD^2=(2\sqrt{3})^2=12$，
所以$AB^2+BD^2=AD^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABD是直角三角形，且∠ABD=90°。
3. 计算两个三角形的面积并求和：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC × CD=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × BD=\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
所以四边形ABCD的面积$S=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是将不规则四边形拆分为两个三角形求解，先通过勾股定理计算公共边长度，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形，属于几何图形面积计算的常规题型，掌握勾股定理及其逆定理的应用是解题关键。
【难度系数】
0.7
