1（2025常州天宁月考）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法.如图,为了得到∠A'O'B'=∠AOB,在用直尺和圆规作图的过程中,得到△OCD≌△O'C'D'的依据是 （）

A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.AAS
（第1题）

1. C

【分析】
要判断△OCD≌△O'C'D'的依据，首先回忆尺规作一个角等于已知角的操作步骤，从中提取两个三角形的对应边相等的条件，再结合全等三角形的判定定理进行判断即可。作图时，首先以O为圆心画弧得到OC=OD；再以O'为圆心、OC长为半径画弧得到O'C'=OC、O'D'=OD；最后以D'为圆心、CD长为半径画弧得到C'D'=CD，由此可得两个三角形三组对应边都相等，对应判定定理即可得出结论。
【解析】
根据尺规作相等角的步骤可得：
$OC = O'C'$，$OD = O'D'$，$CD = C'D'$，
在$△ OCD$和$△ O'C'D'$中：
$\begin{cases}OC = O'C' \\OD = O'D' \\CD = C'D'\end{cases}$
$\therefore △ OCD ≌ △ O'C'D'(\mathrm{SSS})$，
因此全等的依据是SSS，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
尺规作相等角，全等三角形SSS判定
【点评】
本题结合尺规作图考查全等三角形的判定，解题的核心是从作图步骤中梳理出相等的线段，熟练掌握全等三角形的判定定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8

2（2025盐城滨海月考）如图，AB=CD，AD=CB，则下列结论中错误的是（）

A.$∠ A=∠ C$
B.$AB=AD$
C.$AD// BC$
D.$AB// CD$

2. B

【分析】
首先观察已知条件，给出了两组对边AB=CD、AD=CB，同时△ABD和△CDB有公共边BD，可先利用“边边边（SSS）”判定定理证明两个三角形全等；再根据全等三角形对应角相等的性质，得到对应内错角相等，进而判断对边的平行关系，逐一验证各选项即可找出错误结论。
【解析】
在△ABD和△CDB中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD(\mathrm{已知})\\AD=CB(\mathrm{已知})\\BD=DB(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴$△ ABD ≌ △ CDB$（SSS）
由全等三角形对应角相等，可得$∠ A=∠ C$，故A选项结论正确，不符合题意；
由全等得$∠ ADB=∠ CBD$，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出$AD// BC$，故C选项结论正确，不符合题意；
由全等得$∠ ABD=∠ CDB$，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出$AB// CD$，故D选项结论正确，不符合题意；
现有已知条件无法推导得到$AB=AD$，故B选项结论错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
SSS判定全等三角形；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是几何基础题，解题的关键是挖掘公共边这一隐含条件，通过证明三角形全等得到角的关系，进而判断线段平行和角的等量关系。
【难度系数】
0.8

3 新素养 应用意识（2025 扬州江都期中）如图，工人师傅在木门板上钉了一个加固板，从几何学的角度看，这样做的原理是。

3. 三角形的稳定性

【分析】
解题时首先观察结构的变化：原本的木门板是四边形结构，四边形具有容易变形的不稳定性；斜钉加固板后，加固板和门板的边缘共同构成了三角形结构，再回忆三角形的特有性质：三角形三边长度确定后，形状和大小就固定，即具有稳定性，由此即可得出对应的原理。
【解析】
木门板属于四边形结构，四边形具有不稳定性，使用过程中容易发生变形。斜向钉上加固板后，加固板与门板的相邻边框形成了三角形结构，而三角形具有稳定性，能够固定门板的形状，避免门板变形，因此该做法的原理是三角形的稳定性。
【答案】
三角形的稳定性
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的应用类题目，考查对基础几何图形特性的掌握，以及将数学知识和生活实际结合应用的能力，引导大家留意生活中的数学现象。
【难度系数】
0.9

4（2025无锡宜兴月考）如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别为边$AC$，$BC$上的点，且$AD=DE$，$AB=BE$，$∠ A=72°$，则$∠ CED=$。

4. $108°$

【分析】
解题时先观察已知边相等的条件：AD=DE、AB=BE，同时△ABD和△EBD共有边BD，可通过“边边边”判定两个三角形全等，得到∠BED与∠A相等，再利用邻补角的和为180°，即可求出∠CED的度数。
【解析】
连接BD，
在$△ ABD$和$△ EBD$中：
$\{\begin{array}{l}AD=DE（已知）\\AB=BE（已知）\\BD=BD（公共边）\end{array} $
∴$△ ABD ≌ △ EBD$（SSS），
∴$∠ BED = ∠ A = 72°$（全等三角形对应角相等），
∵$∠ CED + ∠ BED = 180°$（邻补角的定义），
∴$∠ CED = 180° - 72° = 108°$。
【答案】
$108°$
【知识点】
SSS判定全等、全等三角形性质、邻补角计算
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是挖掘公共边构造全等三角形，将已知角的条件转化到待求角的邻补角上，熟练掌握全等判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7

5（2025宿迁泗阳期中）如图，点A,D,C,F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A=50°，∠B=70°，求∠F的度数.

5. (1) 证明:因为AD=CF，
所以AD+DC=CF+DC，即AC=DF.
在△ABC与△DEF中，$\begin{cases} AC=DF, \\ AB=DE, \\ BC=EF, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(SSS).
(2) 解:因为△ABC≌△DEF，所以∠F=∠ACB.
因为∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-70°=60°,
所以∠F=60°.

【分析】
（1）要证明△ABC≌△DEF，已知AB=DE、BC=EF，仅缺少一组对应边AC=DF的条件。结合已知AD=CF，根据等式性质，两边同时加公共线段DC即可得到AC=DF，满足SSS全等判定条件，即可完成证明。
（2）要求∠F的度数，根据全等三角形对应角相等的性质，可知∠F=∠ACB，因此只需在△ABC中利用三角形内角和为180°，计算出∠ACB的度数，就能得到∠F的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD=CF，
∴ AD+DC=CF+DC，即AC=DF。
在△ABC和△DEF中：
$\begin{cases}AC=DF \\AB=DE \\BC=EF\end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF（SSS）。
(2) 解：
∵ △ABC≌△DEF，
∴ ∠F=∠ACB（全等三角形对应角相等）。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-70°=60°，
∴ ∠F=60°。
【答案】
(1) 已证△ABC≌△DEF；
(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
全等三角形SSS判定、全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于全等三角形的基础考查题，解题核心是先通过线段和的关系推导全等所需的对应边，再用SSS判定全等，最后结合全等性质和内角和定理求解角度，熟练掌握基础判定和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85

6 如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，AC=BD，求证：∠C=∠D.

6. 证明:连接CD.
在△ACD和△BDC中，$\begin{cases} AC=BD, \\ AD=BC, \\ CD=DC, \end{cases}$
所以△ACD≌△BDC(SSS),
所以∠ACD=∠BDC,∠ADC=∠BCD,
所以∠ACD-∠BCD=∠BDC-∠ADC,
即∠ACB=∠BDA.

【分析】
要证明∠C=∠D，可通过证明三角形全等得到对应角相等来实现。观察现有图形，△ACO和△BDO缺少足够的全等判定条件，因此考虑添加辅助线：连接CD，构造△ACD和△BDC。已知AC=BD、AD=BC，再加上两个三角形的公共边CD=DC，恰好满足“边边边”的全等判定条件，证明两三角形全等后，通过对应角的差即可推出待证的∠C与∠D相等。
【解析】
证明：连接CD。
在△ACD和△BDC中：
$\begin{cases} AC=BD, \\ AD=BC, \\ CD=DC, \end{cases}$
根据SSS判定规则，可得△ACD≌△BDC。
由全等三角形对应角相等的性质，得∠ACD=∠BDC，∠ADC=∠BCD。
将两个等式作差：∠ACD - ∠BCD = ∠BDC - ∠ADC，
化简即可得到∠ACB=∠BDA，即∠C=∠D。
【答案】
证明:连接CD.
在△ACD和△BDC中，$\begin{cases} AC=BD, \\ AD=BC, \\ CD=DC, \end{cases}$
所以△ACD≌△BDC(SSS),
所以∠ACD=∠BDC,∠ADC=∠BCD,
所以∠ACD-∠BCD=∠BDC-∠ADC,
即∠ACB=∠BDA.
【知识点】
SSS全等判定；全等三角形的性质；辅助线构造
【点评】
本题属于全等证明的基础题型，解题关键是结合图形特征添加公共边作为辅助线，将已知的边相等条件转化为角相等的结论，考察了对全等判定和性质的基础运用能力。
【难度系数】
0.8