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1（2025苏州工业园区月考）已知$△ ABC$的三边长为$3,4,c$，若$△ ABC$是直角三角形，则$c$的值可以是（
A.$2$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{5}$
D.$6$
B
）A.$2$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{5}$
D.$6$
答案
1. B
解析
【分析】
本题已知直角三角形的两边长求第三边长，解题时首先要明确：题目未指定哪条边是斜边，因此需要分两种情况讨论：①边长为4的边是斜边，②c为斜边，再结合勾股定理分别计算c的取值，最后匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
已知△ABC是直角三角形，三边长为3，4，c，分两种情况计算：
1. 当边长为4的边为斜边时，c为直角边，根据勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）可得：
$3^2 + c^2 = 4^2$
计算得：$c^2 = 16 - 9 =7$
因为边长为正数，所以$c=\sqrt{7}$。
2. 当c为斜边时，3和4均为直角边，根据勾股定理可得：
$3^2 + 4^2 = c^2$
计算得：$c^2=9+16=25$，即$c=5$。
对比选项，只有$\sqrt{7}$符合要求，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于勾股定理的常规应用题型，易错点是部分同学会默认c为斜边，只计算一种情况导致错选，解题时遇到未明确斜边的直角三角形边长计算问题，一定要注意分情况讨论。
【难度系数】
0.7
本题已知直角三角形的两边长求第三边长，解题时首先要明确：题目未指定哪条边是斜边，因此需要分两种情况讨论：①边长为4的边是斜边，②c为斜边，再结合勾股定理分别计算c的取值，最后匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
已知△ABC是直角三角形，三边长为3，4，c，分两种情况计算：
1. 当边长为4的边为斜边时，c为直角边，根据勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）可得：
$3^2 + c^2 = 4^2$
计算得：$c^2 = 16 - 9 =7$
因为边长为正数，所以$c=\sqrt{7}$。
2. 当c为斜边时，3和4均为直角边，根据勾股定理可得：
$3^2 + 4^2 = c^2$
计算得：$c^2=9+16=25$，即$c=5$。
对比选项，只有$\sqrt{7}$符合要求，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于勾股定理的常规应用题型，易错点是部分同学会默认c为斜边，只计算一种情况导致错选，解题时遇到未明确斜边的直角三角形边长计算问题，一定要注意分情况讨论。
【难度系数】
0.7
2（2025苏州高新区月考）如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（
A.$\sqrt{5}+1$
B.$-\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}-1$
D.$-\sqrt{5}+1$
（第2题）
D
）A.$\sqrt{5}+1$
B.$-\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}-1$
D.$-\sqrt{5}+1$
（第2题）答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：图中直角三角形的水平直角边是数轴上从-1到1的线段，长度为2，竖直直角边长为1，第一步先利用勾股定理计算出该直角三角形的斜边长；再结合作图可知，点A到数轴上表示1的点的距离等于斜边长度，且点A在1的左侧，数轴上左侧的数比右侧小，用1减去斜边长度即可得到点A对应的数a。
【解析】
解：先计算直角三角形的斜边长度：
直角三角形的水平直角边长 = 1 - (-1) = 2，竖直直角边长为1，
根据勾股定理，斜边长 = $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$。
由作图可知，点A到表示1的点的距离等于斜边长$\sqrt{5}$，且点A在1的左侧，
因此点A表示的数$a = 1 - \sqrt{5} = -\sqrt{5} + 1$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；数轴与实数
【点评】
本题将勾股定理和数轴结合，考查无理数在数轴上的表示方法，解题的核心是先求出斜边长度，再结合点的位置判断数的大小，是勾股定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：图中直角三角形的水平直角边是数轴上从-1到1的线段，长度为2，竖直直角边长为1，第一步先利用勾股定理计算出该直角三角形的斜边长；再结合作图可知，点A到数轴上表示1的点的距离等于斜边长度，且点A在1的左侧，数轴上左侧的数比右侧小，用1减去斜边长度即可得到点A对应的数a。
【解析】
解：先计算直角三角形的斜边长度：
直角三角形的水平直角边长 = 1 - (-1) = 2，竖直直角边长为1，
根据勾股定理，斜边长 = $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$。
由作图可知，点A到表示1的点的距离等于斜边长$\sqrt{5}$，且点A在1的左侧，
因此点A表示的数$a = 1 - \sqrt{5} = -\sqrt{5} + 1$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；数轴与实数
【点评】
本题将勾股定理和数轴结合，考查无理数在数轴上的表示方法，解题的核心是先求出斜边长度，再结合点的位置判断数的大小，是勾股定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3 (2025徐州沛县期中)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ ABC=90°$，$AC=2$，则$AB^2 + BC^2 + AC^2$的值为（
A.4
B.8
C.12
D.无法计算
B
）A.4
B.8
C.12
D.无法计算
答案
3. B
解析
【分析】
本题是直角三角形中边长平方和的计算问题，解题思路如下：首先明确直角三角形的直角为∠ABC，因此斜边为AC，回忆勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得出$AB^2+BC^2$与$AC^2$的等量关系；再将所求式子中的$AB^2+BC^2$替换为$AC^2$，即可把原式转化为仅含已知边长AC的表达式，最后代入AC的数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，AC为斜边
∴ 根据勾股定理可得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$
∴ $AB^2 + BC^2 + AC^2 = AC^2 + AC^2 = 2AC^2$
又
∵ $AC=2$
∴ $2AC^2 = 2× 2^2 = 2×4=8$
故选B
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，代数式代入求值
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的核心是准确识别直角三角形的斜边，利用勾股定理建立边长平方的等量关系，再通过整体代入简化计算即可。
【难度系数】
0.85
本题是直角三角形中边长平方和的计算问题，解题思路如下：首先明确直角三角形的直角为∠ABC，因此斜边为AC，回忆勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得出$AB^2+BC^2$与$AC^2$的等量关系；再将所求式子中的$AB^2+BC^2$替换为$AC^2$，即可把原式转化为仅含已知边长AC的表达式，最后代入AC的数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，AC为斜边
∴ 根据勾股定理可得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$
∴ $AB^2 + BC^2 + AC^2 = AC^2 + AC^2 = 2AC^2$
又
∵ $AC=2$
∴ $2AC^2 = 2× 2^2 = 2×4=8$
故选B
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，代数式代入求值
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的核心是准确识别直角三角形的斜边，利用勾股定理建立边长平方的等量关系，再通过整体代入简化计算即可。
【难度系数】
0.85
4（2025无锡宜兴期末）在等腰三角形中，腰长为5，底边长为8，则该三角形的面积是
12
。答案
4. 12
解析
【分析】
要求等腰三角形的面积，首先回忆三角形面积公式为“底×高÷2”，已知底边长为8，所以核心是求出底边上的高。根据等腰三角形“三线合一”的性质，作底边上的高后，可将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形：直角三角形的斜边为腰长5，一条直角边是底边的一半，另一条直角边就是所求的高，再用勾股定理计算出高的长度，最后代入面积公式就能得到结果。
【解析】
解：过等腰三角形的顶角顶点作底边上的高$h$。
根据等腰三角形三线合一的性质，该高平分底边，因此底边的一半长度为：$8÷2=4$。
在由高、腰长、半条底边构成的直角三角形中，由勾股定理可得：
$h^2 + 4^2 = 5^2$
计算得：$h^2=25-16=9$
因为高为正数，所以$h=3$。
代入三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×8×3=12$
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理求出高，是对基础性质和定理的常规综合考察，掌握相关知识点就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要求等腰三角形的面积，首先回忆三角形面积公式为“底×高÷2”，已知底边长为8，所以核心是求出底边上的高。根据等腰三角形“三线合一”的性质，作底边上的高后，可将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形：直角三角形的斜边为腰长5，一条直角边是底边的一半，另一条直角边就是所求的高，再用勾股定理计算出高的长度，最后代入面积公式就能得到结果。
【解析】
解：过等腰三角形的顶角顶点作底边上的高$h$。
根据等腰三角形三线合一的性质，该高平分底边，因此底边的一半长度为：$8÷2=4$。
在由高、腰长、半条底边构成的直角三角形中，由勾股定理可得：
$h^2 + 4^2 = 5^2$
计算得：$h^2=25-16=9$
因为高为正数，所以$h=3$。
代入三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×8×3=12$
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理求出高，是对基础性质和定理的常规综合考察，掌握相关知识点就能快速解答。
【难度系数】
0.8
5（2025常州溧阳期中）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ CAB$，交$BC$于点$D$，且$AC=6$，$BC=8$，则点$D$到边$AB$的距离是
3
。答案
5. 3
解析
【分析】
要计算点D到AB的距离，首先结合AD是角平分线的条件，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AB的距离等于D到AC的距离CD的长度，将问题转化为求CD的长。首先用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度，再通过面积法建立等量关系，即可求出CD的长度，得到最终结果。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，即DE为点D到AB的距离。
∵AD平分∠CAB，∠C=90°（DC⊥AC），DE⊥AB
∴根据角平分线的性质，得DE=CD。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$
设$CD=DE=x$，则$BD=BC-CD=8-x$。
利用面积法求解：△ABC的面积等于△ACD与△ABD的面积之和，即
$S_{△ABC}=S_{△ACD}+S_{△ABD}$
代入面积公式得：
$\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×AC×CD+\frac{1}{2}×AB×DE$
将已知数值和x代入：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×6x+\frac{1}{2}×10x$
化简得：$24=3x+5x$，即$8x=24$，解得$x=3$。
因此DE=3，即点D到AB的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是利用角平分线的性质实现线段的转化，将未知的点到直线的距离转化为已知边上的线段长度，再结合面积法求解，能有效考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算点D到AB的距离，首先结合AD是角平分线的条件，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AB的距离等于D到AC的距离CD的长度，将问题转化为求CD的长。首先用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度，再通过面积法建立等量关系，即可求出CD的长度，得到最终结果。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，即DE为点D到AB的距离。
∵AD平分∠CAB，∠C=90°（DC⊥AC），DE⊥AB
∴根据角平分线的性质，得DE=CD。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$
设$CD=DE=x$，则$BD=BC-CD=8-x$。
利用面积法求解：△ABC的面积等于△ACD与△ABD的面积之和，即
$S_{△ABC}=S_{△ACD}+S_{△ABD}$
代入面积公式得：
$\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×AC×CD+\frac{1}{2}×AB×DE$
将已知数值和x代入：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×6x+\frac{1}{2}×10x$
化简得：$24=3x+5x$，即$8x=24$，解得$x=3$。
因此DE=3，即点D到AB的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是利用角平分线的性质实现线段的转化，将未知的点到直线的距离转化为已知边上的线段长度，再结合面积法求解，能有效考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
6 (2025徐州邳州期中)如图,所有阴影四边形都是正方形,两个空白三角形均为直角三角形,且A,B,C三个正方形的面积分别为7,16,3,则正方形D的面积为
6
.答案
6. 6
解析
【分析】
解题时先结合图形特征联想勾股定理的应用：正方形的面积等于边长的平方，因此直角三角形三边的平方关系可直接转化为对应正方形的面积关系。第一步先观察左侧直角三角形：它的斜边是正方形B的边，两条直角边分别是正方形A的边和中间公共正方形的边，根据勾股定理可先求出中间公共正方形的面积；第二步观察右侧直角三角形：它的斜边是中间公共正方形的边，两条直角边分别是正方形C、D的边，再次用勾股定理即可求出正方形D的面积。
【解析】
设两个直角三角形公共的中间正方形的面积为$ S $。
1. 对左侧直角三角形，斜边为正方形B的边长，根据勾股定理可得：
$ S_B = S_A + S $
已知$ S_A=7 $，$ S_B=16 $，代入得：
$ S = S_B - S_A = 16 - 7 = 9 $
2. 对右侧直角三角形，斜边为中间正方形的边长，根据勾股定理可得：
$ S = S_C + S_D $
已知$ S_C=3 $，代入$ S=9 $得：
$ S_D = S - S_C = 9 - 3 = 6 $
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，解题核心是将直角三角形三边的平方关系转化为对应正方形的面积关系，找到中间公共正方形的面积作为衔接左右两侧的突破口，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合图形特征联想勾股定理的应用：正方形的面积等于边长的平方，因此直角三角形三边的平方关系可直接转化为对应正方形的面积关系。第一步先观察左侧直角三角形：它的斜边是正方形B的边，两条直角边分别是正方形A的边和中间公共正方形的边，根据勾股定理可先求出中间公共正方形的面积；第二步观察右侧直角三角形：它的斜边是中间公共正方形的边，两条直角边分别是正方形C、D的边，再次用勾股定理即可求出正方形D的面积。
【解析】
设两个直角三角形公共的中间正方形的面积为$ S $。
1. 对左侧直角三角形，斜边为正方形B的边长，根据勾股定理可得：
$ S_B = S_A + S $
已知$ S_A=7 $，$ S_B=16 $，代入得：
$ S = S_B - S_A = 16 - 7 = 9 $
2. 对右侧直角三角形，斜边为中间正方形的边长，根据勾股定理可得：
$ S = S_C + S_D $
已知$ S_C=3 $，代入$ S=9 $得：
$ S_D = S - S_C = 9 - 3 = 6 $
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，解题核心是将直角三角形三边的平方关系转化为对应正方形的面积关系，找到中间公共正方形的面积作为衔接左右两侧的突破口，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
7 若一个直角三角形的一条直角边长为 9,斜边比另一条直角边长 1,则该直角三角形的面积为
180
.答案
7. 180
解析
【分析】
本题是直角三角形边长与面积结合的基础题型，解题思路清晰：首先直角三角形的边长关系优先用勾股定理分析，已知一条直角边长度，斜边与另一条直角边存在固定差的关系，我们可以通过设未知数表示未知边，代入勾股定理列方程求解未知直角边的长度，最后用直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：设另一条直角边长为$ x $，则斜边长为$ x+1 $。
根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），可列方程：
$9^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开右侧得：$ 81 + x^2 = x^2 + 2x + 1 $
消去两侧$ x^2 $后整理得：$ 2x = 80 $，解得$ x = 40 $。
则直角三角形的面积为：$ \frac{1}{2} × 9 × 40 = 180 $。
【答案】
180
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；解一元一次方程
【点评】
本题是勾股定理的典型基础应用题，融合了方程思想的运用，解题逻辑清晰，计算量小，掌握勾股定理的基本公式就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形边长与面积结合的基础题型，解题思路清晰：首先直角三角形的边长关系优先用勾股定理分析，已知一条直角边长度，斜边与另一条直角边存在固定差的关系，我们可以通过设未知数表示未知边，代入勾股定理列方程求解未知直角边的长度，最后用直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：设另一条直角边长为$ x $，则斜边长为$ x+1 $。
根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），可列方程：
$9^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开右侧得：$ 81 + x^2 = x^2 + 2x + 1 $
消去两侧$ x^2 $后整理得：$ 2x = 80 $，解得$ x = 40 $。
则直角三角形的面积为：$ \frac{1}{2} × 9 × 40 = 180 $。
【答案】
180
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；解一元一次方程
【点评】
本题是勾股定理的典型基础应用题，融合了方程思想的运用，解题逻辑清晰，计算量小，掌握勾股定理的基本公式就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
8（2025南京栖霞月考）如图，在$△ ABC$中，若$AB=20$，$AC=13$，$BC=11$，求$△ ABC$的面积。
答案
8. 解:如图,过 A 作$AD⊥BC$交 BC 的延长线于点 D,
则$∠D=90°$,
所以$AB^2-BD^2=AD^2=AC^2-CD^2$,
因为$AB=20,AC=13,BC=11$,
所以$20^2-(11+CD)^2=13^2-CD^2$,
解得$CD=5$,
所以$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$,
所以$△ABC$的面积$=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×11×12=66$.
解析
【分析】
要计算△ABC的面积，已知三边长度，可选择BC为底，只需求出BC边上的高即可。观察得该三角形BC边上的高落在BC的延长线上，因此过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，得到两个共用高AD的直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD。利用勾股定理分别用含CD的代数式表示AD²，建立方程求出CD的长度，进一步求出高AD的长度，最后代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：如图，过A作$AD⊥BC$交BC的延长线于点D，则$∠ D=90°$。
在$Rt△ ABD$和$Rt△ ACD$中，由勾股定理可得：
$AD^2=AB^2-BD^2$，$AD^2=AC^2-CD^2$，因此$AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$。
已知$AB=20$，$AC=13$，$BC=11$，设$CD=x$，则$BD=BC+CD=11+x$，代入得：
$20^2-(11+x)^2=13^2-x^2$
展开化简：
$400-(121+22x+x^2)=169-x^2$
$279-22x=169$
解得$x=5$，即$CD=5$。
再根据勾股定理求高AD：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
最后计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AD=\frac{1}{2} × 11 × 12=66$
【答案】
66
【知识点】
1. 勾股定理
2. 三角形面积计算
3. 方程思想
【点评】
本题是勾股定理的典型应用类题目，通过作高构造直角三角形，利用公共高建立等量关系列方程求解未知线段，很好地体现了数形结合与方程思想，需要熟练掌握勾股定理的使用条件和三角形面积公式。
【难度系数】
0.7
要计算△ABC的面积，已知三边长度，可选择BC为底，只需求出BC边上的高即可。观察得该三角形BC边上的高落在BC的延长线上，因此过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，得到两个共用高AD的直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD。利用勾股定理分别用含CD的代数式表示AD²，建立方程求出CD的长度，进一步求出高AD的长度，最后代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：如图，过A作$AD⊥BC$交BC的延长线于点D，则$∠ D=90°$。
在$Rt△ ABD$和$Rt△ ACD$中，由勾股定理可得：
$AD^2=AB^2-BD^2$，$AD^2=AC^2-CD^2$，因此$AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$。
已知$AB=20$，$AC=13$，$BC=11$，设$CD=x$，则$BD=BC+CD=11+x$，代入得：
$20^2-(11+x)^2=13^2-x^2$
展开化简：
$400-(121+22x+x^2)=169-x^2$
$279-22x=169$
解得$x=5$，即$CD=5$。
再根据勾股定理求高AD：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
最后计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AD=\frac{1}{2} × 11 × 12=66$
【答案】
66
【知识点】
1. 勾股定理
2. 三角形面积计算
3. 方程思想
【点评】
本题是勾股定理的典型应用类题目，通过作高构造直角三角形，利用公共高建立等量关系列方程求解未知线段，很好地体现了数形结合与方程思想，需要熟练掌握勾股定理的使用条件和三角形面积公式。
【难度系数】
0.7
9（2026南通海门期末）如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=4$.
（1）求$AB$的长；
（2）作$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$D$，求$CD$的长.
（1）求$AB$的长；
（2）作$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$D$，求$CD$的长.
答案
9. 解:(1) 因为$∠C=90°$,
所以$BC^2+AC^2=AB^2$.
因为$AC=8,BC=4$,
所以$AB=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$.
(2) 过点 D 作$DE⊥AB$,E 为垂足.
因为 BD 平分$∠ABC$,所以$DC=DE$.
又$BD=BD,∠C=∠DEB=90°$,
所以$\mathrm{Rt}△CBD≌\mathrm{Rt}△EBD(\mathrm{HL})$,所以$BE=BC=4$.
设$CD=x$,则$DE=x,AD=AC-CD=8-x,AE=AB-BE=4\sqrt{5}-4$.
在$\mathrm{Rt}△ADE$中,$∠AED=90°$,
所以$AE^2+DE^2=AD^2$.
即$x^2+(4\sqrt{5}-4)^2=(8-x)^2$,解得$x=2\sqrt{5}-2$,
即 CD 的长为$2\sqrt{5}-2$.
所以$BC^2+AC^2=AB^2$.
因为$AC=8,BC=4$,
所以$AB=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$.
(2) 过点 D 作$DE⊥AB$,E 为垂足.
因为 BD 平分$∠ABC$,所以$DC=DE$.
又$BD=BD,∠C=∠DEB=90°$,
所以$\mathrm{Rt}△CBD≌\mathrm{Rt}△EBD(\mathrm{HL})$,所以$BE=BC=4$.
设$CD=x$,则$DE=x,AD=AC-CD=8-x,AE=AB-BE=4\sqrt{5}-4$.
在$\mathrm{Rt}△ADE$中,$∠AED=90°$,
所以$AE^2+DE^2=AD^2$.
即$x^2+(4\sqrt{5}-4)^2=(8-x)^2$,解得$x=2\sqrt{5}-2$,
即 CD 的长为$2\sqrt{5}-2$.
解析
【分析】
（1）已知△ABC是直角三角形，∠C为直角，给出两条直角边AC、BC的长度，求斜边AB，直接运用勾股定理计算即可。
（2）要求CD的长度，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作DE⊥AB于E，可得CD=DE；再通过HL证明Rt△CBD和Rt△EBD全等，得到BE=BC，进而求出AE的长度；最后设CD为x，用含x的式子表示出DE、AD的长度，在Rt△ADE中运用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）在△ABC中，∠C=90°，由勾股定理可得：
$BC^2+AC^2=AB^2$
已知AC=8，BC=4，代入得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
（2）过点D作$DE⊥AB$，垂足为E。
∵BD平分$∠ABC$，∠C=90°，$DE⊥AB$
∴根据角平分线的性质，$DC=DE$
在$\mathrm{Rt}△CBD$和$\mathrm{Rt}△EBD$中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\ DC=DE\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△CBD≌\mathrm{Rt}△EBD(\mathrm{HL})$
∴$BE=BC=4$
设$CD=x$，则$DE=x$，$AD=AC-CD=8-x$，$AE=AB-BE=4\sqrt{5}-4$
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，∠AED=90°，由勾股定理得：
$AE^2+DE^2=AD^2$
代入各边表达式：
$x^2+(4\sqrt{5}-4)^2=(8-x)^2$
展开整理得：
$x^2 + 96 -32\sqrt{5} = 64 -16x +x^2$
消去$x^2$后解得$x=2\sqrt{5}-2$，即CD的长为$2\sqrt{5}-2$。
【答案】
（1）$AB=4\sqrt{5}$；（2）$CD=2\sqrt{5}-2$
【知识点】
勾股定理；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，第一问为基础的勾股定理直接应用，第二问结合角平分线性质、全等三角形的判定，通过作辅助线将未知线段转化到同一个直角三角形中，再利用勾股定理列方程求解，考查了几何中的转化思想与方程思想，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）已知△ABC是直角三角形，∠C为直角，给出两条直角边AC、BC的长度，求斜边AB，直接运用勾股定理计算即可。
（2）要求CD的长度，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作DE⊥AB于E，可得CD=DE；再通过HL证明Rt△CBD和Rt△EBD全等，得到BE=BC，进而求出AE的长度；最后设CD为x，用含x的式子表示出DE、AD的长度，在Rt△ADE中运用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）在△ABC中，∠C=90°，由勾股定理可得：
$BC^2+AC^2=AB^2$
已知AC=8，BC=4，代入得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
（2）过点D作$DE⊥AB$，垂足为E。
∵BD平分$∠ABC$，∠C=90°，$DE⊥AB$
∴根据角平分线的性质，$DC=DE$
在$\mathrm{Rt}△CBD$和$\mathrm{Rt}△EBD$中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\ DC=DE\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△CBD≌\mathrm{Rt}△EBD(\mathrm{HL})$
∴$BE=BC=4$
设$CD=x$，则$DE=x$，$AD=AC-CD=8-x$，$AE=AB-BE=4\sqrt{5}-4$
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，∠AED=90°，由勾股定理得：
$AE^2+DE^2=AD^2$
代入各边表达式：
$x^2+(4\sqrt{5}-4)^2=(8-x)^2$
展开整理得：
$x^2 + 96 -32\sqrt{5} = 64 -16x +x^2$
消去$x^2$后解得$x=2\sqrt{5}-2$，即CD的长为$2\sqrt{5}-2$。
【答案】
（1）$AB=4\sqrt{5}$；（2）$CD=2\sqrt{5}-2$
【知识点】
勾股定理；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，第一问为基础的勾股定理直接应用，第二问结合角平分线性质、全等三角形的判定，通过作辅助线将未知线段转化到同一个直角三角形中，再利用勾股定理列方程求解，考查了几何中的转化思想与方程思想，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
