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1 新情境 地域特色 [2025 山东]某班同学到山东省博物馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了分别以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品,每名同学可从中随机抽取一款作为纪念品.若抽到每一款的可能性相等,则甲、乙两名同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（
A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
A
）A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
A
解析
【分析】
这是一道两次试验下的概率计算题，解题思路如下：首先明确甲、乙两名同学抽取文创产品是互不影响的独立事件，且每人抽到任意一款文创的概率相等，属于等可能事件概率问题。我们可以通过列表法列举出所有等可能的结果，再找出甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算即可，也可以利用分步计数的思路直接计算概率。
【解析】
将三款文创产品分别记为：A（亚醜钺）、B（蛋壳黑陶杯）、C（颂簋），用列表法列出所有等可能的抽取结果：
| 甲\乙 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表格可得，总共有9种等可能的结果，其中甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果只有1种。
根据概率公式，所求概率为$\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{1}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率、列表法求概率、独立事件概率
【点评】
本题结合地域研学的真实情境考查概率计算，情境贴近生活，核心是掌握两次试验下等可能事件概率的计算方法，难度较低，能让学生体会数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.8
这是一道两次试验下的概率计算题，解题思路如下：首先明确甲、乙两名同学抽取文创产品是互不影响的独立事件，且每人抽到任意一款文创的概率相等，属于等可能事件概率问题。我们可以通过列表法列举出所有等可能的结果，再找出甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算即可，也可以利用分步计数的思路直接计算概率。
【解析】
将三款文创产品分别记为：A（亚醜钺）、B（蛋壳黑陶杯）、C（颂簋），用列表法列出所有等可能的抽取结果：
| 甲\乙 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表格可得，总共有9种等可能的结果，其中甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果只有1种。
根据概率公式，所求概率为$\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{1}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率、列表法求概率、独立事件概率
【点评】
本题结合地域研学的真实情境考查概率计算，情境贴近生活，核心是掌握两次试验下等可能事件概率的计算方法，难度较低，能让学生体会数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.8
2 [2025东营]一个不透明的盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同。两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为 （
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
D
）A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
D
解析
【分析】
本题属于放回型的两次随机抽取概率问题，可按以下思路解题：首先明确抽完放回时，两次抽取的结果相互独立，总等可能结果数为两次抽取的情况数的乘积；再统计出两次抽到相同图案的结果数；最后代入概率公式“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”即可求出结果。
【解析】
因为卡片抽完后放回，所以第一次抽取有4种等可能的结果，第二次抽取同样有4种等可能的结果，两次抽取的总等可能结果数为$4×4=16$种。
其中两人抽到卡片图案相同的情况有：两次均抽到孤岛槐林、两次均抽到黄河入海口、两次均抽到红色刘集、两次均抽到孙子文化园，共4种等可能结果。
根据概率公式可得，抽到卡片图案相同的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
概率公式、放回抽样概率、列表法求概率
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，核心考查放回抽取情境下的概率计算，只要准确梳理总情况数和符合要求的情况数，代入公式就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
本题属于放回型的两次随机抽取概率问题，可按以下思路解题：首先明确抽完放回时，两次抽取的结果相互独立，总等可能结果数为两次抽取的情况数的乘积；再统计出两次抽到相同图案的结果数；最后代入概率公式“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”即可求出结果。
【解析】
因为卡片抽完后放回，所以第一次抽取有4种等可能的结果，第二次抽取同样有4种等可能的结果，两次抽取的总等可能结果数为$4×4=16$种。
其中两人抽到卡片图案相同的情况有：两次均抽到孤岛槐林、两次均抽到黄河入海口、两次均抽到红色刘集、两次均抽到孙子文化园，共4种等可能结果。
根据概率公式可得，抽到卡片图案相同的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
概率公式、放回抽样概率、列表法求概率
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，核心考查放回抽取情境下的概率计算，只要准确梳理总情况数和符合要求的情况数，代入公式就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
3 [2025 广西]从3,4,5三个数字中任选两个,则选出的两个数字之和是偶数的概率为
$\frac{1}{3}$
.答案
$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这道概率题，可按以下思路逐步推导：首先，明确本题是两次不放回选取数字的概率问题，适合用列表法或枚举法列出所有等可能的结果；其次，根据“两数之和为偶数等价于两数同奇或同偶”的规律，筛选出满足条件的结果；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果总数”计算即可。
【解析】
我们用列表法列出从3、4、5中任选两个数字的所有等可能结果（不放回选取，故不考虑选到相同数字的情况）：
| 第一个数\第二个数 | 3 | 4 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 3 | / | 和为7 | 和为8 |
| 4 | 和为7 | / | 和为9 |
| 5 | 和为8 | 和为9 | / |
由表可知，所有等可能的结果共有6种，其中两个数字之和为偶数的结果有2种。
根据概率公式可得：$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率；奇偶性判断；概率公式
【点评】
本题是概率的基础常规题，核心是准确枚举所有等可能的结果，结合数的奇偶性筛选符合要求的情况，掌握基础概率计算方法就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道概率题，可按以下思路逐步推导：首先，明确本题是两次不放回选取数字的概率问题，适合用列表法或枚举法列出所有等可能的结果；其次，根据“两数之和为偶数等价于两数同奇或同偶”的规律，筛选出满足条件的结果；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果总数”计算即可。
【解析】
我们用列表法列出从3、4、5中任选两个数字的所有等可能结果（不放回选取，故不考虑选到相同数字的情况）：
| 第一个数\第二个数 | 3 | 4 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 3 | / | 和为7 | 和为8 |
| 4 | 和为7 | / | 和为9 |
| 5 | 和为8 | 和为9 | / |
由表可知，所有等可能的结果共有6种，其中两个数字之和为偶数的结果有2种。
根据概率公式可得：$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率；奇偶性判断；概率公式
【点评】
本题是概率的基础常规题，核心是准确枚举所有等可能的结果，结合数的奇偶性筛选符合要求的情况，掌握基础概率计算方法就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
4 新情境 科技创新 [2025大庆]2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注。若小庆同学从“豆包”“腾讯元宝”“即梦AI”“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为
$\frac{1}{6}$
。答案
$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率求解问题，解题思路如下：首先明确试验为从4种不同软件中不重复选取2种，所有选取结果出现的可能性相等；接下来我们可以通过列举法列出所有可能的选取结果，统计总结果数；再统计出选取结果为“豆包”和“腾讯元宝”的符合条件的结果数；最后代入等可能事件的概率公式：P=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数，即可求出概率。
【解析】
我们先将四种软件做标记：设“豆包”为A，“腾讯元宝”为B，“即梦AI”为C，“文心一言”为D。
从4种软件中随机选取2种，所有等可能的结果有：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中选取的两种软件恰好为“豆包”和“腾讯元宝”（即(A,B)）的结果只有1种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{选取豆包和腾讯元宝})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
等可能事件概率公式、列举法求概率
【点评】
本题结合AI科技热点设置情境，考查基础的概率计算能力，解题的核心是要不重不漏地列举出所有等可能的选取结果，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能事件的概率求解问题，解题思路如下：首先明确试验为从4种不同软件中不重复选取2种，所有选取结果出现的可能性相等；接下来我们可以通过列举法列出所有可能的选取结果，统计总结果数；再统计出选取结果为“豆包”和“腾讯元宝”的符合条件的结果数；最后代入等可能事件的概率公式：P=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数，即可求出概率。
【解析】
我们先将四种软件做标记：设“豆包”为A，“腾讯元宝”为B，“即梦AI”为C，“文心一言”为D。
从4种软件中随机选取2种，所有等可能的结果有：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中选取的两种软件恰好为“豆包”和“腾讯元宝”（即(A,B)）的结果只有1种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{选取豆包和腾讯元宝})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
等可能事件概率公式、列举法求概率
【点评】
本题结合AI科技热点设置情境，考查基础的概率计算能力，解题的核心是要不重不漏地列举出所有等可能的选取结果，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
5 [2024 河北]甲、乙、丙三张卡片正面分别写有$a+b,2a+b,a-b$，除正面的代数式不同外，其余均相同.
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当$a=1,b=-2$时，求抽取的卡片上代数式的值为负数的概率.
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张. 请在表格中补全两次抽取的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当$a=1,b=-2$时，求抽取的卡片上代数式的值为负数的概率.
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张. 请在表格中补全两次抽取的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.
答案
（1）当a=1,b=-2时,a+b=-1,2a+b=0,a-b=3.从三张卡片中随机抽取一张,共有3种等可能的结果,其中抽取的卡片上代数式的值为负数的结果有1种,
∴ P(抽取的卡片上代数式的值为负数)=$\frac{1}{3}$
（2）补全表格如下:
| 和\第一次\第二次 | $a+b$ | $2a+b$ | $a-b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a+b$ | $2a+2b$ | $3a+2b$ | $2a$ |
| $2a+b$ | $3a+2b$ | $4a+2b$ | $3a$ |
| $a-b$ | $2a$ | $3a$ | $2a-2b$ |
由表格,可知共有9种等可能的结果,其中和为单项式的结果有4种,
∴ P(和为单项式)=$\frac{4}{9}$
∴ P(抽取的卡片上代数式的值为负数)=$\frac{1}{3}$
（2）补全表格如下:
| 和\第一次\第二次 | $a+b$ | $2a+b$ | $a-b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a+b$ | $2a+2b$ | $3a+2b$ | $2a$ |
| $2a+b$ | $3a+2b$ | $4a+2b$ | $3a$ |
| $a-b$ | $2a$ | $3a$ | $2a-2b$ |
由表格,可知共有9种等可能的结果,其中和为单项式的结果有4种,
∴ P(和为单项式)=$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
（1）第一问先将a、b的值代入三个代数式计算结果，统计值为负数的结果数量，再结合概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）求解即可。
（2）第二问是有放回的两次抽取，总共有9种等可能结果，先依次计算两次抽取代数式的和并化简补全表格，再根据单项式的定义筛选出和为单项式的结果，最后代入概率公式计算概率。
【解析】
（1）当$a=1,b=-2$时，分别计算三个代数式的值：
$a+b=1+(-2)=-1$，$2a+b=2×1+(-2)=0$，$a-b=1-(-2)=3$。
从三张卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果，其中代数式的值为负数的结果有1种，
∴ $P(\mathrm{抽取的卡片上代数式的值为负数})=\frac{1}{3}$。
（2）根据整式加法法则计算各空的和，补全表格如下：
| 和\第二次\第一次 | $a+b$ | $2a+b$ | $a-b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a+b$ | $2a+2b$ | $3a+2b$ | $2a$ |
| $2a+b$ | $3a+2b$ | $4a+2b$ | $3a$ |
| $a-b$ | $2a$ | $3a$ | $2a-2b$ |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有4种，
∴ $P(\mathrm{和为单项式})=\frac{4}{9}$。
【答案】
（1）$\frac{1}{3}$；
（2）补全表格如上所示，和为单项式的概率为$\frac{4}{9}$。
【知识点】
代数式求值；列表法求概率；单项式判断
【点评】
本题结合整式运算考查概率的求解，解题时需注意有放回抽取的总情况数，计算代数式和时要正确合并同类项，判断单项式时要紧扣定义，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
（1）第一问先将a、b的值代入三个代数式计算结果，统计值为负数的结果数量，再结合概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）求解即可。
（2）第二问是有放回的两次抽取，总共有9种等可能结果，先依次计算两次抽取代数式的和并化简补全表格，再根据单项式的定义筛选出和为单项式的结果，最后代入概率公式计算概率。
【解析】
（1）当$a=1,b=-2$时，分别计算三个代数式的值：
$a+b=1+(-2)=-1$，$2a+b=2×1+(-2)=0$，$a-b=1-(-2)=3$。
从三张卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果，其中代数式的值为负数的结果有1种，
∴ $P(\mathrm{抽取的卡片上代数式的值为负数})=\frac{1}{3}$。
（2）根据整式加法法则计算各空的和，补全表格如下：
| 和\第二次\第一次 | $a+b$ | $2a+b$ | $a-b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a+b$ | $2a+2b$ | $3a+2b$ | $2a$ |
| $2a+b$ | $3a+2b$ | $4a+2b$ | $3a$ |
| $a-b$ | $2a$ | $3a$ | $2a-2b$ |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有4种，
∴ $P(\mathrm{和为单项式})=\frac{4}{9}$。
【答案】
（1）$\frac{1}{3}$；
（2）补全表格如上所示，和为单项式的概率为$\frac{4}{9}$。
【知识点】
代数式求值；列表法求概率；单项式判断
【点评】
本题结合整式运算考查概率的求解，解题时需注意有放回抽取的总情况数，计算代数式和时要正确合并同类项，判断单项式时要紧扣定义，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
