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三、解答题(共65分)
8.(20分)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$O$为坐标原点,直线$y=x+2$交$y$轴于点$A$,交$x$轴于点$B$,与双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第一、三象限分别交于$C,D$两点,点$D$的纵坐标为$-2$,$AB=\frac{1}{2}BC$,连接$CO,DO$.
求:(1)$k$的值;
(2)$△ CDO$的面积.
8.(20分)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$O$为坐标原点,直线$y=x+2$交$y$轴于点$A$,交$x$轴于点$B$,与双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第一、三象限分别交于$C,D$两点,点$D$的纵坐标为$-2$,$AB=\frac{1}{2}BC$,连接$CO,DO$.
求:(1)$k$的值;
(2)$△ CDO$的面积.
答案
8.解:(1)在$y=x+2$中,令$x=0$,得$y=2$,
令$y=0$,得$x=-2$,
∴A(0,2),B(-2,0).
∵$AB=\frac{1}{2}BC$,
∴A为BC的中点,
∴C(2,4).
把点C(2,4)代入$y=\frac{k}{x}$,得$4=\frac{k}{2}$,
解得k=8.
(2)
∵点D的纵坐标为-2,
∴将$y=-2$代入$y=\frac{8}{x}$,得$-2=\frac{8}{x}$,
∴$x=-4$,
∴D(-4,-2),
∴$S_{△ DOC}=S_{△ DOB}+S_{△ COB}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=2+4=6$,
∴△CDO的面积是6.
令$y=0$,得$x=-2$,
∴A(0,2),B(-2,0).
∵$AB=\frac{1}{2}BC$,
∴A为BC的中点,
∴C(2,4).
把点C(2,4)代入$y=\frac{k}{x}$,得$4=\frac{k}{2}$,
解得k=8.
(2)
∵点D的纵坐标为-2,
∴将$y=-2$代入$y=\frac{8}{x}$,得$-2=\frac{8}{x}$,
∴$x=-4$,
∴D(-4,-2),
∴$S_{△ DOC}=S_{△ DOB}+S_{△ COB}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=2+4=6$,
∴△CDO的面积是6.
9.(20分)(2025·苏州期末)某项研究表明:人的眼睛疲劳系数$y$与睡眠时间$t$之间成函数关系，它们之间的关系如图所示.其中，当睡眠时间不超过4小时$(0＜t≤4)$时，眼睛疲劳系数$y$是睡眠时间$t$的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时$(4≤t≤6)$时，眼睛疲劳系数$y$是睡眠时间$t$的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0.根据图象，解答下列问题：
(1)当$0＜t≤4$时，求眼睛疲劳系数$y$关于睡眠时间$t$的函数表达式；
(2)如果某人睡眠了$t(1＜t＜3)$小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求$t$的值.
(1)当$0＜t≤4$时，求眼睛疲劳系数$y$关于睡眠时间$t$的函数表达式；
(2)如果某人睡眠了$t(1＜t＜3)$小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求$t$的值.
答案
9.解:(1)当$0＜t≤4$时,眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数,
设这个反比例函数为$y=\frac{k}{t}$,
∵反比例函数的图象经过点(4,2),
∴k=8,
∴眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数表达式$y=\frac{8}{t}$ $(0＜t≤4)$.
(2)根据题意,设当$4≤t≤6$时,眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数表达式为$y=mt+b(m≠0)$.
∵经过点(4,2)和(6,0),
∴$\begin{cases}4m+b=2,\\6m+b=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1,\\b=6,\end{cases}$
∴当睡眠时间不少于4小时,眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数表达式是$y=-t+6$.
∵某人睡眠了$t(1＜t＜3)$小时后,再连续睡眠了3小时,此时眼睛疲劳系数恰好减少了3,
∴$\frac{8}{t}-[-(t+3)+6]=3$,
整理,得$t^2-6t+8=0$,
解得$t_1=2,t_2=4$,
经检验,$t_1=2,t_2=4$是原方程的解,$t_2=4$不符合题意舍去,
∴t的值是2.
设这个反比例函数为$y=\frac{k}{t}$,
∵反比例函数的图象经过点(4,2),
∴k=8,
∴眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数表达式$y=\frac{8}{t}$ $(0＜t≤4)$.
(2)根据题意,设当$4≤t≤6$时,眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数表达式为$y=mt+b(m≠0)$.
∵经过点(4,2)和(6,0),
∴$\begin{cases}4m+b=2,\\6m+b=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1,\\b=6,\end{cases}$
∴当睡眠时间不少于4小时,眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数表达式是$y=-t+6$.
∵某人睡眠了$t(1＜t＜3)$小时后,再连续睡眠了3小时,此时眼睛疲劳系数恰好减少了3,
∴$\frac{8}{t}-[-(t+3)+6]=3$,
整理,得$t^2-6t+8=0$,
解得$t_1=2,t_2=4$,
经检验,$t_1=2,t_2=4$是原方程的解,$t_2=4$不符合题意舍去,
∴t的值是2.
10.(25分)如图①，$A(-4,n),B(3,4)$是一次函数$y_1=kx+b$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$的图象的两个交点，过点$D(t,0)(0＜t＜3)$作$x$轴的垂线，分别交双曲线$y_2=\frac{m}{x}$和直线$y_1=kx+b$于$P,Q$两点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接$AP,BP$，当$t$为何值时，$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}S_{△ APQ}$；
(3)如图②，以$PQ$为边在直线$PQ$的右侧作正方形$PQMN$，试说明：边$QM$与双曲线$y_2=\frac{m}{x}(x＞0)$始终有交点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接$AP,BP$，当$t$为何值时，$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}S_{△ APQ}$；
(3)如图②，以$PQ$为边在直线$PQ$的右侧作正方形$PQMN$，试说明：边$QM$与双曲线$y_2=\frac{m}{x}(x＞0)$始终有交点.
答案
10.解:(1)将$B(3,4)$代入$y_2=\frac{m}{x}$,得$m=3×4=12$,
∴反比例函数表达式为$y_2=\frac{12}{x}$.
将$A(-4,n)$代入反比例函数表达式,得$n=-3$,
∴$A(-4,-3)$.
∵直线$y_1=kx+b$过点A和点B,
∴$\begin{cases}-3=-4k+b,\\4=3k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\b=1,\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=x+1$.
(2)
∵$PQ⊥x$轴,
∴$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}PQ·(x_B-x_D)=\frac{1}{2}PQ·(3-t)$,
$S_{△ APQ}=\frac{1}{2}PQ·(x_D-x_A)=\frac{1}{2}PQ·(t+4)$.
又
∵$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}S_{△ APQ}$,
∴$\frac{S_{△ BPQ}}{S_{△ APQ}}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{\frac{1}{2}PQ×(3-t)}{\frac{1}{2}PQ×(t+4)}=\frac{1}{2}$,即$\frac{3-t}{t+4}=\frac{1}{2}$,解得$t=\frac{2}{3}$.
经检验,$t=\frac{2}{3}$是原方程的解且符合题意,
故t的值为$\frac{2}{3}$.
(3)设直线QM与双曲线交于点C.
根据题意可知,$P(t,\frac{12}{t}),Q(t,t+1),C(\frac{12}{t+1},t+1)$,
∴$QM=PQ=\frac{12}{t}-t-1$,$QC=\frac{12}{t+1}-t$,
∴$QM-QC=\frac{12}{t}-t-1-(\frac{12}{t+1}-t)=\frac{12}{t(t+1)}-1$.
∵$0＜t＜3$,
∴$0＜t(t+1)＜12$,
∴$\frac{12}{t(t+1)}＞1$,
即$QM-QC＞0$,
∴$QM＞QC$,即边QM与双曲线$y_2=\frac{m}{x}$始终有交点.
∴反比例函数表达式为$y_2=\frac{12}{x}$.
将$A(-4,n)$代入反比例函数表达式,得$n=-3$,
∴$A(-4,-3)$.
∵直线$y_1=kx+b$过点A和点B,
∴$\begin{cases}-3=-4k+b,\\4=3k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\b=1,\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=x+1$.
(2)
∵$PQ⊥x$轴,
∴$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}PQ·(x_B-x_D)=\frac{1}{2}PQ·(3-t)$,
$S_{△ APQ}=\frac{1}{2}PQ·(x_D-x_A)=\frac{1}{2}PQ·(t+4)$.
又
∵$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}S_{△ APQ}$,
∴$\frac{S_{△ BPQ}}{S_{△ APQ}}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{\frac{1}{2}PQ×(3-t)}{\frac{1}{2}PQ×(t+4)}=\frac{1}{2}$,即$\frac{3-t}{t+4}=\frac{1}{2}$,解得$t=\frac{2}{3}$.
经检验,$t=\frac{2}{3}$是原方程的解且符合题意,
故t的值为$\frac{2}{3}$.
(3)设直线QM与双曲线交于点C.
根据题意可知,$P(t,\frac{12}{t}),Q(t,t+1),C(\frac{12}{t+1},t+1)$,
∴$QM=PQ=\frac{12}{t}-t-1$,$QC=\frac{12}{t+1}-t$,
∴$QM-QC=\frac{12}{t}-t-1-(\frac{12}{t+1}-t)=\frac{12}{t(t+1)}-1$.
∵$0＜t＜3$,
∴$0＜t(t+1)＜12$,
∴$\frac{12}{t(t+1)}＞1$,
即$QM-QC＞0$,
∴$QM＞QC$,即边QM与双曲线$y_2=\frac{m}{x}$始终有交点.
