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7 教材 P150 习题 T3 变式 如图所示的正方体的表面展开图为 （
（第7题） （第8题） （第9题）
（第10题） 
（第11题）
A
）（第7题） （第8题） （第9题）
（第10题） （第11题）答案
7. A
解析
【分析】
解决本题首先要明确正方体展开图中相对面和相邻面的判定规律：相对的面在展开图中不会相邻，同行同列间隔一个面的两个面是相对面，“Z”字形两端的两个面是相对面。解题时先观察原正方体的可见面，确定两两相邻的面的关系，再逐一分析选项，先排除存在“原正方体相邻面变为相对面”错误的选项，再验证剩余选项折叠后面的位置、图案朝向是否和原正方体一致，即可得到正确答案。
【解析】
我们先分析原正方体的特征：其表面的三个可见面两两相邻，不存在相对面。
逐一判断选项：
选项A折叠后，三个相邻面的位置关系、图案朝向均与原正方体完全匹配，符合要求；
其余选项要么存在原正方体的相邻面在展开图中变为相对面的错误，要么折叠后图案朝向与原正方体不符，均不满足要求。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
正方体展开图识别，相对面与相邻面判断，几何体展开与折叠
【点评】
本题考查正方体表面展开图的相关知识，解题核心是熟练掌握正方体展开图中相对面的判定规则，借助排除法可快速缩小选择范围，是空间观念考查的基础题型。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确正方体展开图中相对面和相邻面的判定规律：相对的面在展开图中不会相邻，同行同列间隔一个面的两个面是相对面，“Z”字形两端的两个面是相对面。解题时先观察原正方体的可见面，确定两两相邻的面的关系，再逐一分析选项，先排除存在“原正方体相邻面变为相对面”错误的选项，再验证剩余选项折叠后面的位置、图案朝向是否和原正方体一致，即可得到正确答案。
【解析】
我们先分析原正方体的特征：其表面的三个可见面两两相邻，不存在相对面。
逐一判断选项：
选项A折叠后，三个相邻面的位置关系、图案朝向均与原正方体完全匹配，符合要求；
其余选项要么存在原正方体的相邻面在展开图中变为相对面的错误，要么折叠后图案朝向与原正方体不符，均不满足要求。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
正方体展开图识别，相对面与相邻面判断，几何体展开与折叠
【点评】
本题考查正方体表面展开图的相关知识，解题核心是熟练掌握正方体展开图中相对面的判定规则，借助排除法可快速缩小选择范围，是空间观念考查的基础题型。
【难度系数】
0.7
8 [2025 徐州]如图所示为一个正方体的表面展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是 （
B
）答案
8. B
解析
【分析】
解决正方体展开图折叠问题的思路分为两步：第一步先判断相对面，利用“相对面在正方体中一定不相邻”的规律排除明显错误选项；第二步验证剩余选项的相邻面图案位置、朝向是否与折叠后的实际情况一致，最终确定正确答案。判断相对面可使用常用的“相间、Z端是对面”的口诀，即同行或同列间隔一个面的两个面为相对面，“Z”字形首尾两端的面为相对面。
【解析】
首先观察题干给出的正方体表面展开图，先识别出三组相对面：
1. 依据“相对面不相邻”的特征排查选项：A选项出现了原本相对的两个面相邻的情况，不符合正方体结构，排除；C选项同样存在相对面相邻的错误，排除；
2. 再验证剩余选项的相邻面图案：D选项中相邻面的图案摆放位置与折叠后的实际情况不符，排除；
只有B选项的面的相邻关系、图案位置均符合正方体折叠后的特征。
【答案】
B
【知识点】
正方体表面展开图；相对面的判断
【点评】
本题是正方体展开图的典型考题，巧用相对面不相邻的规律可快速缩小选择范围，再结合相邻面的图案特征验证即可得到答案，重点考查学生的空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解决正方体展开图折叠问题的思路分为两步：第一步先判断相对面，利用“相对面在正方体中一定不相邻”的规律排除明显错误选项；第二步验证剩余选项的相邻面图案位置、朝向是否与折叠后的实际情况一致，最终确定正确答案。判断相对面可使用常用的“相间、Z端是对面”的口诀，即同行或同列间隔一个面的两个面为相对面，“Z”字形首尾两端的面为相对面。
【解析】
首先观察题干给出的正方体表面展开图，先识别出三组相对面：
1. 依据“相对面不相邻”的特征排查选项：A选项出现了原本相对的两个面相邻的情况，不符合正方体结构，排除；C选项同样存在相对面相邻的错误，排除；
2. 再验证剩余选项的相邻面图案：D选项中相邻面的图案摆放位置与折叠后的实际情况不符，排除；
只有B选项的面的相邻关系、图案位置均符合正方体折叠后的特征。
【答案】
B
【知识点】
正方体表面展开图；相对面的判断
【点评】
本题是正方体展开图的典型考题，巧用相对面不相邻的规律可快速缩小选择范围，再结合相邻面的图案特征验证即可得到答案，重点考查学生的空间想象能力。
【难度系数】
0.7
9 如图所示为一个几何体的表面展开图.
（1）将它折叠能得到的几何体名称是________；
（2）若要把这个几何体重新展开，则最少需要剪开________条棱.
10 如图，在横线上填上适当的代数式，使等式成立：$(a-b)^2=a^2-2ab+\_\_\_\_\_\_$.
11 如图，一个长方体的表面展开图中四边形$ABCD$是正方形，则根据图中数据可得原长方体的表面积为$\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
（1）将它折叠能得到的几何体名称是________；
（2）若要把这个几何体重新展开，则最少需要剪开________条棱.
10 如图，在横线上填上适当的代数式，使等式成立：$(a-b)^2=a^2-2ab+\_\_\_\_\_\_$.
11 如图，一个长方体的表面展开图中四边形$ABCD$是正方形，则根据图中数据可得原长方体的表面积为$\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
答案
9. （1）三棱柱 （2）5
10. $b^2$
11. 38
【解析】
，根据长方体的特征，得$AD=AE=8÷2=4(\mathrm{cm})$.因为四边形$ABCD$是正方形，所以$CD=AD=4\ \mathrm{cm}$.所以长方体的高为$(6-4)÷2=1(\mathrm{cm})$.所以$EF=4-1=3(\mathrm{cm})$.所以原长方体的表面积为$(3×4+3×1+4×1)×2=38(\mathrm{cm}^2)$.解析
【分析】
第9题：(1) 先观察展开图的面的特征：有2个全等的三角形和3个长方形，分别对应三棱柱的两个底面和三个侧面，即可判断几何体类型；(2) 先明确三棱柱总棱数为9，平面展开图中相邻面共用的棱是未剪开的，5个面的展开图共有4条未剪开的棱，用总棱数减去未剪开的棱数即可得到最少剪开的棱数。
第10题：直接回忆完全平方差公式的展开形式，对比等式左右项即可得到缺失的项。
第11题：首先根据横向总长度求出正方形ABCD的边长，再结合纵向总高度求出长方体的高，进而得到长方体的长、宽、高，最后代入长方体表面积公式计算即可。
【解析】
9. （1）该展开图包含2个全等的三角形面、3个长方形面，符合三棱柱的表面展开图特点，折叠后得到三棱柱；
（2）三棱柱总共有9条棱，将其展开为平面图形时，5个面相连共有4条棱未被剪开，因此最少需要剪开的棱数为$9-4=5$条。
10. 根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对比等式可得横线处应填$b^2$。
11. 由长方体展开图特征可得：$AD=AE=8÷2=4\mathrm{cm}$，因为四边形$ABCD$是正方形，所以$CD=AD=4\mathrm{cm}$；长方体的高为$(6-4)÷2=1\mathrm{cm}$，则长方体的长$EF=4-1=3\mathrm{cm}$，即长方体的长宽高分别为3cm、4cm、1cm；代入表面积公式得：$S_{\mathrm{表}}=2×(3×4+3×1+4×1)=38\mathrm{cm}^2$。
【答案】
9. （1）三棱柱 （2）5
10. $b^2$
11. 38
，根据长方体的特征，得$AD=AE=8÷2=4(\mathrm{cm})$.因为四边形$ABCD$是正方形，所以$CD=AD=4\ \mathrm{cm}$.所以长方体的高为$(6-4)÷2=1(\mathrm{cm})$.所以$EF=4-1=3(\mathrm{cm})$.所以原长方体的表面积为$(3×4+3×1+4×1)×2=38(\mathrm{cm}^2)$.
【知识点】
几何体展开图识别、完全平方公式、长方体表面积计算
【点评】
本组题目侧重基础知识点的应用，第9题需要掌握常见几何体的展开图特征，理清棱数的计算逻辑；第10题是对乘法公式的直接考查，熟练记忆公式即可快速作答；第11题需要结合空间想象分析展开图各边长的对应关系，再代入公式计算，兼顾了对识图能力和公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
第9题：(1) 先观察展开图的面的特征：有2个全等的三角形和3个长方形，分别对应三棱柱的两个底面和三个侧面，即可判断几何体类型；(2) 先明确三棱柱总棱数为9，平面展开图中相邻面共用的棱是未剪开的，5个面的展开图共有4条未剪开的棱，用总棱数减去未剪开的棱数即可得到最少剪开的棱数。
第10题：直接回忆完全平方差公式的展开形式，对比等式左右项即可得到缺失的项。
第11题：首先根据横向总长度求出正方形ABCD的边长，再结合纵向总高度求出长方体的高，进而得到长方体的长、宽、高，最后代入长方体表面积公式计算即可。
【解析】
9. （1）该展开图包含2个全等的三角形面、3个长方形面，符合三棱柱的表面展开图特点，折叠后得到三棱柱；
（2）三棱柱总共有9条棱，将其展开为平面图形时，5个面相连共有4条棱未被剪开，因此最少需要剪开的棱数为$9-4=5$条。
10. 根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对比等式可得横线处应填$b^2$。
11. 由长方体展开图特征可得：$AD=AE=8÷2=4\mathrm{cm}$，因为四边形$ABCD$是正方形，所以$CD=AD=4\mathrm{cm}$；长方体的高为$(6-4)÷2=1\mathrm{cm}$，则长方体的长$EF=4-1=3\mathrm{cm}$，即长方体的长宽高分别为3cm、4cm、1cm；代入表面积公式得：$S_{\mathrm{表}}=2×(3×4+3×1+4×1)=38\mathrm{cm}^2$。
【答案】
9. （1）三棱柱 （2）5
10. $b^2$
11. 38
，根据长方体的特征，得$AD=AE=8÷2=4(\mathrm{cm})$.因为四边形$ABCD$是正方形，所以$CD=AD=4\ \mathrm{cm}$.所以长方体的高为$(6-4)÷2=1(\mathrm{cm})$.所以$EF=4-1=3(\mathrm{cm})$.所以原长方体的表面积为$(3×4+3×1+4×1)×2=38(\mathrm{cm}^2)$.【知识点】
几何体展开图识别、完全平方公式、长方体表面积计算
【点评】
本组题目侧重基础知识点的应用，第9题需要掌握常见几何体的展开图特征，理清棱数的计算逻辑；第10题是对乘法公式的直接考查，熟练记忆公式即可快速作答；第11题需要结合空间想象分析展开图各边长的对应关系，再代入公式计算，兼顾了对识图能力和公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
12 教材P148“探究”变式 如图，由图①、图②和图③中小正方形个数的关系，得到$1^3 + 2^3 = (1+2)^2 = 3^2$. 类似地，继续结合图形验证你的猜想，并应用其蕴含的规律求$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 100^3$的值（结果保留幂的形式）.
答案
12. 从所给图形可知，$1^3+2^3=(1+2)^2=3^2$,类似地,可得$1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2=6^2$,$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2=10^2$,$\dots$,所以$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2$($n$ 是正整数).当 $n=100$ 时,$1^3+2^3+3^3+\dots+100^3=(1+2+3+\dots+100)^2=5\ 050^2$
解析
【分析】
首先观察题目给出的示例等式：$1^3+2^3=(1+2)^2$，可发现等式左侧是从1开始的连续正整数的立方和，右侧是这几个正整数的和的平方。解题时先通过更多小数值的案例验证这个规律，归纳得到通用的运算公式，再将$n=100$代入公式，先计算1到100的和，再对和求平方即可得到最终结果。
【解析】
根据题中图形对应的数量关系可得：
$1^3+2^3=(1+2)^2=3^2$，
类比推导：$1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2=6^2$，$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2=10^2$，
由此归纳通用规律：对任意正整数$n$，有$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2$。
当$n=100$时，计算$1+2+3+\dots+100=(1+100)+(2+99)+\dots+(50+51)=101×50=5050$，
因此$1^3+2^3+3^3+\dots+100^3=(1+2+3+\dots+100)^2=5050^2$。
【答案】
$5050^2$
【知识点】
乘方运算，规律探究，有理数求和
【点评】
本题借助几何图形的小正方形个数关系，直观呈现了连续正整数立方和的运算规律，考查学生从特殊案例归纳一般规律的推理能力，掌握该规律可大幅简化同类求和运算的计算过程。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的示例等式：$1^3+2^3=(1+2)^2$，可发现等式左侧是从1开始的连续正整数的立方和，右侧是这几个正整数的和的平方。解题时先通过更多小数值的案例验证这个规律，归纳得到通用的运算公式，再将$n=100$代入公式，先计算1到100的和，再对和求平方即可得到最终结果。
【解析】
根据题中图形对应的数量关系可得：
$1^3+2^3=(1+2)^2=3^2$，
类比推导：$1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2=6^2$，$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2=10^2$，
由此归纳通用规律：对任意正整数$n$，有$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2$。
当$n=100$时，计算$1+2+3+\dots+100=(1+100)+(2+99)+\dots+(50+51)=101×50=5050$，
因此$1^3+2^3+3^3+\dots+100^3=(1+2+3+\dots+100)^2=5050^2$。
【答案】
$5050^2$
【知识点】
乘方运算，规律探究，有理数求和
【点评】
本题借助几何图形的小正方形个数关系，直观呈现了连续正整数立方和的运算规律，考查学生从特殊案例归纳一般规律的推理能力，掌握该规律可大幅简化同类求和运算的计算过程。
【难度系数】
0.7
13 如图，长方形的长为$a$，宽为$b(a＞b)$，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为 （
A.甲、乙的侧面积相同，体积不同
B.甲、乙的侧面积相同，体积也相同
C.甲、乙的侧面积不相同，体积相同
D.甲、乙的侧面积不相同，体积也不相同
A
）A.甲、乙的侧面积相同，体积不同
B.甲、乙的侧面积相同，体积也相同
C.甲、乙的侧面积不相同，体积相同
D.甲、乙的侧面积不相同，体积也不相同
答案
13. A
【解析】甲的底面直径是 $2b$,高是 $a$,则侧面积为 $2π ab$,体积为 $π ab^2$;乙的底面直径是 $2a$,高是 $b$,则侧面积为 $2π ab$,体积为 $π a^2 b$,所以甲、乙的侧面积相同,体积不同.
【解析】甲的底面直径是 $2b$,高是 $a$,则侧面积为 $2π ab$,体积为 $π ab^2$;乙的底面直径是 $2a$,高是 $b$,则侧面积为 $2π ab$,体积为 $π a^2 b$,所以甲、乙的侧面积相同,体积不同.
解析
【分析】
解决本题首先要明确长方形绕一条边旋转得到圆柱时，作为旋转轴的边是圆柱的高，另一条邻边是圆柱的底面半径。接下来我们分别确定圆柱甲、乙的底面半径和高，再依次代入圆柱侧面积公式、体积公式计算两个圆柱的侧面积和体积，最后比较结果即可得出答案。
【解析】
首先分析圆柱甲：长方形绕宽$b$所在直线旋转得到甲，因此甲的高为$a$，底面半径为$b$。
根据圆柱侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=2π rh$，代入得甲的侧面积：$S_{\mathrm{甲侧}}=2π × b × a = 2π ab$；
根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，代入得甲的体积：$V_{\mathrm{甲}}=π × b^2 × a = π ab^2$。
再分析圆柱乙：长方形绕长$a$所在直线旋转得到乙，因此乙的高为$b$，底面半径为$a$。
代入侧面积公式得乙的侧面积：$S_{\mathrm{乙侧}}=2π × a × b = 2π ab$；
代入体积公式得乙的体积：$V_{\mathrm{乙}}=π × a^2 × b = π a^2 b$。
已知$a＞b$，因此$π ab^2 ≠ π a^2 b$，即甲、乙侧面积相同，体积不同。
【答案】
A
【知识点】
面动成体；圆柱侧面积计算；圆柱体积计算
【点评】
本题解题的核心是准确判断旋转后圆柱的底面半径和高与长方形边长的对应关系，再代入对应公式计算比较即可，需要注意区分不同旋转方式下各参数的变化。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确长方形绕一条边旋转得到圆柱时，作为旋转轴的边是圆柱的高，另一条邻边是圆柱的底面半径。接下来我们分别确定圆柱甲、乙的底面半径和高，再依次代入圆柱侧面积公式、体积公式计算两个圆柱的侧面积和体积，最后比较结果即可得出答案。
【解析】
首先分析圆柱甲：长方形绕宽$b$所在直线旋转得到甲，因此甲的高为$a$，底面半径为$b$。
根据圆柱侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=2π rh$，代入得甲的侧面积：$S_{\mathrm{甲侧}}=2π × b × a = 2π ab$；
根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，代入得甲的体积：$V_{\mathrm{甲}}=π × b^2 × a = π ab^2$。
再分析圆柱乙：长方形绕长$a$所在直线旋转得到乙，因此乙的高为$b$，底面半径为$a$。
代入侧面积公式得乙的侧面积：$S_{\mathrm{乙侧}}=2π × a × b = 2π ab$；
代入体积公式得乙的体积：$V_{\mathrm{乙}}=π × a^2 × b = π a^2 b$。
已知$a＞b$，因此$π ab^2 ≠ π a^2 b$，即甲、乙侧面积相同，体积不同。
【答案】
A
【知识点】
面动成体；圆柱侧面积计算；圆柱体积计算
【点评】
本题解题的核心是准确判断旋转后圆柱的底面半径和高与长方形边长的对应关系，再代入对应公式计算比较即可，需要注意区分不同旋转方式下各参数的变化。
【难度系数】
0.7
