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7.「2026江苏南京外国语学校月考，★☆」有四根外形完全相同的导线穿过一个不透明的盒子，仅两端露在盒子外面.现将同一端的四根导线随机分为两组，并把同一组的两根导线末端连在一起，则导线能形成一个闭环线路(即四根导线依次首尾相连)的概率是 (
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1
B
)A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1
答案
设四根导线两端分别为$A,a;B,b;C,c;D,d$.
∵将同一端的四根导线随机分为两组,
∴选取其中两根组成一组后,另外两根必成一组,画树状图如下：
由树状图可知,共有9种等可能的结果,只有当两端分组方式不同时,才能形成一个闭环线路,其中导线能形成一个闭环线路的结果有6种,
∴导线能形成一个闭环线路(即四根导线依次首尾相连)的概率是$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.故选B.
解析
【分析】
这是一道结合实际场景的概率计算问题，解题时可按以下思路思考：①先给四根导线的两端做标记，区分同一根导线的两个端点，方便后续分析连接情况；②由于两端都是将四根导线随机分成两组、每组两根，先列举出其中一端所有的分组方式，再对应每种分组列举另一端所有的分组方式，用树状图列出所有等可能的结果，得到总结果数；③分析形成闭环的条件：如果两端分组方式完全相同，会形成两个独立的小闭环，不符合要求，只有两端分组不同时才能形成四根导线依次相连的大闭环，统计符合条件的结果数；④最后用“符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算概率即可。
【解析】
设四根导线两端分别为$A,a;B,b;C,c;D,d$。
将同一端的四根导线随机分为两组（每组两根），共有3种分组方式：$(AB,CD)、(AC,BD)、(AD,BC)$，我们通过树状图列举两端分组的所有等可能情况：
由树状图可知，共有$3×3=9$种等可能的结果。
若两端分组方式相同，会形成2个独立的小闭环，不符合“四根导线依次首尾相连”的要求；只有两端分组方式不同时，才能形成包含四根导线的一个闭环，符合条件的结果共有$3×2=6$种。
根据概率公式，导线能形成一个闭环线路的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
树状图法求概率，概率计算公式，分组计数
【点评】
本题结合导线连接的实际场景考查概率的计算，解题核心是准确列举所有等可能的分组情况，正确判断形成大闭环的分组特征，考查了学生的逻辑分析能力和计数能力，是概率部分的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
这是一道结合实际场景的概率计算问题，解题时可按以下思路思考：①先给四根导线的两端做标记，区分同一根导线的两个端点，方便后续分析连接情况；②由于两端都是将四根导线随机分成两组、每组两根，先列举出其中一端所有的分组方式，再对应每种分组列举另一端所有的分组方式，用树状图列出所有等可能的结果，得到总结果数；③分析形成闭环的条件：如果两端分组方式完全相同，会形成两个独立的小闭环，不符合要求，只有两端分组不同时才能形成四根导线依次相连的大闭环，统计符合条件的结果数；④最后用“符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算概率即可。
【解析】
设四根导线两端分别为$A,a;B,b;C,c;D,d$。
将同一端的四根导线随机分为两组（每组两根），共有3种分组方式：$(AB,CD)、(AC,BD)、(AD,BC)$，我们通过树状图列举两端分组的所有等可能情况：
由树状图可知，共有$3×3=9$种等可能的结果。
若两端分组方式相同，会形成2个独立的小闭环，不符合“四根导线依次首尾相连”的要求；只有两端分组方式不同时，才能形成包含四根导线的一个闭环，符合条件的结果共有$3×2=6$种。
根据概率公式，导线能形成一个闭环线路的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
树状图法求概率，概率计算公式，分组计数
【点评】
本题结合导线连接的实际场景考查概率的计算，解题核心是准确列举所有等可能的分组情况，正确判断形成大闭环的分组特征，考查了学生的逻辑分析能力和计数能力，是概率部分的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
8.「2025江苏宿迁经开区月考，★☆」四张相同的卡片上分别写有-1,-5,2,4,将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张,并将卡片上数字记为k,再从余下的卡片中任意抽1张,并将卡片上数字记为b,则一次函数$y=kx+b$的图象经过第二、三、四象限的概率为
$\frac{1}{6}$
.答案
$\frac{1}{6}$
解析 若一次函数$y=kx+b$的图象经过第二、三、四象限,则$k＜0,b＜0$.列表如下：
| | -1 | -5 | 2 | 4 |
|----|----|----|----|----|
| -1 | | (-1,-5) | (-1,2) | (-1,4) |
| -5 | (-5,-1) | | (-5,2) | (-5,4) |
| 2 | (2,-1) | (2,-5) | | (2,4) |
| 4 | (4,-1) | (4,-5) | (4,2) | |
由表格可得,共有12种等可能的结果,其中满足$k＜0$,$b＜0$的结果有$(-1,-5),(-5,-1)$,共2种,
∴一次函数$y=kx+b$的图象经过第二、三、四象限的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析 若一次函数$y=kx+b$的图象经过第二、三、四象限,则$k＜0,b＜0$.列表如下：
| | -1 | -5 | 2 | 4 |
|----|----|----|----|----|
| -1 | | (-1,-5) | (-1,2) | (-1,4) |
| -5 | (-5,-1) | | (-5,2) | (-5,4) |
| 2 | (2,-1) | (2,-5) | | (2,4) |
| 4 | (4,-1) | (4,-5) | (4,2) | |
由表格可得,共有12种等可能的结果,其中满足$k＜0$,$b＜0$的结果有$(-1,-5),(-5,-1)$,共2种,
∴一次函数$y=kx+b$的图象经过第二、三、四象限的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
要解决这道题，我们分三步思考：第一步，先明确一次函数$y=kx+b$的图象经过第二、三、四象限的判定条件：斜率$k＜0$，截距$b＜0$；第二步，本题是不放回抽取两张卡片，第一张对应$k$、第二张对应$b$，属于有序抽取试验，我们可以用列表法列出所有等可能的结果；第三步，数出满足$k＜0$且$b＜0$的结果数，再根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算最终概率。
【解析】
若一次函数$y=kx+b$的图象经过第二、三、四象限，则需满足$k＜0$，$b＜0$。
本题为不放回抽取，列表展示所有可能的$(k,b)$组合如下：
| | -1 | -5 | 2 | 4 |
|----|----|----|----|----|
| -1 | | $(-1,-5)$ | $(-1,2)$ | $(-1,4)$ |
| -5 | $(-5,-1)$ | | $(-5,2)$ | $(-5,4)$ |
| 2 | $(2,-1)$ | $(2,-5)$ | | $(2,4)$ |
| 4 | $(4,-1)$ | $(4,-5)$ | $(4,2)$ | |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中满足$k＜0$且$b＜0$的结果有$(-1,-5)$、$(-5,-1)$，共2种。
根据概率公式，可得一次函数图象经过第二、三、四象限的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
一次函数图象性质，列表法求概率
【点评】
本题是一次函数与概率的基础综合题，解题的关键是先准确掌握一次函数图象经过象限的判定规则，再注意抽取是不放回且有序的，避免重复或漏计等可能结果。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们分三步思考：第一步，先明确一次函数$y=kx+b$的图象经过第二、三、四象限的判定条件：斜率$k＜0$，截距$b＜0$；第二步，本题是不放回抽取两张卡片，第一张对应$k$、第二张对应$b$，属于有序抽取试验，我们可以用列表法列出所有等可能的结果；第三步，数出满足$k＜0$且$b＜0$的结果数，再根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算最终概率。
【解析】
若一次函数$y=kx+b$的图象经过第二、三、四象限，则需满足$k＜0$，$b＜0$。
本题为不放回抽取，列表展示所有可能的$(k,b)$组合如下：
| | -1 | -5 | 2 | 4 |
|----|----|----|----|----|
| -1 | | $(-1,-5)$ | $(-1,2)$ | $(-1,4)$ |
| -5 | $(-5,-1)$ | | $(-5,2)$ | $(-5,4)$ |
| 2 | $(2,-1)$ | $(2,-5)$ | | $(2,4)$ |
| 4 | $(4,-1)$ | $(4,-5)$ | $(4,2)$ | |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中满足$k＜0$且$b＜0$的结果有$(-1,-5)$、$(-5,-1)$，共2种。
根据概率公式，可得一次函数图象经过第二、三、四象限的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
一次函数图象性质，列表法求概率
【点评】
本题是一次函数与概率的基础综合题，解题的关键是先准确掌握一次函数图象经过象限的判定规则，再注意抽取是不放回且有序的，避免重复或漏计等可能结果。
【难度系数】
0.6
9.「★☆」有三张正面分别标有-1,1,2的不透明卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中任意抽取一张,将该卡片正面上的数记为a,不放回,再从中任意抽取一张,将该卡片正面上的数记为b,则使关于x的不等式组$\begin{cases}\dfrac{3x-2}{2}＜x+\dfrac{3}{2}, \\ax＞b\end{cases}$的解集中有且只有2个非负整数解的概率为 ______ .
答案
$\frac{1}{6}$
解析 画树状图如下：
由树状图可知,共有6种等可能的结果,对于不等式组$\begin{cases}\dfrac{3x-2}{2}＜x+\dfrac{3}{2}①, \\ax＞b②,\end{cases}$解不等式①,得$x＜5$.当$a＞0$时,解不等式②,得$x＞\frac{b}{a}$,若不等式组的解集中有且只有2个非负整数解,则$2≤ \frac{b}{a}＜3$,所以$b=2,a=1$符合要求.
当$a＜0$时,解不等式②,得$x＜\frac{b}{a}$.若不等式组的解集中有且只有2个非负整数解,则$1＜\frac{b}{a}≤ 2$,不存在符合题意的结果,故所有结果中只有1种结果符合要求,故使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数解的概率为$\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
这是一道概率与一元一次不等式组结合的综合题，解题思路可分三步展开：第一步，先确定不放回抽取两张卡片的所有等可能结果，通过树状图列出所有(a,b)的组合，统计总情况数；第二步，先求解不含参数的第一个不等式，得到x的取值范围；第三步，分a＞0和a＜0两种情况解含参数的不等式ax＞b，再结合“解集中有且只有2个非负整数解”的条件，推导出a、b需要满足的关系，筛选出符合要求的(a,b)组合，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可得到所求概率。
【解析】
首先通过树状图列出所有不放回抽取的等可能结果：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，分别为$(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,2),(2,-1),(2,1)$。
接下来解不等式组$\begin{cases}\dfrac{3x-2}{2}＜x+\dfrac{3}{2}①, \\ax＞b②\end{cases}$：
解不等式①：两边同乘2得$3x-2 ＜ 2x + 3$，移项化简得$x ＜ 5$。
分情况讨论不等式②：
1. 当$a＞0$时（即$a=1$或$a=2$），不等式②的解集为$x ＞ \frac{b}{a}$，此时不等式组的解集为$\frac{b}{a} ＜ x ＜ 5$。
要使解集中有且只有2个非负整数解，小于5的非负整数为0,1,2,3,4，符合要求的2个非负整数解只能是3和4，因此需要满足$2≤ \frac{b}{a} ＜ 3$。
代入a的可能值验证：
若$a=1$，则$2≤ b ＜ 3$，此时b的可选值为2，即$(a,b)=(1,2)$符合要求；
若$a=2$，则$2≤ \frac{b}{2} ＜ 3$，即$4≤ b ＜6$，没有符合条件的b值。
2. 当$a＜0$时（即$a=-1$），不等式②的解集为$x ＜ \frac{b}{a}$，此时不等式组的解集为$x ＜ \min(5,\frac{b}{a})$。
要使解集中有且只有2个非负整数解，符合要求的2个非负整数解只能是0和1，因此需要满足$1 ＜ \frac{b}{a} ≤ 2$，代入$a=-1$得$1 ＜ -b ≤ 2$，即$-2≤ b ＜ -1$，没有符合条件的b值。
综上，只有1种结果符合要求，因此所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 树状图法求概率
2. 解一元一次不等式组
3. 含参不等式求解
【点评】
本题为概率与不等式的综合题，既考查了不放回随机事件概率的计算方法，又需要运用分类讨论思想处理含参数的不等式，解题的关键是准确根据整数解的个数确定参数的取值范围，避免因忽略a的正负讨论导致错解。
【难度系数】
0.3
这是一道概率与一元一次不等式组结合的综合题，解题思路可分三步展开：第一步，先确定不放回抽取两张卡片的所有等可能结果，通过树状图列出所有(a,b)的组合，统计总情况数；第二步，先求解不含参数的第一个不等式，得到x的取值范围；第三步，分a＞0和a＜0两种情况解含参数的不等式ax＞b，再结合“解集中有且只有2个非负整数解”的条件，推导出a、b需要满足的关系，筛选出符合要求的(a,b)组合，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可得到所求概率。
【解析】
首先通过树状图列出所有不放回抽取的等可能结果：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，分别为$(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,2),(2,-1),(2,1)$。
接下来解不等式组$\begin{cases}\dfrac{3x-2}{2}＜x+\dfrac{3}{2}①, \\ax＞b②\end{cases}$：
解不等式①：两边同乘2得$3x-2 ＜ 2x + 3$，移项化简得$x ＜ 5$。
分情况讨论不等式②：
1. 当$a＞0$时（即$a=1$或$a=2$），不等式②的解集为$x ＞ \frac{b}{a}$，此时不等式组的解集为$\frac{b}{a} ＜ x ＜ 5$。
要使解集中有且只有2个非负整数解，小于5的非负整数为0,1,2,3,4，符合要求的2个非负整数解只能是3和4，因此需要满足$2≤ \frac{b}{a} ＜ 3$。
代入a的可能值验证：
若$a=1$，则$2≤ b ＜ 3$，此时b的可选值为2，即$(a,b)=(1,2)$符合要求；
若$a=2$，则$2≤ \frac{b}{2} ＜ 3$，即$4≤ b ＜6$，没有符合条件的b值。
2. 当$a＜0$时（即$a=-1$），不等式②的解集为$x ＜ \frac{b}{a}$，此时不等式组的解集为$x ＜ \min(5,\frac{b}{a})$。
要使解集中有且只有2个非负整数解，符合要求的2个非负整数解只能是0和1，因此需要满足$1 ＜ \frac{b}{a} ≤ 2$，代入$a=-1$得$1 ＜ -b ≤ 2$，即$-2≤ b ＜ -1$，没有符合条件的b值。
综上，只有1种结果符合要求，因此所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 树状图法求概率
2. 解一元一次不等式组
3. 含参不等式求解
【点评】
本题为概率与不等式的综合题，既考查了不放回随机事件概率的计算方法，又需要运用分类讨论思想处理含参数的不等式，解题的关键是准确根据整数解的个数确定参数的取值范围，避免因忽略a的正负讨论导致错解。
【难度系数】
0.3
10.「2025江苏南京中考模拟，★☆」学校举办数学嘉年华活动，设计了一款“数字魔方大挑战”游戏道具.有两个特制的正方体魔方，魔方A的六个面分别标有数1,2,2,3,3,3；魔方B的六个面分别标有数-1,0,0,1,1,1.
(1)若同时抛掷这两个魔方，魔方A,B落地后朝上一面的数分别记为a和b.将a,b代入关于x的一元二次方程$x^2+ax+b=0$中，求该方程有实数根的概率.
(2)同时抛掷这两个魔方，求魔方A朝上一面的数大于魔方B朝上一面的数的概率.
(1)若同时抛掷这两个魔方，魔方A,B落地后朝上一面的数分别记为a和b.将a,b代入关于x的一元二次方程$x^2+ax+b=0$中，求该方程有实数根的概率.
(2)同时抛掷这两个魔方，求魔方A朝上一面的数大于魔方B朝上一面的数的概率.
答案
(1)由条件可知$\Delta=a^2-4b≥ 0$,
依题意,$\Delta$的结果有下表所示的可能：
| \diagbox{b}{a} | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 |
|----|----|----|----|----|----|----|
| -1 | 5 | 8 | 8 | 13 | 13 | 13 |
| 0 | 1 | 4 | 4 | 9 | 9 | 9 |
| 0 | 1 | 4 | 4 | 9 | 9 | 9 |
| 1 | -3 | 0 | 0 | 5 | 5 | 5 |
| 1 | -3 | 0 | 0 | 5 | 5 | 5 |
| 1 | -3 | 0 | 0 | 5 | 5 | 5 |
由表可知,共有36种等可能的结果,其中使$a^2-4b≥ 0$的结果有33种,
∴该方程有实数根的概率为$\frac{33}{36}=\frac{11}{12}$.
(2)列表如下：
| \diagbox{B}{A} | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 |
|----|----|----|----|----|----|----|
| -1 | (1,-1) | (2,-1) | (2,-1) | (3,-1) | (3,-1) | (3,-1) |
| 0 | (1,0) | (2,0) | (2,0) | (3,0) | (3,0) | (3,0) |
| 0 | (1,0) | (2,0) | (2,0) | (3,0) | (3,0) | (3,0) |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) |
由表可知一共有36种等可能的结果,其中魔方A朝上一面的数大于魔方B朝上一面的数的结果有33种,
∴魔方A朝上一面的数大于魔方B朝上一面的数的概率为$\frac{33}{36}=\frac{11}{12}$.
依题意,$\Delta$的结果有下表所示的可能：
| \diagbox{b}{a} | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 |
|----|----|----|----|----|----|----|
| -1 | 5 | 8 | 8 | 13 | 13 | 13 |
| 0 | 1 | 4 | 4 | 9 | 9 | 9 |
| 0 | 1 | 4 | 4 | 9 | 9 | 9 |
| 1 | -3 | 0 | 0 | 5 | 5 | 5 |
| 1 | -3 | 0 | 0 | 5 | 5 | 5 |
| 1 | -3 | 0 | 0 | 5 | 5 | 5 |
由表可知,共有36种等可能的结果,其中使$a^2-4b≥ 0$的结果有33种,
∴该方程有实数根的概率为$\frac{33}{36}=\frac{11}{12}$.
(2)列表如下：
| \diagbox{B}{A} | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 |
|----|----|----|----|----|----|----|
| -1 | (1,-1) | (2,-1) | (2,-1) | (3,-1) | (3,-1) | (3,-1) |
| 0 | (1,0) | (2,0) | (2,0) | (3,0) | (3,0) | (3,0) |
| 0 | (1,0) | (2,0) | (2,0) | (3,0) | (3,0) | (3,0) |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) |
由表可知一共有36种等可能的结果,其中魔方A朝上一面的数大于魔方B朝上一面的数的结果有33种,
∴魔方A朝上一面的数大于魔方B朝上一面的数的概率为$\frac{33}{36}=\frac{11}{12}$.
解析
【分析】
本题考查两次试验下的概率计算，解题思路如下：
(1) 首先明确一元二次方程有实数根的条件是判别式$\Delta=a^2-4b≥0$；两个魔方各有6个面，同时抛掷共有$6×6=36$种等可能的结果，通过列表法逐一计算每种情况的$\Delta$值，统计满足$\Delta≥0$的结果数，再根据概率公式计算即可。
(2) 要求魔方A的数a大于魔方B的数b的概率，同样通过列表法列出所有$(a,b)$的组合，统计满足$a＞b$的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 关于x的一元二次方程$x^2+ax+b=0$有实数根的条件为$\Delta=a^2-4b≥0$。
同时抛掷两个魔方，总共有$6×6=36$种等可能的结果，列出所有情况的$\Delta$值如下：
| \diagbox{b}{a} | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 |
|----|----|----|----|----|----|----|
| -1 | 5 | 8 | 8 | 13 | 13 | 13 |
| 0 | 1 | 4 | 4 | 9 | 9 | 9 |
| 0 | 1 | 4 | 4 | 9 | 9 | 9 |
| 1 | -3 | 0 | 0 | 5 | 5 | 5 |
| 1 | -3 | 0 | 0 | 5 | 5 | 5 |
| 1 | -3 | 0 | 0 | 5 | 5 | 5 |
统计得满足$a^2-4b≥0$的结果有33种，
因此该方程有实数根的概率为$\frac{33}{36}=\frac{11}{12}$。
(2) 列出所有$(a,b)$的组合如下：
| \diagbox{B}{A} | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 |
|----|----|----|----|----|----|----|
| -1 | (1,-1) | (2,-1) | (2,-1) | (3,-1) | (3,-1) | (3,-1) |
| 0 | (1,0) | (2,0) | (2,0) | (3,0) | (3,0) | (3,0) |
| 0 | (1,0) | (2,0) | (2,0) | (3,0) | (3,0) | (3,0) |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) |
统计得满足$a＞b$的结果有33种，
因此魔方A朝上一面的数大于魔方B朝上一面的数的概率为$\frac{33}{36}=\frac{11}{12}$。
【答案】
(1) $\frac{11}{12}$；(2) $\frac{11}{12}$
【知识点】
1. 列表法求概率 2. 一元二次方程根的判别式 3. 概率公式
【点评】
本题将一元二次方程根的判定和概率计算结合，核心考查用列表法梳理两次试验的所有等可能结果，解题时只要仔细计数符合条件的结果，就能准确求出概率，注意计算概率的结果要化为最简分数。
【难度系数】
0.7
本题考查两次试验下的概率计算，解题思路如下：
(1) 首先明确一元二次方程有实数根的条件是判别式$\Delta=a^2-4b≥0$；两个魔方各有6个面，同时抛掷共有$6×6=36$种等可能的结果，通过列表法逐一计算每种情况的$\Delta$值，统计满足$\Delta≥0$的结果数，再根据概率公式计算即可。
(2) 要求魔方A的数a大于魔方B的数b的概率，同样通过列表法列出所有$(a,b)$的组合，统计满足$a＞b$的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 关于x的一元二次方程$x^2+ax+b=0$有实数根的条件为$\Delta=a^2-4b≥0$。
同时抛掷两个魔方，总共有$6×6=36$种等可能的结果，列出所有情况的$\Delta$值如下：
| \diagbox{b}{a} | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 |
|----|----|----|----|----|----|----|
| -1 | 5 | 8 | 8 | 13 | 13 | 13 |
| 0 | 1 | 4 | 4 | 9 | 9 | 9 |
| 0 | 1 | 4 | 4 | 9 | 9 | 9 |
| 1 | -3 | 0 | 0 | 5 | 5 | 5 |
| 1 | -3 | 0 | 0 | 5 | 5 | 5 |
| 1 | -3 | 0 | 0 | 5 | 5 | 5 |
统计得满足$a^2-4b≥0$的结果有33种，
因此该方程有实数根的概率为$\frac{33}{36}=\frac{11}{12}$。
(2) 列出所有$(a,b)$的组合如下：
| \diagbox{B}{A} | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 |
|----|----|----|----|----|----|----|
| -1 | (1,-1) | (2,-1) | (2,-1) | (3,-1) | (3,-1) | (3,-1) |
| 0 | (1,0) | (2,0) | (2,0) | (3,0) | (3,0) | (3,0) |
| 0 | (1,0) | (2,0) | (2,0) | (3,0) | (3,0) | (3,0) |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) |
统计得满足$a＞b$的结果有33种，
因此魔方A朝上一面的数大于魔方B朝上一面的数的概率为$\frac{33}{36}=\frac{11}{12}$。
【答案】
(1) $\frac{11}{12}$；(2) $\frac{11}{12}$
【知识点】
1. 列表法求概率 2. 一元二次方程根的判别式 3. 概率公式
【点评】
本题将一元二次方程根的判定和概率计算结合，核心考查用列表法梳理两次试验的所有等可能结果，解题时只要仔细计数符合条件的结果，就能准确求出概率，注意计算概率的结果要化为最简分数。
【难度系数】
0.7
11.核心素养 推理能力「2026江苏常州期末」做投球试验的装置如图所示.试验时,将小球从M处投入,通过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子内.已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的.
(1)若投入一个小球,求它通过管道B的概率.
(2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止,下列说法正确的是
①最先填满的是甲盒.
②4个盒子中的小球的数量一样多.
③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量.
④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等.
(1)若投入一个小球,求它通过管道B的概率.
(2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止,下列说法正确的是
③④
.(填写所有正确结论的序号)①最先填满的是甲盒.
②4个盒子中的小球的数量一样多.
③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量.
④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等.
答案
(1)小球通过两层管道下落,可能出现的结果共有4种,即$(P,A),(P,B),(Q,B),(Q,C)$,它们出现的可能性相同,所有的结果中,满足小球通过管道B的结果有2种,分别是$(P,B),(Q,B)$,
∴投入一个小球,它通过管道B的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
(2)画树状图如图,
由树状图可知,小球落到甲盒的概率为$\frac{1}{8}$,落到乙盒的概率为$\frac{3}{8}$,落到丙盒的概率为$\frac{3}{8}$,落到丁盒的概率为$\frac{1}{8}$,
∴最先填满的是乙盒或丙盒,故①说法错误;
∵小球落到4个盒子中的概率不一样,
∴4个盒子中的小球的数量不一样多,故②说法错误;
∵小球落到甲盒的概率小于小球落到乙盒的概率,
∴甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量,故③说法正确;
∵小球落到乙盒的概率等于小球落到丙盒的概率,
∴乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等,故④说法正确.故答案为③④.
解析
【分析】
(1) 解决第一问需先梳理小球下落的路径：小球从M出发第一步会落到P或Q，第二步从P可到A或B、从Q可到B或C，所有路径出现的可能性相等，枚举所有路径后统计经过管道B的路径数，再根据等可能事件的概率公式计算即可。
(2) 解决第二问需通过画树状图，列出小球从M下落到四个盒子的所有等可能结果，分别计算落到甲、乙、丙、丁四个盒子的概率，再结合大量重复试验下频率趋近于概率的规律，逐一判断四个说法的正误。
【解析】
(1) 小球从M下落经过两层岔口，所有等可能的路径共4种，分别为$(P,A),(P,B),(Q,B),(Q,C)$，其中满足“通过管道B”的路径有2种，为$(P,B),(Q,B)$。
根据概率公式可得，投入一个小球通过管道B的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 画出树状图如下：
由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中小球落到甲盒的概率为$\frac{1}{8}$，落到乙盒的概率为$\frac{3}{8}$，落到丙盒的概率为$\frac{3}{8}$，落到丁盒的概率为$\frac{1}{8}$。
逐一判断结论：
① 乙、丙盒的落球概率最高，最先填满的是乙盒或丙盒，故①错误；
② 四个盒子的落球概率不相等，因此足够多小球时四个盒子的小球数量不一样多，故②错误；
③ 甲盒落球概率小于乙盒，因此甲盒中小球数量小于乙盒，故③正确；
④ 乙盒和丙盒落球概率相等，因此大量试验下两者的小球数量大致相等，故④正确。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$
(2) ③④
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 树状图法求概率
3. 概率的意义
【点评】
本题结合投球试验的实际场景考查概率相关知识，需要考生理清小球下落的路径分支，通过树状图清晰列举所有等可能结果，再结合概率的实际意义判断试验结果，侧重对逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问需先梳理小球下落的路径：小球从M出发第一步会落到P或Q，第二步从P可到A或B、从Q可到B或C，所有路径出现的可能性相等，枚举所有路径后统计经过管道B的路径数，再根据等可能事件的概率公式计算即可。
(2) 解决第二问需通过画树状图，列出小球从M下落到四个盒子的所有等可能结果，分别计算落到甲、乙、丙、丁四个盒子的概率，再结合大量重复试验下频率趋近于概率的规律，逐一判断四个说法的正误。
【解析】
(1) 小球从M下落经过两层岔口，所有等可能的路径共4种，分别为$(P,A),(P,B),(Q,B),(Q,C)$，其中满足“通过管道B”的路径有2种，为$(P,B),(Q,B)$。
根据概率公式可得，投入一个小球通过管道B的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 画出树状图如下：
由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中小球落到甲盒的概率为$\frac{1}{8}$，落到乙盒的概率为$\frac{3}{8}$，落到丙盒的概率为$\frac{3}{8}$，落到丁盒的概率为$\frac{1}{8}$。
逐一判断结论：
① 乙、丙盒的落球概率最高，最先填满的是乙盒或丙盒，故①错误；
② 四个盒子的落球概率不相等，因此足够多小球时四个盒子的小球数量不一样多，故②错误；
③ 甲盒落球概率小于乙盒，因此甲盒中小球数量小于乙盒，故③正确；
④ 乙盒和丙盒落球概率相等，因此大量试验下两者的小球数量大致相等，故④正确。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$
(2) ③④
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 树状图法求概率
3. 概率的意义
【点评】
本题结合投球试验的实际场景考查概率相关知识，需要考生理清小球下落的路径分支，通过树状图清晰列举所有等可能结果，再结合概率的实际意义判断试验结果，侧重对逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
