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1. 设等式$\sqrt{a(x-a)} + \sqrt{a(y-a)} = \sqrt{x-a} - \sqrt{a-y}$在实数范围内成立，其中$a,x,y$是两两不同的实数，则$\frac{3x^2 + xy - y^2}{x^2 - xy + y^2}$的值是（
A.$3$
B.$\frac{1}{3}$
C.$2$
D.$\frac{5}{3}$
B
）A.$3$
B.$\frac{1}{3}$
C.$2$
D.$\frac{5}{3}$
答案
因为被开方数是非负数,所以$a(x-a)≥0$,$a(y-a)≥0,x-a≥0,a-y≥0$.由$a(x-a)≥0$和$x-a≥0$可以得到$a≥0$,由$a(y-a)≥0$和$a-y≥0$,可以得到$a≤0$,所以$a$只能等于0,代入等式得$\sqrt{x}-\sqrt{-y}=0$,所以有$x=-y$,即$y=-x$.因为$x,y,a$是两两不同的实数,所以$x＞0,y＜0$.将$y=-x$代入原式得,原式$=\frac{3x^2 + x(-x)-(-x)^2}{x^2 -x(-x)+(-x)^2}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
拿到含有二次根式的等式求值题，首先要回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数。第一步先把等式中所有二次根式的被开方数列出来，写出对应的非负不等式；第二步结合给出的不等式推导a的取值，因为a同时满足大于等于0和小于等于0，所以a只能为0；第三步把a=0代入原等式，得到x和y的数量关系；最后将x和y的关系代入所求的分式，化简计算就能得到结果。
【解析】
根据二次根式被开方数为非负数，可得：
$a(x-a)≥0$，$a(y-a)≥0$，$x-a≥0$，$a-y≥0$
由$a(x-a)≥0$和$x-a≥0$，两个数相乘非负，其中一个数$x-a≥0$，可得$a≥0$；
由$a(y-a)≥0$和$a-y≥0$（即$y-a≤0$），两个数相乘非负，其中一个数$y-a≤0$，可得$a≤0$；
综上，$a=0$。
将$a=0$代入原等式，得$\sqrt{x} - \sqrt{-y}=0$，即$\sqrt{x}=\sqrt{-y}$，两边平方得$x=-y$，即$y=-x$。
结合a、x、y两两不同，可知$x＞0$，$y＜0$，符合根式有意义的条件。
将$y=-x$代入$\frac{3x^2 + xy - y^2}{x^2 - xy + y^2}$：
分子：$3x^2 + x·(-x) - (-x)^2 = 3x^2 - x^2 - x^2 = x^2$
分母：$x^2 - x·(-x) + (-x)^2 = x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2$
所以原式$=\frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.代数式化简求值
【点评】
本题核心考查二次根式非负性的应用，解题的关键是先通过多个被开方数的非负要求推导出a的取值，进而得到x与y的数量关系，再代入分式化简即可。解题时需注意梳理各不等式之间的逻辑关系，避免遗漏条件导致出错。
【难度系数】
0.6
拿到含有二次根式的等式求值题，首先要回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数。第一步先把等式中所有二次根式的被开方数列出来，写出对应的非负不等式；第二步结合给出的不等式推导a的取值，因为a同时满足大于等于0和小于等于0，所以a只能为0；第三步把a=0代入原等式，得到x和y的数量关系；最后将x和y的关系代入所求的分式，化简计算就能得到结果。
【解析】
根据二次根式被开方数为非负数，可得：
$a(x-a)≥0$，$a(y-a)≥0$，$x-a≥0$，$a-y≥0$
由$a(x-a)≥0$和$x-a≥0$，两个数相乘非负，其中一个数$x-a≥0$，可得$a≥0$；
由$a(y-a)≥0$和$a-y≥0$（即$y-a≤0$），两个数相乘非负，其中一个数$y-a≤0$，可得$a≤0$；
综上，$a=0$。
将$a=0$代入原等式，得$\sqrt{x} - \sqrt{-y}=0$，即$\sqrt{x}=\sqrt{-y}$，两边平方得$x=-y$，即$y=-x$。
结合a、x、y两两不同，可知$x＞0$，$y＜0$，符合根式有意义的条件。
将$y=-x$代入$\frac{3x^2 + xy - y^2}{x^2 - xy + y^2}$：
分子：$3x^2 + x·(-x) - (-x)^2 = 3x^2 - x^2 - x^2 = x^2$
分母：$x^2 - x·(-x) + (-x)^2 = x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2$
所以原式$=\frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.代数式化简求值
【点评】
本题核心考查二次根式非负性的应用，解题的关键是先通过多个被开方数的非负要求推导出a的取值，进而得到x与y的数量关系，再代入分式化简即可。解题时需注意梳理各不等式之间的逻辑关系，避免遗漏条件导致出错。
【难度系数】
0.6
2. 已知$a,b$为一个等腰三角形的两边长，且满足等式$2\sqrt{3a-9}+3\sqrt{3-a}=b-6$，则此等腰三角形的周长为
15
。答案
根据题意,得$3a-9≥0,3-a≥0$,解得$a=3$,所以$b-6=0$.所以$b=6$.易知等腰三角形的腰长为6,底边长为3,所以等腰三角形的周长为$6+6+3=15$.
解析
【分析】
解题第一步要依据算术平方根的被开方数必须是非负数的性质，列出关于a的不等式组，求出a的取值；第二步将a的值代入原式求出b的值；第三步结合等腰三角形两边相等的性质，分情况讨论腰长和底边长，再用三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长。
【解析】
要使算术平方根有意义，则被开方数非负，据此列不等式组：
$\begin{cases}3a-9≥0 \\3-a≥0\end{cases}$
解不等式$3a-9≥0$得$a≥3$，解不等式$3-a≥0$得$a≤3$，因此$a=3$。
将$a=3$代入原式$2\sqrt{3a-9}+3\sqrt{3-a}=b-6$，左边为$2\sqrt{0}+3\sqrt{0}=0$，因此$b-6=0$，解得$b=6$。
已知等腰三角形两边长为3和6，分两种情况讨论：
①若腰长为3，底边长为6，此时$3+3=6$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
②若腰长为6，底边长为3，此时$6+3＞6$，$6+6＞3$，满足三角形三边关系，可构成三角形，周长为$6+6+3=15$。
【答案】
15
【知识点】
算术平方根的非负性；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题是二次根式性质与三角形知识的综合题，解题的关键是先根据二次根式有意义的条件求出边长，再结合等腰三角形的特点分类讨论，注意必须用三边关系验证组合是否成立，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
解题第一步要依据算术平方根的被开方数必须是非负数的性质，列出关于a的不等式组，求出a的取值；第二步将a的值代入原式求出b的值；第三步结合等腰三角形两边相等的性质，分情况讨论腰长和底边长，再用三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长。
【解析】
要使算术平方根有意义，则被开方数非负，据此列不等式组：
$\begin{cases}3a-9≥0 \\3-a≥0\end{cases}$
解不等式$3a-9≥0$得$a≥3$，解不等式$3-a≥0$得$a≤3$，因此$a=3$。
将$a=3$代入原式$2\sqrt{3a-9}+3\sqrt{3-a}=b-6$，左边为$2\sqrt{0}+3\sqrt{0}=0$，因此$b-6=0$，解得$b=6$。
已知等腰三角形两边长为3和6，分两种情况讨论：
①若腰长为3，底边长为6，此时$3+3=6$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
②若腰长为6，底边长为3，此时$6+3＞6$，$6+6＞3$，满足三角形三边关系，可构成三角形，周长为$6+6+3=15$。
【答案】
15
【知识点】
算术平方根的非负性；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题是二次根式性质与三角形知识的综合题，解题的关键是先根据二次根式有意义的条件求出边长，再结合等腰三角形的特点分类讨论，注意必须用三边关系验证组合是否成立，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
3. 已知 $ a $ 满足 $ |2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = a $.
(1) $ \sqrt{a - 2026} $ 有意义，$ a $ 的取值范围是 ______；
(2) 根据(1)的分析，求 $ a - 2025^2 $ 的值.
(1) $ \sqrt{a - 2026} $ 有意义，$ a $ 的取值范围是 ______；
(2) 根据(1)的分析，求 $ a - 2025^2 $ 的值.
答案
(1)$a≥2\ 026$
(2)因为$a≥2\ 026$,所以$2\ 025 - a＜0$.
所以$|2\ 025 - a| + \sqrt{a - 2\ 026}=a-2\ 025 + \sqrt{a - 2\ 026}=a$.
所以$\sqrt{a - 2\ 026}=2\ 025$.
所以$2\ 025^2=a - 2\ 026$.所以$a - 2\ 025^2=2\ 026$.
(2)因为$a≥2\ 026$,所以$2\ 025 - a＜0$.
所以$|2\ 025 - a| + \sqrt{a - 2\ 026}=a-2\ 025 + \sqrt{a - 2\ 026}=a$.
所以$\sqrt{a - 2\ 026}=2\ 025$.
所以$2\ 025^2=a - 2\ 026$.所以$a - 2\ 025^2=2\ 026$.
解析
【分析】
（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此只需令$\sqrt{a-2026}$的被开方数大于等于0，即可求出$a$的取值范围。
（2）首先根据（1）得到的$a$的范围，判断$2025-a$的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，代入原式化简后，通过等式变形即可求出$a-2025^2$的值。
【解析】
(1) 要使$\sqrt{a - 2026}$有意义，则被开方数需满足非负性，即：
$a - 2026 ≥ 0$
解得：$a ≥ 2026$
(2) 由(1)可知$a ≥ 2026$，因此$2025 - a ＜ 0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|2025 - a| = a - 2025$。
将其代入原式$|2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = a$中，得：
$a - 2025 + \sqrt{a - 2026} = a$
移项化简可得：$\sqrt{a - 2026} = 2025$
两边同时平方得：$a - 2026 = 2025^2$
移项后得：$a - 2025^2 = 2026$
【答案】
(1) $a≥ 2026$
(2) $2026$
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的性质；算术平方根的非负性
【点评】
本题是算术平方根非负性应用的典型题型，解题的核心是先利用二次根式被开方数的非负性确定参数的取值范围，再结合绝对值的性质化简等式，重在考查对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此只需令$\sqrt{a-2026}$的被开方数大于等于0，即可求出$a$的取值范围。
（2）首先根据（1）得到的$a$的范围，判断$2025-a$的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，代入原式化简后，通过等式变形即可求出$a-2025^2$的值。
【解析】
(1) 要使$\sqrt{a - 2026}$有意义，则被开方数需满足非负性，即：
$a - 2026 ≥ 0$
解得：$a ≥ 2026$
(2) 由(1)可知$a ≥ 2026$，因此$2025 - a ＜ 0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|2025 - a| = a - 2025$。
将其代入原式$|2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = a$中，得：
$a - 2025 + \sqrt{a - 2026} = a$
移项化简可得：$\sqrt{a - 2026} = 2025$
两边同时平方得：$a - 2026 = 2025^2$
移项后得：$a - 2025^2 = 2026$
【答案】
(1) $a≥ 2026$
(2) $2026$
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的性质；算术平方根的非负性
【点评】
本题是算术平方根非负性应用的典型题型，解题的核心是先利用二次根式被开方数的非负性确定参数的取值范围，再结合绝对值的性质化简等式，重在考查对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
4. 新考法整体代入法 已知$a,b,c$都是实数，且满足$(2-a)^2 + \sqrt{a^2 + b + c} + |c + 8| = 0$，$ax^2 + bx + c = 0$，求代数式$3x^2 + 6x + 200$的值。
答案
因为$(a-2)^2 + \sqrt{a^2 + b + c} + |c + 8| = 0$,$(a-2)^2≥0$,$\sqrt{a^2 + b + c}≥0$,$|c + 8|≥0$,
所以$a-2=0$,$a^2 + b + c=0$,$c+8=0$.
所以$a=2$,$c=-8$,$b=4$.
又因为$ax^2 + bx + c=0$,
所以$2x^2 + 4x - 8=0$.所以$x^2 + 2x=4$.
所以$3x^2 + 6x + 200=3(x^2 + 2x)+200=12+200=212$.
所以$a-2=0$,$a^2 + b + c=0$,$c+8=0$.
所以$a=2$,$c=-8$,$b=4$.
又因为$ax^2 + bx + c=0$,
所以$2x^2 + 4x - 8=0$.所以$x^2 + 2x=4$.
所以$3x^2 + 6x + 200=3(x^2 + 2x)+200=12+200=212$.
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：平方、算术平方根、绝对值这三类数的结果都是非负数，若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。据此先列出关于a、b、c的方程，求出a、c的值，再代入算出b的值；接着把a、b、c代入一元二次方程，不需要直接求解x，而是对方程变形得到$x^2+2x$的整体值，最后将所求代数式提取公因式，把$x^2+2x$的整体值代入计算即可，能有效简化计算过程。
【解析】
解：
∵$(2-a)^2≥0$，$\sqrt{a^2 + b + c}≥0$，$|c + 8|≥0$，且三者的和为0，
∴每个非负项都为0，即：
$2-a=0$，$a^2 + b + c=0$，$c+8=0$，
解得：$a=2$，$c=-8$，
将$a=2$，$c=-8$代入$a^2 + b + c=0$，得$4 + b - 8=0$，解得$b=4$。
把$a=2$，$b=4$，$c=-8$代入$ax^2 + bx + c = 0$，得：
$2x^2 + 4x - 8 = 0$，
两边同时除以2，化简得$x^2 + 2x = 4$。
对所求代数式变形：$3x^2 + 6x + 200 = 3(x^2 + 2x) + 200$，
把$x^2 + 2x = 4$代入，得：
原式$=3×4 + 200 = 12 + 200 = 212$。
【答案】
212
【知识点】
非负数的性质；整体代入求值；代数式化简
【点评】
本题解题的核心是熟练掌握非负数的性质，同时运用整体代入的思想简化计算，避免了求解一元二次方程的繁琐步骤，考查了学生的计算能力和对数学思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆非负数的性质：平方、算术平方根、绝对值这三类数的结果都是非负数，若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。据此先列出关于a、b、c的方程，求出a、c的值，再代入算出b的值；接着把a、b、c代入一元二次方程，不需要直接求解x，而是对方程变形得到$x^2+2x$的整体值，最后将所求代数式提取公因式，把$x^2+2x$的整体值代入计算即可，能有效简化计算过程。
【解析】
解：
∵$(2-a)^2≥0$，$\sqrt{a^2 + b + c}≥0$，$|c + 8|≥0$，且三者的和为0，
∴每个非负项都为0，即：
$2-a=0$，$a^2 + b + c=0$，$c+8=0$，
解得：$a=2$，$c=-8$，
将$a=2$，$c=-8$代入$a^2 + b + c=0$，得$4 + b - 8=0$，解得$b=4$。
把$a=2$，$b=4$，$c=-8$代入$ax^2 + bx + c = 0$，得：
$2x^2 + 4x - 8 = 0$，
两边同时除以2，化简得$x^2 + 2x = 4$。
对所求代数式变形：$3x^2 + 6x + 200 = 3(x^2 + 2x) + 200$，
把$x^2 + 2x = 4$代入，得：
原式$=3×4 + 200 = 12 + 200 = 212$。
【答案】
212
【知识点】
非负数的性质；整体代入求值；代数式化简
【点评】
本题解题的核心是熟练掌握非负数的性质，同时运用整体代入的思想简化计算，避免了求解一元二次方程的繁琐步骤，考查了学生的计算能力和对数学思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
5.学习了算术平方根后，我们知道：
(1)$\sqrt{a}(a≥0)$是非负数，那么$\sqrt{a}$有最小值吗？如果有，此时$a$为多少？最小值又是多少？
(2)当$a$取什么值时，$\sqrt{2a+1}+1$的值最小？请求出这个最小值。
(3)当$x=m$时，$3-\sqrt{1-x}$有最大值，且最大值为$n$，你知道$m,n$的值分别为多少吗？
(1)$\sqrt{a}(a≥0)$是非负数，那么$\sqrt{a}$有最小值吗？如果有，此时$a$为多少？最小值又是多少？
(2)当$a$取什么值时，$\sqrt{2a+1}+1$的值最小？请求出这个最小值。
(3)当$x=m$时，$3-\sqrt{1-x}$有最大值，且最大值为$n$，你知道$m,n$的值分别为多少吗？
答案
(1)$\sqrt{a}$有最小值,此时$a=0$,最小值是0.
(2)因为$\sqrt{2a+1}≥0$,所以当$2a+1=0$,即$a=-\frac{1}{2}$时,$\sqrt{2a+1}$有最小值,最小值是0,所以$\sqrt{2a+1}+1$的最小值是1.
(3)因为$\sqrt{1-x}≥0$,所以当$1-x=0$,即$x=1$时,$3-\sqrt{1-x}$有最大值,最大值为3,所以$m=1$,$n=3$.
(2)因为$\sqrt{2a+1}≥0$,所以当$2a+1=0$,即$a=-\frac{1}{2}$时,$\sqrt{2a+1}$有最小值,最小值是0,所以$\sqrt{2a+1}+1$的最小值是1.
(3)因为$\sqrt{1-x}≥0$,所以当$1-x=0$,即$x=1$时,$3-\sqrt{1-x}$有最大值,最大值为3,所以$m=1$,$n=3$.
解析
【分析】
解题核心依据是算术平方根的非负性：当被开方数$a\ge0$时，$\sqrt{a}\ge0$，其最小值为0。
(1) 直接依据算术平方根的非负性，即可判断$\sqrt{a}$的最小值及对应的$a$的取值；
(2) 代数式$\sqrt{2a+1}+1$由根号部分加常数构成，要使整个式子取最小值，只需根号部分取最小值0，先令根号内的被开方数为0求出$a$的值，再代入计算整个式子的最小值即可；
(3) 代数式$3-\sqrt{1-x}$是常数减去根号部分，要使整个式子取最大值，只需减去的根号部分取最小值0，先令根号内的被开方数为0求出$x$的值（即$m$），再代入计算整个式子的最大值（即$n$）即可。
【解析】
(1) 根据算术平方根的性质，$\sqrt{a}(a\ge0)$是非负数，即$\sqrt{a}\ge0$，因此$\sqrt{a}$有最小值。当$\sqrt{a}$取最小值0时，对应的$a=0$，最小值为0。
(2) 由算术平方根的非负性可得$\sqrt{2a+1}\ge0$，因此$\sqrt{2a+1}$的最小值为0，此时$2a+1=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$。将$\sqrt{2a+1}=0$代入代数式，可得$\sqrt{2a+1}+1$的最小值为$0+1=1$。
(3) 由算术平方根的非负性可得$\sqrt{1-x}\ge0$，要使$3-\sqrt{1-x}$取得最大值，需让被减去的$\sqrt{1-x}$取最小值0，此时$1-x=0$，解得$x=1$，即$m=1$。将$\sqrt{1-x}=0$代入代数式，可得最大值为$3-0=3$，即$n=3$。
【答案】
(1)$\sqrt{a}$有最小值,此时$a=0$,最小值是0.
(2)当$a=-\frac{1}{2}$时,$\sqrt{2a+1}+1$的值最小,最小值是1.
(3)$m=1$,$n=3$.
【知识点】
算术平方根的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是算术平方根性质的基础应用题，解题关键是牢牢抓住算术平方根的最小值为0这一核心性质，结合代数式的结构特点分析最值即可，能帮助学生巩固对算术平方根非负性的理解。
【难度系数】
0.8
解题核心依据是算术平方根的非负性：当被开方数$a\ge0$时，$\sqrt{a}\ge0$，其最小值为0。
(1) 直接依据算术平方根的非负性，即可判断$\sqrt{a}$的最小值及对应的$a$的取值；
(2) 代数式$\sqrt{2a+1}+1$由根号部分加常数构成，要使整个式子取最小值，只需根号部分取最小值0，先令根号内的被开方数为0求出$a$的值，再代入计算整个式子的最小值即可；
(3) 代数式$3-\sqrt{1-x}$是常数减去根号部分，要使整个式子取最大值，只需减去的根号部分取最小值0，先令根号内的被开方数为0求出$x$的值（即$m$），再代入计算整个式子的最大值（即$n$）即可。
【解析】
(1) 根据算术平方根的性质，$\sqrt{a}(a\ge0)$是非负数，即$\sqrt{a}\ge0$，因此$\sqrt{a}$有最小值。当$\sqrt{a}$取最小值0时，对应的$a=0$，最小值为0。
(2) 由算术平方根的非负性可得$\sqrt{2a+1}\ge0$，因此$\sqrt{2a+1}$的最小值为0，此时$2a+1=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$。将$\sqrt{2a+1}=0$代入代数式，可得$\sqrt{2a+1}+1$的最小值为$0+1=1$。
(3) 由算术平方根的非负性可得$\sqrt{1-x}\ge0$，要使$3-\sqrt{1-x}$取得最大值，需让被减去的$\sqrt{1-x}$取最小值0，此时$1-x=0$，解得$x=1$，即$m=1$。将$\sqrt{1-x}=0$代入代数式，可得最大值为$3-0=3$，即$n=3$。
【答案】
(1)$\sqrt{a}$有最小值,此时$a=0$,最小值是0.
(2)当$a=-\frac{1}{2}$时,$\sqrt{2a+1}+1$的值最小,最小值是1.
(3)$m=1$,$n=3$.
【知识点】
算术平方根的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是算术平方根性质的基础应用题，解题关键是牢牢抓住算术平方根的最小值为0这一核心性质，结合代数式的结构特点分析最值即可，能帮助学生巩固对算术平方根非负性的理解。
【难度系数】
0.8
6. 数轴上从左到右依次有A,B,C三点，A,B,C三点表示的数分别为$a,b,\sqrt{15}$，其中$b$为整数，且满足$|a+3|+\sqrt{b-2}=b-2$，求$b-a$的值.
答案
由题意可得$a＜b＜\sqrt{15}$.
因为$|a+3| + \sqrt{b-2}=b-2$,所以$b≥2$.
又因为$b$为整数,所以$b=2$或3.
所以$|a+3|=0$,所以$a=-3$.
所以$b-a=2-(-3)=5$或$b-a=3-(-3)=6$.
因为$|a+3| + \sqrt{b-2}=b-2$,所以$b≥2$.
又因为$b$为整数,所以$b=2$或3.
所以$|a+3|=0$,所以$a=-3$.
所以$b-a=2-(-3)=5$或$b-a=3-(-3)=6$.
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：①数轴上A、B、C从左到右排列，可得三个点对应的数满足$a＜b＜\sqrt{15}$；②等式含绝对值和算术平方根，二者均为非负数，因此先利用算术平方根的被开方数非负，得到b的取值下限；再结合b是整数、且$b＜\sqrt{15}$，通过估算$\sqrt{15}$的大小确定b的所有可能取值；最后将b的取值代入原等式求出a的值，验证a满足$a＜b$后计算$b-a$即可。
【解析】
1. 由数轴上A、B、C从左到右依次排列，可得：$a＜b＜\sqrt{15}$。
2. 观察等式$|a+3|+\sqrt{b-2}=b-2$，根据算术平方根的被开方数非负，可得$b-2≥0$，即$b≥2$。
3. 估算$\sqrt{15}$的大小：因为$3^2=9＜15＜16=4^2$，所以$3＜\sqrt{15}＜4$，结合b为整数且$b＜\sqrt{15}$，可得b的取值为2或3。
4. 将b的取值代入原等式求解a：
当$b=2$时，原式变为$|a+3|+\sqrt{2-2}=2-2$，即$|a+3|=0$，解得$a=-3$，满足$a＜2$；
当$b=3$时，原式变为$|a+3|+\sqrt{3-2}=3-2$，即$|a+3|+1=1$，得$|a+3|=0$，解得$a=-3$，满足$a＜3$。
5. 计算$b-a$的值：
当$b=2$时，$b-a=2-(-3)=5$；
当$b=3$时，$b-a=3-(-3)=6$。
【答案】
5或6
【知识点】
算术平方根的非负性，绝对值的性质，无理数的估算
【点评】
本题综合考查了非负数的性质、无理数估算及数轴的相关知识，解题的关键是先通过非负性确定b的取值范围，再结合整数限定得到b的可能取值，代入求解时注意验证a的取值是否符合数轴上的大小关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先梳理题目已知条件：①数轴上A、B、C从左到右排列，可得三个点对应的数满足$a＜b＜\sqrt{15}$；②等式含绝对值和算术平方根，二者均为非负数，因此先利用算术平方根的被开方数非负，得到b的取值下限；再结合b是整数、且$b＜\sqrt{15}$，通过估算$\sqrt{15}$的大小确定b的所有可能取值；最后将b的取值代入原等式求出a的值，验证a满足$a＜b$后计算$b-a$即可。
【解析】
1. 由数轴上A、B、C从左到右依次排列，可得：$a＜b＜\sqrt{15}$。
2. 观察等式$|a+3|+\sqrt{b-2}=b-2$，根据算术平方根的被开方数非负，可得$b-2≥0$，即$b≥2$。
3. 估算$\sqrt{15}$的大小：因为$3^2=9＜15＜16=4^2$，所以$3＜\sqrt{15}＜4$，结合b为整数且$b＜\sqrt{15}$，可得b的取值为2或3。
4. 将b的取值代入原等式求解a：
当$b=2$时，原式变为$|a+3|+\sqrt{2-2}=2-2$，即$|a+3|=0$，解得$a=-3$，满足$a＜2$；
当$b=3$时，原式变为$|a+3|+\sqrt{3-2}=3-2$，即$|a+3|+1=1$，得$|a+3|=0$，解得$a=-3$，满足$a＜3$。
5. 计算$b-a$的值：
当$b=2$时，$b-a=2-(-3)=5$；
当$b=3$时，$b-a=3-(-3)=6$。
【答案】
5或6
【知识点】
算术平方根的非负性，绝对值的性质，无理数的估算
【点评】
本题综合考查了非负数的性质、无理数估算及数轴的相关知识，解题的关键是先通过非负性确定b的取值范围，再结合整数限定得到b的可能取值，代入求解时注意验证a的取值是否符合数轴上的大小关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7. 已知$a,b$为有理数，且$\sqrt{1+a} - (b-1)·\sqrt{1-b}=0$，则$a^{2026} - b^{2027}$的值为
0
。答案
因为$\sqrt{1+a} - (b-1)\sqrt{1-b}=0$,所以$\sqrt{1+a} + (1-b)\sqrt{1-b}=0$.又因为$\sqrt{1+a}≥0$,$(1-b)·\sqrt{1-b}≥0$,所以$1+a=0$,$1-b=0$,解得$a=-1$,$b=1$.
所以$a^{2\ 026} - b^{2\ 027}=(-1)^{2\ 026} - 1^{2\ 027}=1-1=0$.
所以$a^{2\ 026} - b^{2\ 027}=(-1)^{2\ 026} - 1^{2\ 027}=1-1=0$.
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的相关性质：一是被开方数必须是非负数，二是算术平方根本身的值是非负的。首先对已知等式变形，将含$\sqrt{1-b}$的项调整符号，再结合$1-b≥0$的取值要求，可判断变形后的等式左边两项都是非负数，根据“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”即可列方程求出a、b的值，最后将a、b代入所求代数式计算乘方即可得到结果。
【解析】
解：对已知等式变形可得：
$\sqrt{1+a} + (1-b)\sqrt{1-b}=0$
由算术平方根的被开方数非负可知，$1-b≥0$，因此$1-b≥0$，$\sqrt{1-b}≥0$，可得$(1-b)·\sqrt{1-b}≥0$；
又根据算术平方根的非负性，$\sqrt{1+a}≥0$。
两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$\begin{cases}1+a=0 \\1-b=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1 \\b=1 \end{cases}$
将a、b代入$a^{2026} - b^{2027}$得：
原式$=(-1)^{2026} - 1^{2027}=1 - 1=0$
【答案】
0
【知识点】
1. 算术平方根的非负性 2. 非负数的性质 3. 有理数乘方运算
【点评】
本题是算术平方根非负性应用的典型题型，解题的突破口是先根据被开方数的取值范围判断出变形后等式的两项均为非负数，再结合非负数的性质求出未知字母的值，整体计算难度不大，易错点是对原式中负号的处理，以及负数乘方的符号判断。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆算术平方根的相关性质：一是被开方数必须是非负数，二是算术平方根本身的值是非负的。首先对已知等式变形，将含$\sqrt{1-b}$的项调整符号，再结合$1-b≥0$的取值要求，可判断变形后的等式左边两项都是非负数，根据“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”即可列方程求出a、b的值，最后将a、b代入所求代数式计算乘方即可得到结果。
【解析】
解：对已知等式变形可得：
$\sqrt{1+a} + (1-b)\sqrt{1-b}=0$
由算术平方根的被开方数非负可知，$1-b≥0$，因此$1-b≥0$，$\sqrt{1-b}≥0$，可得$(1-b)·\sqrt{1-b}≥0$；
又根据算术平方根的非负性，$\sqrt{1+a}≥0$。
两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$\begin{cases}1+a=0 \\1-b=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1 \\b=1 \end{cases}$
将a、b代入$a^{2026} - b^{2027}$得：
原式$=(-1)^{2026} - 1^{2027}=1 - 1=0$
【答案】
0
【知识点】
1. 算术平方根的非负性 2. 非负数的性质 3. 有理数乘方运算
【点评】
本题是算术平方根非负性应用的典型题型，解题的突破口是先根据被开方数的取值范围判断出变形后等式的两项均为非负数，再结合非负数的性质求出未知字母的值，整体计算难度不大，易错点是对原式中负号的处理，以及负数乘方的符号判断。
【难度系数】
0.7
8. [北京竞赛] 若实数 $a, b, c$ 满足关系式：
$\sqrt{a - 199 + b} - \sqrt{199 - a - b} = \sqrt{3a + 5b - 2 - c} + \sqrt{2a + 3b - c}$，试确定 $c$ 的值。
$\sqrt{a - 199 + b} - \sqrt{199 - a - b} = \sqrt{3a + 5b - 2 - c} + \sqrt{2a + 3b - c}$，试确定 $c$ 的值。
答案
由被开方数的非负性可得,$a-199+b≥0$,$199-a-b≥0$,所以易得$a+b=199$.所以原式可化为$\sqrt{3a+5b-2-c} + \sqrt{2a+3b-c}=0$.又由算术平方根的非负性得$3a+5b-2-c=0$,$2a+3b-c=0$,解得$c=201$.
解析
【分析】
解题时首先观察等式中出现的二次根式，根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），先分析等式左侧两个根号的被开方数：$a-199+b$和$199-a-b$互为相反数，二者同时非负的唯一可能是都等于0，即可求出$a+b$的值。将$a+b$的值代入原式后，等式右侧变为两个算术平方根的和等于0，结合算术平方根本身的非负性，可得两个根号内的代数式均为0，得到关于$a、b、c$的方程组，联立即可求解$c$的值。
【解析】
解：根据二次根式被开方数的非负性，可得：
$\begin{cases}a - 199 + b ≥ 0 \\199 - a - b ≥ 0 \end{cases}$
整理得$\begin{cases}a + b ≥ 199 \\a + b ≤ 199 \end{cases}$，因此$a + b = 199$。
将$a + b = 199$代入原式，等式左侧为$\sqrt{0} - \sqrt{0} = 0$，因此原式可化为：
$\sqrt{3a + 5b - 2 - c} + \sqrt{2a + 3b - c} = 0$
又因为算术平方根具有非负性，即$\sqrt{3a + 5b - 2 - c} ≥ 0$，$\sqrt{2a + 3b - c} ≥ 0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可得：
$\begin{cases}3a + 5b - 2 - c = 0 ①\\2a + 3b - c = 0 ②\end{cases}$
用①-②得：$a + 2b = 2$，结合$a + b = 199$，即$a = 199 - b$，代入$a + 2b = 2$得：
$199 - b + 2b = 2$，解得$b = -197$，则$a = 199 - (-197) = 396$。
将$a=396$，$b=-197$代入②式，得$c = 2×396 + 3×(-197) = 792 - 591 = 201$。
【答案】
$c=201$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.算术平方根的非负性
3.解三元一次方程组
【点评】
本题是算术平方根非负性应用的典型题型，解题的突破口是利用一对互为相反数的数同时为二次根式的被开方数时，二者只能都为0，先求出$a+b$的值，再结合非负数的性质列方程求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察等式中出现的二次根式，根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），先分析等式左侧两个根号的被开方数：$a-199+b$和$199-a-b$互为相反数，二者同时非负的唯一可能是都等于0，即可求出$a+b$的值。将$a+b$的值代入原式后，等式右侧变为两个算术平方根的和等于0，结合算术平方根本身的非负性，可得两个根号内的代数式均为0，得到关于$a、b、c$的方程组，联立即可求解$c$的值。
【解析】
解：根据二次根式被开方数的非负性，可得：
$\begin{cases}a - 199 + b ≥ 0 \\199 - a - b ≥ 0 \end{cases}$
整理得$\begin{cases}a + b ≥ 199 \\a + b ≤ 199 \end{cases}$，因此$a + b = 199$。
将$a + b = 199$代入原式，等式左侧为$\sqrt{0} - \sqrt{0} = 0$，因此原式可化为：
$\sqrt{3a + 5b - 2 - c} + \sqrt{2a + 3b - c} = 0$
又因为算术平方根具有非负性，即$\sqrt{3a + 5b - 2 - c} ≥ 0$，$\sqrt{2a + 3b - c} ≥ 0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可得：
$\begin{cases}3a + 5b - 2 - c = 0 ①\\2a + 3b - c = 0 ②\end{cases}$
用①-②得：$a + 2b = 2$，结合$a + b = 199$，即$a = 199 - b$，代入$a + 2b = 2$得：
$199 - b + 2b = 2$，解得$b = -197$，则$a = 199 - (-197) = 396$。
将$a=396$，$b=-197$代入②式，得$c = 2×396 + 3×(-197) = 792 - 591 = 201$。
【答案】
$c=201$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.算术平方根的非负性
3.解三元一次方程组
【点评】
本题是算术平方根非负性应用的典型题型，解题的突破口是利用一对互为相反数的数同时为二次根式的被开方数时，二者只能都为0，先求出$a+b$的值，再结合非负数的性质列方程求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
