1. 简便计算下面各题。
$7.5÷2.5÷0.4$
$51.62÷(51.62×8)$
$\frac{2022}{2023}×2024$
$(0.1+\frac{5}{7})×10×7$

1. 7.5 0.125 $2022\frac{2022}{2023}$ 57

【分析】
这几道题可通过运用除法运算性质、乘法分配律等运算规则简化计算，无需复杂竖式运算：①前两道除法类题目，利用“一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的乘积”的性质，以及括号前是除号时去括号要变号的规则简化计算；②第三道分数乘法题，把接近整数的2024拆成2023+1，再用乘法分配律分别相乘后求和；③第四道带括号的混合运算题，利用乘法分配律把括号内的两个数分别和10×7的积相乘再求和，可避免通分，降低计算量。
【解析】
1. 计算$7.5÷2.5÷0.4$
根据除法的运算性质$a÷b÷c=a÷(b×c)$：
$\begin{aligned}原式&=7.5÷(2.5×0.4)\\&=7.5÷1\\&=7.5\end{aligned}$
2. 计算$51.62÷(51.62×8)$
括号前是除号，去括号后括号内的乘号变为除号：
$\begin{aligned}原式&=51.62÷51.62÷8\\&=1÷8\\&=0.125\end{aligned}$
3. 计算$\frac{2022}{2023}×2024$
将2024拆分为$2023+1$，再运用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2022}{2023}×(2023+1)\\&=\frac{2022}{2023}×2023 + \frac{2022}{2023}×1\\&=2022 + \frac{2022}{2023}\\&=2022\frac{2022}{2023}\end{aligned}$
4. 计算$(0.1+\frac{5}{7})×10×7$
运用乘法分配律，将括号内的数分别与$10×7$相乘：
$\begin{aligned}原式&=0.1×10×7 + \frac{5}{7}×7×10\\&=7 + 50\\&=57\end{aligned}$
【答案】
7.5；0.125；$2022\frac{2022}{2023}$；57
【知识点】
除法的运算性质；乘法分配律；分数简便运算
【点评】
本题是简便运算的经典题型，核心考查对运算性质、运算定律的灵活运用能力，熟练掌握相关规则可有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7

2. 学校图书馆购进720本课外书。其中文学类占总数的$\frac{1}{4}$，科普类占总数的$\frac{2}{5}$，剩下的全是历史类课外书。历史类课外书有多少本？

$720×(1-\frac{1}{4}-\frac{2}{5})=252$(本)
答:历史类课外书有252本。

【分析】
解题时首先把购进的720本课外书总数量看作单位“1”，本题中单位“1”的量是已知的。要求历史类课外书的数量，需要先求出历史类课外书占总数量的分率，用单位“1”依次减去文学类、科普类占总数的分率即可得到，再用总数量乘历史类对应的分率，就能算出历史类课外书的本数。
【解析】
1. 先计算历史类课外书占总数量的分率：
把总数量看作单位“1”，历史类的占比为：
$1-\frac{1}{4}-\frac{2}{5}=\frac{20}{20}-\frac{5}{20}-\frac{8}{20}=\frac{7}{20}$
2. 再计算历史类课外书的实际数量：
总数量为720本，因此历史类数量为：
$720×\frac{7}{20}=252$（本）
列综合算式为：$720×(1-\frac{1}{4}-\frac{2}{5})=252$（本）
【答案】
历史类课外书有252本。
【知识点】
分数乘法应用，单位“1”判定，分数混合运算
【点评】
本题属于分数实际应用的常规题型，解题核心是准确找到单位“1”，先求出所求量对应的分率，再结合单位“1”已知用乘法的规律计算即可，计算时注意分数运算的通分和约分，减少计算失误。
【难度系数】
0.8

3. 新情境社会生活 小明的妈妈带了100元。她已经买了两袋大米，每袋29.8元，还买了0.5千克大虾，每千克38.6元。

请你帮小明的妈妈估算一下，剩下的钱够买一条大一些的鱼吗？

$29.8＞29$ $29×2=58$(元) $38.6＞38$
$38×0.5=19$(元) $100-(58+19)=23$(元)
$23＜25.2$ 答:剩下的钱不够买一条大一些的鱼。

【分析】
要判断剩下的钱够不够买大一些的鱼，可通过估算已消费金额推导最多能剩余的钱数。为了保证判断准确，我们把已购买商品的单价往小估算，这样算出的总花费是最低值，对应的剩余钱数就是最大值，如果最多剩余的钱都不够买大鱼，实际剩余的钱必然不够。解题步骤为：先估算两袋大米的花费，再估算大虾的花费，算出最低总花费后求最大剩余金额，最后和大鱼的价格对比即可。
【解析】
我们将商品单价往小估算，计算最大剩余金额：
1. 大米单价$29.8＞29$，两袋大米的最低花费：$29×2=58$（元）
2. 大虾单价$38.6＞38$，0.5千克大虾的最低花费：$38×0.5=19$（元）
3. 已消费的最低总金额：$58+19=77$（元）
4. 最多剩余的钱数：$100-77=23$（元）
5. 对比剩余金额和大鱼价格：$23＜25.2$，说明最多剩余的钱都不够买大鱼，实际剩余的钱更少，因此不够买。
【答案】
剩下的钱不够买一条大一些的鱼。
【知识点】
小数估算；混合运算；消费金额计算
【点评】
本题结合日常购物场景，考查估算方法在实际问题中的应用，解题时需要根据问题需求合理选择估算方向（估大或估小），能锻炼运用数学知识解决实际生活问题的能力。
【难度系数】
0.7

4. 新情境生活应用 杨爷爷家有一块面积为196平方米的正方形菜地，现在把菜地的边长增加$\frac{1}{7}$，边长增加后新菜地的面积是多少平方米？

$196×(1+\frac{1}{7})×(1+\frac{1}{7})=256$(平方米)
答:边长增加后新菜地的面积是256平方米。

【分析】
解题时首先回忆正方形面积公式：正方形面积=边长×边长。题目中“边长增加$\frac{1}{7}$”是把原来的正方形边长看作单位“1”，可先求出增加后的边长是原边长的$1+\frac{1}{7}=\frac{8}{7}$。由于正方形面积是两个边长相乘的结果，因此新菜地的面积就是原面积乘两次边长扩大的倍数，无需先计算原边长，就能直接求出新面积。
【解析】
方法一：利用边长变化比例计算
把原菜地的边长看作单位“1”，边长增加$\frac{1}{7}$后，新边长是原边长的：
$1+\frac{1}{7}=\frac{8}{7}$
结合正方形面积公式，新菜地面积是原面积的$\frac{8}{7}×\frac{8}{7}$，代入原面积计算：
$196×(1+\frac{1}{7})×(1+\frac{1}{7})$
$=196×\frac{8}{7}×\frac{8}{7}$
$=256$（平方米）
方法二：先求原边长再计算
已知原正方形面积是196平方米，因为$14×14=196$，所以原边长为14米。
边长增加$\frac{1}{7}$后的新边长：
$14×(1+\frac{1}{7})=16$（米）
新菜地面积：$16×16=256$（平方米）
【答案】
256平方米
【知识点】
正方形面积计算、分数乘法应用、单位“1”识别
【点评】
本题结合生活实际情境，既考查了图形面积公式的运用，也检验了分数乘法中单位“1”的判断能力，解题时可灵活选择方法，利用面积与边长的比例关系计算会更高效。
【难度系数】
0.7

5. 如图，妈妈不小心将购物小票弄脏了，请你根据已知信息，求出妈妈一共买了多少个蛋糕。

$(33.5-2.5×5)÷3.5=6$(个)
答:妈妈一共买了6个蛋糕。

【分析】
要计算购买蛋糕的数量，已知蛋糕的单价，我们需要先求出购买蛋糕的总花费。首先根据“总价=单价×数量”，先用面包的单价乘购买面包的数量，算出买面包一共花了多少钱；再用合计的总金额减去买面包的花费，得到买蛋糕的总金额；最后根据“数量=总价÷单价”，用蛋糕的总金额除以蛋糕的单价，就能求出蛋糕的购买数量。
【解析】
步骤1：计算购买面包的总金额
$2.5×5=12.5$（元）
步骤2：计算购买蛋糕的总金额
$33.5-12.5=21$（元）
步骤3：计算蛋糕的购买数量
$21÷3.5=6$（个）
也可列综合算式计算：
$(33.5-2.5×5)÷3.5$
$=(33.5-12.5)÷3.5$
$=21÷3.5$
$=6$（个）
答：妈妈一共买了6个蛋糕。
【答案】
妈妈一共买了6个蛋糕。
【知识点】
1. 单价数量总价关系
2. 小数四则混合运算
【点评】
本题结合生活中常见的购物小票场景出题，贴近生活实际，主要考查学生梳理数量关系、用四则运算解决实际问题的能力，计算时需注意小数运算的准确性。
【难度系数】
0.8

6.有一项工程，甲队单独做需要20天完成，乙队单独做需要30天完成。两队合作期间，甲队休息了2天，乙队休息了若干天，从开始到完工共用了14天。乙队休息了几天？

$14-[1-\frac{1}{20}×(14-2)]÷\frac{1}{30}=2$(天)
答:乙队休息了2天。

【分析】
这是典型的工程问题，我们先把这项工程的总工作量看作单位“1”，首先根据甲乙单独完成的时间可算出各自的工作效率：甲队每天完成$\frac{1}{20}$，乙队每天完成$\frac{1}{30}$。已知从开工到完工共用14天，甲队休息了2天，所以甲队实际工作的天数是$14-2=12$天，先算出甲队12天完成的工作量，剩下的工作量就是乙队完成的，再用乙队完成的工作量除以乙队的工作效率，就能得到乙队实际工作的天数，最后用总天数14减去乙队实际工作的天数，就是乙队休息的天数。
【解析】
解：把这项工程的总工作量看作单位“1”。
甲队工作效率：$1÷20=\frac{1}{20}$
乙队工作效率：$1÷30=\frac{1}{30}$
甲队实际工作天数：$14-2=12$（天）
甲队完成的工作量：$\frac{1}{20}×12=\frac{3}{5}$
乙队需要完成的工作量：$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$
乙队实际工作天数：$\frac{2}{5}÷\frac{1}{30}=12$（天）
乙队休息天数：$14-12=2$（天）
列综合算式为：$14-[1-\frac{1}{20}×(14-2)]÷\frac{1}{30}=2$（天）
【答案】
乙队休息了2天。
【知识点】
工程问题，分数四则混合运算，单位“1”的应用
【点评】
本题是工程问题的常见变式，解题的关键是理清各队实际工作时长与总时长的对应关系，通过先计算已知休息情况的队伍完成的工作量，反向推导另一队的实际工作时间，能够有效考查对工程问题基本数量关系的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

7. 新趋势创新应用 在“童心向党”绘画比赛中，实验小学和幸福小学的获奖作品都占本校参赛作品的$\frac{2}{7}$。实验小学比幸福小学多多少幅获奖作品？

$84×\frac{2}{7}=24$(幅)
答:实验小学比幸福小学多24幅获奖作品。
解析 根据题意可知,实验小学比幸福小学多的获奖作品幅数=实验小学的参赛作品幅数$×\frac{2}{7}-$幸福小学的参赛作品幅数$×\frac{2}{7}=$(实验小学的参赛作品幅数$-$幸福小学的参赛作品幅数)$×\frac{2}{7}$,而幸福小学比实验小学少交了84幅作品,因此列式为$84×\frac{2}{7}$。

【分析】
解题时首先明确获奖作品的计算方法：获奖作品数=本校参赛作品总数×获奖占比$\frac{2}{7}$。要计算实验小学比幸福小学多的获奖作品数，不需要分别求出两个学校的参赛总数，观察到两个学校获奖占比相同，可利用乘法分配律，将多的获奖作品数转化为两个学校参赛作品的数量差乘获奖占比。已知幸福小学比实验小学少交84幅参赛作品，也就是两校参赛作品的差是84幅，直接代入计算即可。
【解析】
根据题意可得：
获奖作品数 = 本校参赛作品数 × $\frac{2}{7}$
则实验小学比幸福小学多的获奖作品数为：
$\begin{split}& \mathrm{实验小学参赛作品数}×\frac{2}{7} - \mathrm{幸福小学参赛作品数}×\frac{2}{7} \\=& (\mathrm{实验小学参赛作品数} - \mathrm{幸福小学参赛作品数})×\frac{2}{7}\end{split}$
已知幸福小学比实验小学少交84幅作品，即两校参赛作品数的差为84幅，代入计算：
$84×\frac{2}{7}=24$（幅）
【答案】
实验小学比幸福小学多24幅获奖作品。
【知识点】
分数乘法应用、乘法分配律应用
【点评】
这道题无需分别求解两个学校的参赛总数量，灵活运用乘法分配律将参赛作品的差值和获奖占比结合计算，简化了解题步骤，解题时要注意梳理数量关系，合理运用运算定律优化思路。
【难度系数】
0.7