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体育赛事中的双循环比赛是指
所有参赛队伍之间均进行两场比赛
，单循环比赛是指所有参赛队伍之间均进行一场比赛
。答案
双循环比赛：所有参赛队伍之间均进行两场比赛；单循环比赛：所有参赛队伍之间均进行一场比赛
解析
【分析】
这道题考查比赛类实际问题中两种常见赛制的基础概念，是求解一元二次方程比赛场次相关应用题的前置基础知识。解题核心是区分两类赛制中每两支队伍的交手次数：双循环赛制一般对应主客场规则，每两队需要分别在各自主场各赛1次，合计交手2次；单循环赛制下每两支队伍仅需要交手1次，结合这一核心差异就能准确对应概念。
【解析】
根据双循环、单循环比赛的定义：
双循环比赛是所有参赛队伍之间均进行两场比赛的赛制；
单循环比赛是所有参赛队伍之间均进行一场比赛的赛制。
【答案】
双循环比赛：所有参赛队伍之间均进行两场比赛；单循环比赛：所有参赛队伍之间均进行一场比赛
【知识点】
1.双循环赛制概念
2.单循环赛制概念
【点评】
本题属于基础识记类题目，两类赛制的概念是计算比赛总场次、解决相关实际应用问题的核心基础，需要准确记忆二者的区别，避免后续计算总场次时混淆公式。
【难度系数】
0.9
这道题考查比赛类实际问题中两种常见赛制的基础概念，是求解一元二次方程比赛场次相关应用题的前置基础知识。解题核心是区分两类赛制中每两支队伍的交手次数：双循环赛制一般对应主客场规则，每两队需要分别在各自主场各赛1次，合计交手2次；单循环赛制下每两支队伍仅需要交手1次，结合这一核心差异就能准确对应概念。
【解析】
根据双循环、单循环比赛的定义：
双循环比赛是所有参赛队伍之间均进行两场比赛的赛制；
单循环比赛是所有参赛队伍之间均进行一场比赛的赛制。
【答案】
双循环比赛：所有参赛队伍之间均进行两场比赛；单循环比赛：所有参赛队伍之间均进行一场比赛
【知识点】
1.双循环赛制概念
2.单循环赛制概念
【点评】
本题属于基础识记类题目，两类赛制的概念是计算比赛总场次、解决相关实际应用问题的核心基础，需要准确记忆二者的区别，避免后续计算总场次时混淆公式。
【难度系数】
0.9
1. 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有x人，则可列方程
$x(x-1)=72$
.答案
$x(x-1)=72$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确互送贺卡的计数规则：小组内每个人都要给除自己之外的其他所有人送1张贺卡，且甲送给乙的贺卡和乙送给甲的贺卡是不同的2张，不需要重复剔除。我们可以先求出单个人送出的贺卡数量，再结合总人数求出贺卡总数量，最后根据总贺卡数为72张列出方程。
【解析】
设该小组共有x人：
1. 每个人不需要给自己送贺卡，因此每个人要送出$(x-1)$张贺卡；
2. 全组共有x人，那么所有人送出的贺卡总数量为$x$个$(x-1)$张，即$x(x-1)$张；
3. 已知共送72张贺卡，因此可列方程为$x(x-1)=72$。
【答案】
$x(x-1)=72$
【知识点】
1. 列一元二次方程解应用题
2. 互赠类问题计数
【点评】
本题是实际问题列方程的基础题型，解题的核心是准确区分互送类问题和握手类问题的计数差异：互送类问题中双向赠送是两个独立的事件，无需除以2，避免和握手（单次双向算一个事件，需除以2）的计数逻辑混淆。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确互送贺卡的计数规则：小组内每个人都要给除自己之外的其他所有人送1张贺卡，且甲送给乙的贺卡和乙送给甲的贺卡是不同的2张，不需要重复剔除。我们可以先求出单个人送出的贺卡数量，再结合总人数求出贺卡总数量，最后根据总贺卡数为72张列出方程。
【解析】
设该小组共有x人：
1. 每个人不需要给自己送贺卡，因此每个人要送出$(x-1)$张贺卡；
2. 全组共有x人，那么所有人送出的贺卡总数量为$x$个$(x-1)$张，即$x(x-1)$张；
3. 已知共送72张贺卡，因此可列方程为$x(x-1)=72$。
【答案】
$x(x-1)=72$
【知识点】
1. 列一元二次方程解应用题
2. 互赠类问题计数
【点评】
本题是实际问题列方程的基础题型，解题的核心是准确区分互送类问题和握手类问题的计数差异：互送类问题中双向赠送是两个独立的事件，无需除以2，避免和握手（单次双向算一个事件，需除以2）的计数逻辑混淆。
【难度系数】
0.8
2. 从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线有
27
条.答案
27
解析
【分析】
解题时可按两步思考：第一步，先根据“从n边形的一个顶点出发连接其余各顶点，分割得到的三角形个数为n-2”的规律，结合题目给出的7个三角形，列等式求出多边形的边数n；第二步，将求出的n代入n边形对角线总条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$，计算即可得到最终结果。
【解析】
1. 求多边形的边数n：
根据多边形的性质，从n边形一个顶点出发连接其余各顶点，可分割出的三角形个数为$n-2$。
已知分割得到7个三角形，因此列方程：
$n - 2 = 7$
解得：$n = 9$，即该多边形为9边形。
2. 计算对角线总条数：
n边形的对角线总条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，将$n=9$代入公式：
$\frac{9×(9-3)}{2} = \frac{9×6}{2} = 27$
【答案】
27
【知识点】
多边形分割三角形规律，多边形对角线计算公式
【点评】
本题是多边形基础性质的常规应用题，解题核心是熟练掌握多边形边数与分割三角形个数的对应关系、对角线总条数的计算公式，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可按两步思考：第一步，先根据“从n边形的一个顶点出发连接其余各顶点，分割得到的三角形个数为n-2”的规律，结合题目给出的7个三角形，列等式求出多边形的边数n；第二步，将求出的n代入n边形对角线总条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$，计算即可得到最终结果。
【解析】
1. 求多边形的边数n：
根据多边形的性质，从n边形一个顶点出发连接其余各顶点，可分割出的三角形个数为$n-2$。
已知分割得到7个三角形，因此列方程：
$n - 2 = 7$
解得：$n = 9$，即该多边形为9边形。
2. 计算对角线总条数：
n边形的对角线总条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，将$n=9$代入公式：
$\frac{9×(9-3)}{2} = \frac{9×6}{2} = 27$
【答案】
27
【知识点】
多边形分割三角形规律，多边形对角线计算公式
【点评】
本题是多边形基础性质的常规应用题，解题核心是熟练掌握多边形边数与分割三角形个数的对应关系、对角线总条数的计算公式，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，点C，D在线段AB上，则图中共有线段
（
A.3条
B.6条
C.7条
D.10条
（
B
）A.3条
B.6条
C.7条
D.10条
答案
B
解析
【分析】
要计算图中线段的总数，需遵循有序计数的原则，避免重复或遗漏。解题思路有两种：一是按左端点分类枚举，依次以每个点作为左端点，数出对应的右端点能组成的线段数量再求和；二是利用线段计数公式：若一条直线上共有n个点，则线段总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$，代入点数计算即可。
【解析】
方法一：分类枚举法
图中共有A、C、D、B4个点：
1. 以A为左端点的线段：AC、AD、AB，共3条；
2. 以C为左端点的线段：CD、CB，共2条；
3. 以D为左端点的线段：DB，共1条；
总线段数为$3+2+1=6$条。
方法二：公式法
一条线段上共有n个点时，任选两个点即可确定一条线段，总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$。本题n=4，代入得$\frac{4×(4-1)}{2}=6$条。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段的计数；有序枚举法
【点评】
本题属于线段计数的基础题型，核心是掌握有序计数的逻辑，避免漏数或多数，牢记n个点的线段计数公式可以快速解题。
【难度系数】
0.85
要计算图中线段的总数，需遵循有序计数的原则，避免重复或遗漏。解题思路有两种：一是按左端点分类枚举，依次以每个点作为左端点，数出对应的右端点能组成的线段数量再求和；二是利用线段计数公式：若一条直线上共有n个点，则线段总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$，代入点数计算即可。
【解析】
方法一：分类枚举法
图中共有A、C、D、B4个点：
1. 以A为左端点的线段：AC、AD、AB，共3条；
2. 以C为左端点的线段：CD、CB，共2条；
3. 以D为左端点的线段：DB，共1条；
总线段数为$3+2+1=6$条。
方法二：公式法
一条线段上共有n个点时，任选两个点即可确定一条线段，总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$。本题n=4，代入得$\frac{4×(4-1)}{2}=6$条。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段的计数；有序枚举法
【点评】
本题属于线段计数的基础题型，核心是掌握有序计数的逻辑，避免漏数或多数，牢记n个点的线段计数公式可以快速解题。
【难度系数】
0.85
4. 一条铁路上有5个火车站，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备车票的种数为
（
A.5
B.10
C.20
D.30
（
C
）A.5
B.10
C.20
D.30
答案
C
解析
【分析】
解题首先要明确车票的属性：两个车站之间，去程和返程的车票是不同的（例如从甲站到乙站和乙站到甲站是两种不同的车票），属于有序的计数问题。我们可以先计算单程的车票种类，再乘以2得到往返的总车票数，也可以直接按每个出发站对应不同到达站的逻辑计算总数。
【解析】
方法一：先算单程车票种类：5个车站中，从第1个车站出发到其余4个车站有4种车票，从第2个车站出发到剩余3个未计数的车站有3种车票，依此类推，单程车票总共有 $4+3+2+1=10$ 种。
由于往返运行时方向不同的车票属于不同票种，因此总车票种数为 $10×2=20$ 种。
方法二：每个车站作为出发站时，可到达其余4个车站，对应4种不同的车票，一共有5个车站，因此总车票种数为 $5×4=20$ 种。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
计数问题、有序搭配
【点评】
本题结合生活场景考查计数能力，易错点是忽略车票的方向性，误将有序计数当成无序计数得到10种的错误结果，解题时要注意结合实际场景判断计数是否需要考虑顺序。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确车票的属性：两个车站之间，去程和返程的车票是不同的（例如从甲站到乙站和乙站到甲站是两种不同的车票），属于有序的计数问题。我们可以先计算单程的车票种类，再乘以2得到往返的总车票数，也可以直接按每个出发站对应不同到达站的逻辑计算总数。
【解析】
方法一：先算单程车票种类：5个车站中，从第1个车站出发到其余4个车站有4种车票，从第2个车站出发到剩余3个未计数的车站有3种车票，依此类推，单程车票总共有 $4+3+2+1=10$ 种。
由于往返运行时方向不同的车票属于不同票种，因此总车票种数为 $10×2=20$ 种。
方法二：每个车站作为出发站时，可到达其余4个车站，对应4种不同的车票，一共有5个车站，因此总车票种数为 $5×4=20$ 种。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
计数问题、有序搭配
【点评】
本题结合生活场景考查计数能力，易错点是忽略车票的方向性，误将有序计数当成无序计数得到10种的错误结果，解题时要注意结合实际场景判断计数是否需要考虑顺序。
【难度系数】
0.7
5. 某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手 45 次，则参加聚会的同学共有多少人？
答案
解:设参加聚会的同学共有 $x$ 人,每个人与其他 $(x-1)$ 个人握手,所有到会同学都互相握一次手,因此总次数为 $\frac{1}{2}x(x-1)$,根据共握手 45 次,列出方程为 $\frac{x(x-1)}{2}=45$,解得 $x_1=10,x_2=-9$(不合题意,舍去).答:参加聚会的同学共有 10 人.
解析
【分析】
解题时先理清握手次数的计数逻辑：若有x名同学，每名同学需和除自己外的其余(x-1)人握手，若直接计算x(x-1)，每一次握手会被握手的两人各统计1次，存在2次重复计数，因此实际总握手次数应为$\frac{1}{2}x(x-1)$。接下来结合总握手次数为45次的等量关系列一元二次方程，求解后根据人数为正整数的实际要求舍去不合题意的解，即可得到正确结果。
【解析】
设参加聚会的同学共有 $x$ 人，每个人与其他 $(x-1)$ 个人握手，由于每两人之间的握手仅统计1次，因此总握手次数为 $\frac{1}{2}x(x-1)$。
根据共握手45次，列出方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=45$
整理得$x^2 -x -90=0$
因式分解得$(x-10)(x+9)=0$
解得 $x_1=10,x_2=-9$。
人数不能为负数，因此$x=-9$不合题意，舍去。
【答案】
10人
【知识点】
一元二次方程应用；重复计数处理；方程验根
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型基础题，解题核心是注意去除重复计数的部分，同时要验证方程的解是否符合实际场景的要求，该计数模型也可用于解决单循环比赛场次、互送礼物等同类计数问题。
【难度系数】
0.8
解题时先理清握手次数的计数逻辑：若有x名同学，每名同学需和除自己外的其余(x-1)人握手，若直接计算x(x-1)，每一次握手会被握手的两人各统计1次，存在2次重复计数，因此实际总握手次数应为$\frac{1}{2}x(x-1)$。接下来结合总握手次数为45次的等量关系列一元二次方程，求解后根据人数为正整数的实际要求舍去不合题意的解，即可得到正确结果。
【解析】
设参加聚会的同学共有 $x$ 人，每个人与其他 $(x-1)$ 个人握手，由于每两人之间的握手仅统计1次，因此总握手次数为 $\frac{1}{2}x(x-1)$。
根据共握手45次，列出方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=45$
整理得$x^2 -x -90=0$
因式分解得$(x-10)(x+9)=0$
解得 $x_1=10,x_2=-9$。
人数不能为负数，因此$x=-9$不合题意，舍去。
【答案】
10人
【知识点】
一元二次方程应用；重复计数处理；方程验根
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型基础题，解题核心是注意去除重复计数的部分，同时要验证方程的解是否符合实际场景的要求，该计数模型也可用于解决单循环比赛场次、互送礼物等同类计数问题。
【难度系数】
0.8
6. 我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，也知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由。
答案
解:设多边形的边数为 $n$,对角线数量为 27,根据题意,可以得到方程 $\frac{n(n-3)}{2}=27$,化简为 $n^2-3n-54=0$,解得 $n_1=9,n_2=-6$(不合题意,舍去).答:多边形对角线可以有 27 条,即多边形的边数为 9.
解析
【分析】
要判断多边形对角线是否可以有27条，首先需明确n边形的对角线条数与边数n的关系：n边形的每个顶点可连接除自身和相邻2个顶点外的(n-3)个顶点得到对角线，n个顶点共得到n(n-3)条，由于每条对角线被2个顶点重复计算1次，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。我们可以设多边形边数为n，令对角线条数等于27，列一元二次方程求解，若解为≥3的正整数则存在，同时边数不能为负，需舍去负根。
【解析】
解：设该多边形的边数为$n$（$n$为不小于3的正整数）。
根据多边形对角线条数公式列方程：
$\frac{n(n-3)}{2}=27$
去分母得：$n(n-3)=54$
整理得一元二次方程一般形式：$n^2-3n-54=0$
因式分解得：$(n-9)(n+6)=0$
解得：$n_1=9$，$n_2=-6$
∵多边形的边数必须为正整数，
∴$n=-6$不符合题意，舍去。
【答案】
多边形的对角线可以有27条，该多边形的边数为9。
【知识点】
多边形对角线公式；一元二次方程的应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题是几何性质与代数方程结合的基础应用题，解题核心是牢记多边形对角线的计算公式，同时要注意结合实际问题的意义对方程的解进行取舍，排除不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
要判断多边形对角线是否可以有27条，首先需明确n边形的对角线条数与边数n的关系：n边形的每个顶点可连接除自身和相邻2个顶点外的(n-3)个顶点得到对角线，n个顶点共得到n(n-3)条，由于每条对角线被2个顶点重复计算1次，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。我们可以设多边形边数为n，令对角线条数等于27，列一元二次方程求解，若解为≥3的正整数则存在，同时边数不能为负，需舍去负根。
【解析】
解：设该多边形的边数为$n$（$n$为不小于3的正整数）。
根据多边形对角线条数公式列方程：
$\frac{n(n-3)}{2}=27$
去分母得：$n(n-3)=54$
整理得一元二次方程一般形式：$n^2-3n-54=0$
因式分解得：$(n-9)(n+6)=0$
解得：$n_1=9$，$n_2=-6$
∵多边形的边数必须为正整数，
∴$n=-6$不符合题意，舍去。
【答案】
多边形的对角线可以有27条，该多边形的边数为9。
【知识点】
多边形对角线公式；一元二次方程的应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题是几何性质与代数方程结合的基础应用题，解题核心是牢记多边形对角线的计算公式，同时要注意结合实际问题的意义对方程的解进行取舍，排除不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
1. 如图,有一把磨损严重的直尺,上面的大部分刻度已经看不清了,能看清的只有4个刻度(单位:cm),用这把直尺能直接量出的不同长度有
6
个.答案
6
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确用直尺直接测量长度的本质是求任意两个不同刻度的差值（用大刻度减小刻度），我们只需按顺序列举所有两两刻度的组合，计算对应差值后排除重复结果，就能得到不同长度的总个数。已知清晰刻度为0、1、3、7，共4个刻度，先计算两两组合的数量，再验证差值是否存在重复即可。
【解析】
首先列出所有清晰的刻度：0cm、1cm、3cm、7cm，按顺序计算两两刻度的差值（大数减小数）：
1. 取刻度0和1：$1-0=1\mathrm{cm}$
2. 取刻度0和3：$3-0=3\mathrm{cm}$
3. 取刻度0和7：$7-0=7\mathrm{cm}$
4. 取刻度1和3：$3-1=2\mathrm{cm}$
5. 取刻度1和7：$7-1=6\mathrm{cm}$
6. 取刻度3和7：$7-3=4\mathrm{cm}$
得到的长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm、6cm、7cm，均不重复，共6个不同的长度。
【答案】
6
【知识点】
长度测量，组合计数
【点评】
本题结合生活中磨损直尺的实际场景，考查测量长度的基本原理，解题时按固定顺序列举两两刻度的差值，能有效避免漏算或重复计算，整体难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确用直尺直接测量长度的本质是求任意两个不同刻度的差值（用大刻度减小刻度），我们只需按顺序列举所有两两刻度的组合，计算对应差值后排除重复结果，就能得到不同长度的总个数。已知清晰刻度为0、1、3、7，共4个刻度，先计算两两组合的数量，再验证差值是否存在重复即可。
【解析】
首先列出所有清晰的刻度：0cm、1cm、3cm、7cm，按顺序计算两两刻度的差值（大数减小数）：
1. 取刻度0和1：$1-0=1\mathrm{cm}$
2. 取刻度0和3：$3-0=3\mathrm{cm}$
3. 取刻度0和7：$7-0=7\mathrm{cm}$
4. 取刻度1和3：$3-1=2\mathrm{cm}$
5. 取刻度1和7：$7-1=6\mathrm{cm}$
6. 取刻度3和7：$7-3=4\mathrm{cm}$
得到的长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm、6cm、7cm，均不重复，共6个不同的长度。
【答案】
6
【知识点】
长度测量，组合计数
【点评】
本题结合生活中磨损直尺的实际场景，考查测量长度的基本原理，解题时按固定顺序列举两两刻度的差值，能有效避免漏算或重复计算，整体难度较低。
【难度系数】
0.7
