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1. 已知甲、乙两数之和是 42，甲数的 3 倍等于乙数的 4 倍，求甲、乙两数。若设甲数为 $ x $，乙数为 $ y $，由题意可列方程组为(
A.$\begin{cases}x + y = 42, \\ 4x = 3y\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 42, \\ 3x = 4y\end{cases}$
C.$\begin{cases}42 - x = y, \\ \dfrac{1}{3}x = \dfrac{1}{4}y\end{cases}$
D.$\begin{cases}42 + y = x, \\ 4x = 3y\end{cases}$
B
)。A.$\begin{cases}x + y = 42, \\ 4x = 3y\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 42, \\ 3x = 4y\end{cases}$
C.$\begin{cases}42 - x = y, \\ \dfrac{1}{3}x = \dfrac{1}{4}y\end{cases}$
D.$\begin{cases}42 + y = x, \\ 4x = 3y\end{cases}$
答案
1. B
解析
【解析】
根据题意，甲、乙两数之和是42，可列方程$x + y = 42$；甲数的3倍等于乙数的4倍，可列方程$3x = 4y$，因此对应的方程组为选项B中的方程组。
【答案】
B
【知识点】
列二元一次方程组，等量关系分析
【点评】
解决此类问题需准确提取题目中的两个等量关系，注意区分倍数关系的前后顺序，避免列错方程。
根据题意，甲、乙两数之和是42，可列方程$x + y = 42$；甲数的3倍等于乙数的4倍，可列方程$3x = 4y$，因此对应的方程组为选项B中的方程组。
【答案】
B
【知识点】
列二元一次方程组，等量关系分析
【点评】
解决此类问题需准确提取题目中的两个等量关系，注意区分倍数关系的前后顺序，避免列错方程。
2. A、B 两地的高速公路全长为 420 km，一辆小汽车和一辆客车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，经过 2.5 h 相遇。相遇时，小汽车比客车多行驶了 70 km。若设小汽车和客车的平均速度分别为 $ x $ km/h 和 $ y $ km/h，则下列方程组中正确的是(
A.$\begin{cases}2.5x + 2.5y = 420, \\ 2.5x - 2.5y = 70\end{cases}$
B.$\begin{cases}x - y = 70, \\ 2.5x + 2.5y = 420\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 70, \\ 2.5x + 2.5y = 420\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 70, \\ 2.5x - 2.5y = 420\end{cases}$
A
)。A.$\begin{cases}2.5x + 2.5y = 420, \\ 2.5x - 2.5y = 70\end{cases}$
B.$\begin{cases}x - y = 70, \\ 2.5x + 2.5y = 420\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 70, \\ 2.5x + 2.5y = 420\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 70, \\ 2.5x - 2.5y = 420\end{cases}$
答案
2. A
解析
【解析】
根据题意，存在两个等量关系：
1. 两车相向而行，2.5小时行驶的路程和为A、B两地高速公路全长420km，可得方程$2.5x + 2.5y = 420$；
2. 相遇时小汽车比客车多行驶70km，可得方程$2.5x - 2.5y = 70$。
因此对应的方程组为选项A中的方程组。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用，相遇问题
【点评】
解决此类问题需准确找到题目中的等量关系，本题关键是抓住相遇时的总路程和路程差这两个核心等量关系来列方程组。
根据题意，存在两个等量关系：
1. 两车相向而行，2.5小时行驶的路程和为A、B两地高速公路全长420km，可得方程$2.5x + 2.5y = 420$；
2. 相遇时小汽车比客车多行驶70km，可得方程$2.5x - 2.5y = 70$。
因此对应的方程组为选项A中的方程组。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用，相遇问题
【点评】
解决此类问题需准确找到题目中的等量关系，本题关键是抓住相遇时的总路程和路程差这两个核心等量关系来列方程组。
3. 甲、乙两个车间工人人数不等，若甲车间调 10 人给乙车间，则两车间人数相等；若乙车间调 10 人给甲车间，则甲车间现有的人数就是乙车间余下人数的 2 倍。设甲车间原来有 $ x $ 名工人，乙车间原来有 $ y $ 名工人，则根据题意，可列方程组为。
答案
3. $\begin{cases}x - 10 = y + 10, \\x + 10 = 2(y - 10)\end{cases}$
解析
【解析】
根据题意分析两个等量关系：
1. 甲车间调10人给乙车间后两车间人数相等，可得方程：$x - 10 = y + 10$；
2. 乙车间调10人给甲车间后，甲车间现有人数是乙车间余下人数的2倍，可得方程：$x + 10 = 2(y - 10)$。
联立两个方程得到方程组。
【答案】
$\begin{cases}x - 10 = y + 10, \\x + 10 = 2(y - 10)\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的实际应用
【点评】
解决此类问题需准确找出题目中的等量关系，明确人数调动前后的数量变化，进而列出正确的方程组。
根据题意分析两个等量关系：
1. 甲车间调10人给乙车间后两车间人数相等，可得方程：$x - 10 = y + 10$；
2. 乙车间调10人给甲车间后，甲车间现有人数是乙车间余下人数的2倍，可得方程：$x + 10 = 2(y - 10)$。
联立两个方程得到方程组。
【答案】
$\begin{cases}x - 10 = y + 10, \\x + 10 = 2(y - 10)\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的实际应用
【点评】
解决此类问题需准确找出题目中的等量关系，明确人数调动前后的数量变化，进而列出正确的方程组。
4. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两。问马、牛各价几何？”设马每匹 $ x $ 两，牛每头 $ y $ 两，则根据题意，可列方程组为。
答案
4. $\begin{cases}4x + 6y = 48, \\3x + 5y = 38\end{cases}$
解析
【解析】
根据题意，“马四匹、牛六头，共价四十八两”可列方程$4x + 6y = 48$；“马三匹、牛五头，共价三十八两”可列方程$3x + 5y = 38$，因此可列方程组为$\begin{cases}4x + 6y = 48, \\3x + 5y = 38\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}4x + 6y = 48, \\3x + 5y = 38\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是从题目中找出两个等量关系，再结合设出的未知数列出对应的方程组成方程组。
根据题意，“马四匹、牛六头，共价四十八两”可列方程$4x + 6y = 48$；“马三匹、牛五头，共价三十八两”可列方程$3x + 5y = 38$，因此可列方程组为$\begin{cases}4x + 6y = 48, \\3x + 5y = 38\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}4x + 6y = 48, \\3x + 5y = 38\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是从题目中找出两个等量关系，再结合设出的未知数列出对应的方程组成方程组。
5. 某校体操队和篮球队的人数之比是 $ 5:6 $，篮球队的人数与体操队人数的 3 倍之和为 42 人。若设体操队的人数为 $ x $，篮球队的人数为 $ y $，则根据题意，可列方程组为。
答案
5. $\begin{cases}6x = 5y, \\3x + y = 42\end{cases}$
解析
【解析】
根据体操队和篮球队的人数之比是$5:6$，可得$x:y=5:6$，交叉相乘转化为$6x=5y$；根据“篮球队的人数与体操队人数的3倍之和为42人”，可得$3x+y=42$，由此列出方程组。
【答案】
$\begin{cases}6x = 5y, \\3x + y = 42\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用、比例式转化
【点评】
本题考查根据实际问题列二元一次方程组，需正确将比例关系转化为等式，并准确提取题干中的数量和关系。
根据体操队和篮球队的人数之比是$5:6$，可得$x:y=5:6$，交叉相乘转化为$6x=5y$；根据“篮球队的人数与体操队人数的3倍之和为42人”，可得$3x+y=42$，由此列出方程组。
【答案】
$\begin{cases}6x = 5y, \\3x + y = 42\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用、比例式转化
【点评】
本题考查根据实际问题列二元一次方程组，需正确将比例关系转化为等式，并准确提取题干中的数量和关系。
6. 如图，平面直角坐标系中的大长方形是由 8 块完全相同的小长方形拼成的，其中点 $ A $ 的坐标为 $(12,8)$，则点 $ B $ 的坐标为
(10,2)
。答案
6. $(10,2)$
解析
【解析】
设小长方形的长为$ x $，宽为$ y $，根据图形拼接的边长关系及点$ A(12,8) $的坐标，可列方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 12 \\x + y = 8\end{cases}$
解该方程组，得：
$\begin{cases}x = 6 \\y = 2\end{cases}$
结合图形可知，点$ B $的横坐标为$ 12 - y = 12 - 2 = 10 $，纵坐标为$ 8 - x = 8 - 6 = 2 $，因此点$ B $的坐标为$ (10,2) $。
【答案】
$(10,2)$
【知识点】
二元一次方程组的应用；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题以长方形拼接为背景，通过建立二元一次方程组求解小长方形的边长，进而确定点的坐标，考查了方程思想的应用及对几何图形边长关系的分析能力，同时巩固了平面直角坐标系中点的坐标计算。
设小长方形的长为$ x $，宽为$ y $，根据图形拼接的边长关系及点$ A(12,8) $的坐标，可列方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 12 \\x + y = 8\end{cases}$
解该方程组，得：
$\begin{cases}x = 6 \\y = 2\end{cases}$
结合图形可知，点$ B $的横坐标为$ 12 - y = 12 - 2 = 10 $，纵坐标为$ 8 - x = 8 - 6 = 2 $，因此点$ B $的坐标为$ (10,2) $。
【答案】
$(10,2)$
【知识点】
二元一次方程组的应用；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题以长方形拼接为背景，通过建立二元一次方程组求解小长方形的边长，进而确定点的坐标，考查了方程思想的应用及对几何图形边长关系的分析能力，同时巩固了平面直角坐标系中点的坐标计算。
