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8. 如图 1 - 2 - 28，等边三角形 $ ABC $ 的三个顶点都在坐标轴上，$ A(-3,0) $，过点 $ B $ 作 $ BD ⊥ AB $，交 $ x $ 轴于点 $ D $，则点 $ D $ 的坐标为
(9,0)
。答案
8. (9,0)
9. 如图 1 - 2 - 29，玩具车从点 $ A $ 出发，向西走了 $ a $ 米，到达点 $ B $，然后顺时针旋转 $ 120° $，前进 $ b $ 米，到达点 $ C $，再顺时针旋转 $ 120° $，前进 $ c $ 米，到达点 $ D $，点 $ D $ 刚好在点 $ A $ 的正北方向，则 $ a $，$ b $，$ c $ 之间的关系为 (
A.$ a + c = b $
B.$ 2a = b + c $
C.$ 4c = a + b $
D.$ \frac{1}{2}a = b - c $
B
)A.$ a + c = b $
B.$ 2a = b + c $
C.$ 4c = a + b $
D.$ \frac{1}{2}a = b - c $
答案
9. B
10. 如图 1 - 2 - 30，$ ∠ AOB = 120° $，$ OP $ 平分 $ ∠ AOB $，且 $ OP = 2 $。若点 $ M $，$ N $ 分别在 $ OA $，$ OB $ 上，且 $ △ PMN $ 为等边三角形，则满足上述条件的 $ △ PMN $ 有 (
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.3 个以上
D
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.3 个以上
答案
10. D
11. 如图 1 - 2 - 31，点 $ P $，$ M $，$ N $ 分别在等边三角形 $ ABC $ 的各边上，且 $ MP ⊥ AB $ 于点 $ P $，$ MN ⊥ BC $ 于点 $ M $，$ PN ⊥ AC $ 于点 $ N $。
（1）求证：$ △ PMN $ 是等边三角形；
（2）若 $ AB = 12 \mathrm{ cm} $，求 $ CM $ 的长。
（1）求证：$ △ PMN $ 是等边三角形；
（2）若 $ AB = 12 \mathrm{ cm} $，求 $ CM $ 的长。
答案
1. （1）证明$△ PMN$是等边三角形：
因为$△ ABC$是等边三角形，所以$∠ A=∠ B = ∠ C=60°$。
由于$MP⊥ AB$，$MN⊥ BC$，$PN⊥ AC$，则$∠ MPB=∠ NMC=∠ PNA = 90°$。
在$△ BMP$中，$∠ BMP=180°-∠ B-∠ MPB=180°-60°-90°=30°$；在$△ CMN$中，$∠ CNM = 180°-∠ C-∠ NMC=180°-60°-90°=30°$；在$△ APN$中，$∠ APN=180°-∠ A-∠ PNA=180°-60°-90°=30°$。
那么$∠ PMN = 180°-∠ BMP-∠ NMC=180°-30°-30°=60°$，$∠ MNP=180°-∠ CNM-∠ ANP = 60°$，$∠ NPM=180°-∠ APN-∠ BPM=60°$。
因为$∠ PMN=∠ MNP=∠ NPM = 60°$，所以$△ PMN$是等边三角形。
2. （2）求$CM$的长：
设$CM=x\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CMN$中，$∠ CNM = 30°$，根据直角三角形中$30°$所对的直角边是斜边的一半，可得$CN = 2CM = 2x\mathrm{cm}$。
则$AN=AC - CN$，因为$AC = AB = 12\mathrm{cm}$，所以$AN=(12 - 2x)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ APN$中，$∠ APN = 30°$，所以$AP = 2AN=2(12 - 2x)\mathrm{cm}$。
又因为$BP=AB - AP$，所以$BP=12-2(12 - 2x)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BMP$中，$∠ BMP = 30°$，则$BM = 2BP$。
而$BM=BC - CM=12 - x\mathrm{cm}$，$BP = 12-2(12 - 2x)=4x - 12$。
所以$12 - x=2(4x - 12)$。
展开式子得$12 - x=8x-24$。
移项得$8x + x=12 + 24$。
合并同类项得$9x=36$。
解得$x = 4$。
所以$CM$的长为$4\mathrm{cm}$。
因为$△ ABC$是等边三角形，所以$∠ A=∠ B = ∠ C=60°$。
由于$MP⊥ AB$，$MN⊥ BC$，$PN⊥ AC$，则$∠ MPB=∠ NMC=∠ PNA = 90°$。
在$△ BMP$中，$∠ BMP=180°-∠ B-∠ MPB=180°-60°-90°=30°$；在$△ CMN$中，$∠ CNM = 180°-∠ C-∠ NMC=180°-60°-90°=30°$；在$△ APN$中，$∠ APN=180°-∠ A-∠ PNA=180°-60°-90°=30°$。
那么$∠ PMN = 180°-∠ BMP-∠ NMC=180°-30°-30°=60°$，$∠ MNP=180°-∠ CNM-∠ ANP = 60°$，$∠ NPM=180°-∠ APN-∠ BPM=60°$。
因为$∠ PMN=∠ MNP=∠ NPM = 60°$，所以$△ PMN$是等边三角形。
2. （2）求$CM$的长：
设$CM=x\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CMN$中，$∠ CNM = 30°$，根据直角三角形中$30°$所对的直角边是斜边的一半，可得$CN = 2CM = 2x\mathrm{cm}$。
则$AN=AC - CN$，因为$AC = AB = 12\mathrm{cm}$，所以$AN=(12 - 2x)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ APN$中，$∠ APN = 30°$，所以$AP = 2AN=2(12 - 2x)\mathrm{cm}$。
又因为$BP=AB - AP$，所以$BP=12-2(12 - 2x)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BMP$中，$∠ BMP = 30°$，则$BM = 2BP$。
而$BM=BC - CM=12 - x\mathrm{cm}$，$BP = 12-2(12 - 2x)=4x - 12$。
所以$12 - x=2(4x - 12)$。
展开式子得$12 - x=8x-24$。
移项得$8x + x=12 + 24$。
合并同类项得$9x=36$。
解得$x = 4$。
所以$CM$的长为$4\mathrm{cm}$。
1. 如图 1 - 2 - 32，四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = BC = 6 \mathrm{ cm} $，$ ∠ A = 120° $，$ ∠ B = 60° $，$ ∠ C = 150° $，则 $ AD $ 的长为
12
cm。答案
1. 12
2. 如图 1 - 2 - 33，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ A = 90° $，$ ∠ ABC = 75° $，$ AB = 1 \mathrm{ cm} $，则 $ AC = $
$(2+\sqrt{3})$
cm。答案
$2. (2+\sqrt{3})$
3. 如图 1 - 2 - 34，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AD = 4 $，$ BC = 1 $，$ ∠ A = 30° $，$ ∠ B = 90° $，$ ∠ ADC = 120° $，则 $ CD $ 的长为
2
。答案
3. 2
4. 如图 1 - 2 - 35，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，$ \mathrm{Rt}△ OAB $ 的斜边 $ OB $ 在 $ x $ 轴上，$ ∠ ABO = 30° $。若点 $ A $ 的横坐标为 1，则点 $ B $ 的坐标为
(4,0)
。答案
4. (4,0)
5. 如图 1 - 2 - 36，已知 $ ∠ AOB = 60° $，点 $ P $ 在边 $ OA $ 上，$ OP = 8 $，点 $ M $，$ N $ 在边 $ OB $ 上，$ PM = PN $。若 $ MN = 2 $，则 $ OM $ 的长是
3
。答案
5. 3
