巩固提升 (2024 福建中考)哥德巴赫提出“每个大于 $2$ 的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想,我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 在质数 $2,3,5$ 中,随机选取两个不同的数,其和是偶数的概率是()
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$

B

1. 首先确定从质数 $2, 3, 5$ 中随机选取两个不同的数的所有可能组合：
组合 $(2, 3)$
组合 $(2, 5)$
组合 $(3, 5)$
共有 $3$ 种等可能的组合。
2. 然后计算每个组合的和，并判断是否为偶数：
$2 + 3 = 5$（奇数）
$2 + 5 = 7$（奇数）
$3 + 5 = 8$（偶数）
只有 $1$ 种组合的和是偶数。
3. 最后根据概率公式计算概率：
概率 $= \frac{和是偶数的组合数}{总组合数} = \frac{1}{3}$

例3 (2024 温州二模)在一个不透明袋子中装有 $12$ 个除颜色外完全相同的球,有 $1$ 个红球、$5$ 个黄球、$2$ 个蓝球和 $4$ 个绿球. 从中任意摸出一个球,记下颜色后再把它放回,多次重合后,某种颜色的球出现的频率如图所示,则该球的颜色最有可能是()

A.红色
B.黄色
C.蓝色
D.绿色
名师导引 大量重复试验下,事件发生的频率稳定于概率,故可利用频率估计概率.

D

本题可先分别计算出从袋子中摸出各种颜色球的概率，再结合频率稳定于概率的性质，对比各颜色球的概率与图中频率的大小，进而判断该球的颜色。
步骤一：分别计算摸出各种颜色球的概率
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$发生的总数，$n$是总事件发生的总数），已知袋子中总共有$12$个球，其中红球$1$个、黄球$5$个、蓝球$2$个、绿球$4$个。
摸出红球的概率$P(红)=\frac{1}{12}\approx0.083$；
摸出黄球的概率$P(黄)=\frac{5}{12}\approx0.417$；
摸出蓝球的概率$P(蓝)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\approx0.167$；
摸出绿球的概率$P(绿)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\approx0.333$。
步骤二：根据频率稳定于概率的性质进行判断
由大量重复试验可知，事件发生的频率稳定于概率，从图中可以看出该事件发生的频率稳定在$0.33$左右，对比上述计算出的各种颜色球的概率，绿球的概率$0.333$最接近$0.33$。

巩固提升 (2023 鞍山中考)在一个不透明的口袋中装有红球和白球共 $12$ 个,这些球除颜色外都相同,将口袋中的球搅匀后,从中随机摸出 $1$ 个球,记下它的颜色后再放回口袋中,不断重复这一过程,共摸球 $200$ 次,发现有 $50$ 次摸到红球,则口袋中红球约有个.

3

根据题意，摸球总次数为200次，其中摸到红球的次数为50次。
摸到红球的频率为 $\frac{50}{200} = 0.25$。
由于球被放回，频率接近概率，因此红球的概率约为 $0.25$。
设红球数量为 $x$，则 $\frac{x}{12} = 0.25$，解得 $x = 3$。

1. 下列事件中的必然事件是()
A.在标准大气下,水加热到 $100$ 摄氏度会沸腾
B.某彩票中奖率是 $1\%$,买 $100$ 张彩票一定会中奖
C.中秋节晚上一定能看到月亮
D.过人行横道遇到红灯

A

必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件。
选项A，根据物理知识，在标准大气压下，水加热到$100$摄氏度时会沸腾，这是必然会发生的事情。
选项B，某彩票中奖率是$1\%$，买$100$张彩票，每张彩票中奖的概率都是独立的，且中奖概率为$1\%$，所以买$100$张彩票不一定会中奖。
选项C，中秋节晚上也可能会因为天气等原因看不到月亮，不是必然能看到月亮。
选项D，过人行横道时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，不是必然遇到红灯。

2. (2024 山东中考)某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动,甲、乙两位同学各自任选其中一项参加,则他们选择同一项活动的概率是( )

A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{2}{9}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$

C

甲、乙两位同学各自任选三项活动中的一项，所有可能的结果有：（跳绳，跳绳）、（跳绳，踢毽子）、（跳绳，韵律操）、（踢毽子，跳绳）、（踢毽子，踢毽子）、（踢毽子，韵律操）、（韵律操，跳绳）、（韵律操，踢毽子）、（韵律操，韵律操），共9种等可能的结果。其中他们选择同一项活动的结果有3种，所以概率为$\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$。

3. (2024 宁夏中考)为考察一种枸杞幼苗的成活率,在同一条件下进行移植试验,结果如下表,估计这种幼苗移植成活的概率是.(结果精确到 $0.1$)
|移植总数 $n$| $40$ | $150$ | $300$ | $500$ | $700$ | $1000$ | $1500$ |
|成活数 $m$| $35$ | $134$ | $271$ | $451$ | $631$ | $899$ | $1350$ |
|成活的频率 $\dfrac{m}{n}$| $0.875$ | $0.893$ | $0.903$ | $0.902$ | $0.901$ | $0.899$ | $0.900$ |

$0.9$

根据表格中数据可知，随着移植总数$n$的增大，成活的频率$\frac{m}{n}$在$0.900$左右摆动，
所以估计这种幼苗移植成活的概率是$0.9$。