1. (★) 一般地,已知一次函数图象上个点的坐标,可以用法求出它的解析式.

两；待定系数

确定一次函数解析式通常设为y=kx+b（k≠0），其中有k和b两个待定系数，根据方程思想，需要两个方程才能求解，所以需要已知两个点的坐标，通过代入得到方程组，这种方法称为待定系数法。

2. (★) 一般地,已知二次函数图象上个点的坐标,可以用法求出它的解析式.

三；待定系数

一般地，二次函数的解析式有三种形式：一般式$y=ax^2 + bx + c$（$a\neq0$）、顶点式$y=a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$）、交点式$y=a(x - x_1)(x - x_2)$（$a\neq0$）。无论哪种形式，都含有三个待定系数（一般式中是$a$、$b$、$c$；顶点式中是$a$、$h$、$k$；交点式中是$a$、$x_1$、$x_2$）。要确定这三个待定系数，需要三个独立的条件，而每个点的坐标可以提供一个关于待定系数的方程，所以需要三个点的坐标，通过解三元一次方程组来求出解析式，这种方法称为待定系数法。

3. (★) 已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $,当 $ x = -1 $ 时, $ y = -1 $；当 $ x = 0 $ 时, $ y = -2 $；当 $ x = 1 $ 时, $ y = 1 $,则此二次函数的解析式为.

$y=2x^{2}+x - 2$

将$x=-1,y=-1$；$x=0,y=-2$；$x=1,y=1$分别代入$y=ax^{2}+bx+c$得：
$\begin{cases}a - b + c = -1 \\c = -2 \\a + b + c = 1\end{cases}$
将$c=-2$代入前两式得：
$\begin{cases}a - b = 1 \\a + b = 3\end{cases}$
两式相加得$2a=4$，解得$a=2$，代入$a - b = 1$得$b=1$，所以解析式为$y=2x^{2}+x - 2$

4. (★★) 已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象经过点 $ A(-1,-1) $, $ B(0,2) $, $ C(1,3) $,求这个二次函数的解析式.

$y=-x^{2}+2x + 2$

将点$A(-1,-1)$，$B(0,2)$，$C(1,3)$分别代入$y = ax^{2}+bx + c$，得：
$\begin{cases}a(-1)^{2}+b(-1)+c=-1 \\a(0)^{2}+b(0)+c=2 \\a(1)^{2}+b(1)+c=3\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b + c = -1 & (1) \\c = 2 & (2) \\a + b + c = 3 & (3)\end{cases}$
将$(2)$代入$(1)$：$a - b + 2 = -1\Rightarrow a - b = -3\quad(4)$
将$(2)$代入$(3)$：$a + b + 2 = 3\Rightarrow a + b = 1\quad(5)$
$(4)+(5)$：$2a = -2\Rightarrow a = -1$
将$a = -1$代入$(5)$：$-1 + b = 1\Rightarrow b = 2$
所以二次函数解析式为$y=-x^{2}+2x + 2$

5. (★★) 已知二次函数的图象如图 22.1 - 20 所示,则这个二次函数的表达式为【】

A.$ y = x^{2}-2x + 3 $
B.$ y = x^{2}-2x - 3 $
C.$ y = x^{2}+2x - 3 $
D.$ y = x^{2}+2x + 3 $

B

根据图象，二次函数图象经过点$(3,0)$，$(-1,0)$和$(0,-3)$，因此可以设二次函数的交点式为$y = a(x - 3)(x + 1)$。
将点$(0, -3)$代入，得到$-3 = a(0 - 3)(0 + 1)$，即$-3 = -3a$，解得$a = 1$。
所以二次函数的表达式为$y = (x - 3)(x + 1)$，展开得到$y = x^2 - 2x - 3$。

6. (★★) 已知抛物线的顶点坐标为 $ (1,1) $,且过点 $ (3,2) $,则该函数的解析式为.

$y=\frac{1}{4}(x-1)^{2}+1$（或 $y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$）

由题意可设抛物线的解析式为 $y = a(x - 1)^2 + 1$，把点 $(3, 2)$ 代入可得：$2 = a(3 - 1)^2 + 1$，即$2 = 4a + 1$，解得$a = \frac{1}{4}$，所以抛物线的解析式为$y = \frac{1}{4}(x - 1)^2 + 1$，即$y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$。

7. (★★) 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ (-3,0) $, $ (5,0) $ 两点,与 $ y $ 轴交于 $ (0,-3) $,求该二次函数的解析式.

因为二次函数与x轴交于$(-3,0)$，$(5,0)$两点，所以设二次函数的解析式为$y=a(x+3)(x-5)$。
将点$(0,-3)$代入解析式得：$-3=a(0+3)(0-5)$，即$-3=a×3×(-5)$，$-3=-15a$，解得$a=\frac{1}{5}$。
所以二次函数的解析式为$y=\frac{1}{5}(x+3)(x-5)$，展开得$y=\frac{1}{5}(x^{2}-5x+3x-15)=\frac{1}{5}(x^{2}-2x-15)=\frac{1}{5}x^{2}-\frac{2}{5}x-3$。
综上，该二次函数的解析式为$y=\frac{1}{5}x^{2}-\frac{2}{5}x-3$。

8. (★★) 已知二次函数的图象经过 $ (1,0) $, $ (2,0) $ 和 $ (0,2) $ 三点,则该函数的解析式是【】
A.$ y = 2x^{2}+x + 2 $
B.$ y = x^{2}+3x + 2 $
C.$ y = x^{2}-2x + 3 $
D.$ y = x^{2}-3x + 2 $

D

设二次函数的解析式为$y = ax^{2} + bx + c$（$a\neq0$），
因为函数图象经过$(1,0)$，$(2,0)$和$(0,2)$三点，将三点代入解析式可得：
$\begin{cases}a + b + c = 0\\4a + 2b + c = 0\\c = 2\end{cases}$
将$c = 2$代入$a + b + c = 0$和$4a + 2b + c = 0$，得到$\begin{cases}a + b+2 = 0\\4a + 2b + 2 = 0\end{cases}$
即$\begin{cases}a + b=-2&(1)\\4a + 2b=-2&(2)\end{cases}$
由$(1)$式得$b = - 2 - a$，将其代入$(2)$式：
$4a+2(-2 - a)=-2$
$4a-4 - 2a=-2$
$2a=2$
解得$a = 1$
把$a = 1$代入$b = - 2 - a$，得$b=-2 - 1=-3$
所以二次函数解析式为$y = x^{2}-3x + 2$