1. 下列各式可以用公式$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$计算的是()
A.$(2x + 3y)(2x + 3y)$
B.$(2x - 3y)(3x + 2y)$
C.$(-2x + 3y)(2x + 3y)$
D.$(-2x + 3y)(2x - 3y)$

C

$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$的结构特征是两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数。
选项A：$(2x + 3y)(2x + 3y)$，两项均相同，不符合。
选项B：$(2x - 3y)(3x + 2y)$，两项均不同，不符合。
选项C：$(-2x + 3y)(2x + 3y)=(3y - 2x)(3y + 2x)$，其中$3y$相同，$-2x$与$2x$互为相反数，符合。
选项D：$(-2x + 3y)(2x - 3y)=-(2x - 3y)(2x - 3y)$，两项均互为相反数，不符合。
C

2. 下列计算正确的是()

A.$(2x + y)(2x - y) = 2x^{2} - y^{2}$
B.$(3 - 5x)(3 + 5x) = 9 - 25x^{2}$
C.$(3m - n)(-3m + n) = 9m^{2} - n^{2}$
D.$(-3x - 2y)(3x + 2y) = -9x^{2} - 4y^{2}$

B

A.$(2x + y)(2x - y) = (2x)^{2}-y^{2}=4x^{2}-y^{2}$，故A错误；
B.$(3 - 5x)(3 + 5x) = 3^{2}-(5x)^{2}=9 - 25x^{2}$，故B正确；
C.$(3m - n)(-3m + n)=-(3m - n)(3m - n)=-(3m - n)^{2}=-9m^{2}+6mn - n^{2}$，故C错误；
D.$(-3x - 2y)(3x + 2y)=-(3x + 2y)(3x + 2y)=-(3x + 2y)^{2}=-9x^{2}-12xy - 4y^{2}$，故D错误。
结论：B

3. 下列各式中,运算结果是$9a^{2} - 16b^{2}$的是()
A.$(-3a + 4b)(-3a - 4b)$
B.$(-4a + 3b)(-4b - 3a)$
C.$(4b + 3a)(4b - 3a)$
D.$(3a + 2b)(3a - 8b)$

A

1. 计算：$(3a - 5b)(3a + 5b) = $；$(x - 3y)(x + 3y) = $.

$9a^{2}-25b^{2},x^{2}-9y^{2}$

2. 计算：$(-3a + 2b)(3a + 2b) = $；$(-x + 2y)(-x - 2y) = $.

$4b^{2}-9a^{2},x^{2}-4y^{2}$

3. 若$a - b = 2$,$a^{2} - b^{2} = 3$,则$a + b = $.

$\frac{3}{2}$

$\because a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，$a - b = 2$，$a^2 - b^2 = 3$，
$\therefore 3 = 2(a + b)$，
$\therefore a + b = \frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$

4. 把长为$(a + b)$、宽为$(a - b)的长方形纸片剪成两块上底为b$、下底为$a$、高为$(a - b)的直角梯形(a ＞ b)$(如右图)[],拼成一个如右图所示的图形.分别计算这两个图形阴影部分的面积,可以验证的乘法公式是(用字母表示).

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

长方形阴影部分面积：$(a+b)(a-b)$
拼成图形阴影部分面积：$a^2 - b^2$
$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

5. 已知$(x - ay)(x + ay) = x^{2} - 16y^{2}$,则$a = $.

$\pm4$

$(x - ay)(x + ay) = x^{2} - (ay)^{2} = x^{2} - a^{2}y^{2}$
因为$(x - ay)(x + ay) = x^{2} - 16y^{2}$，所以$a^{2} = 16$
解得$a = \pm4$
$\pm4$

1. 计算：
(1) $(ab + 3)(ab - 3)$；
(2) $\left(x + \dfrac{1}{4}y\right)\left(x - \dfrac{1}{4}y\right)$；
(3) $(-x - 3y)(-x + 3y)$；
(4) $(2 - x)(-2 - x)$；
(5) $(m - n)(m + n) - m(m - n) + n(m + n)$；
(6) $(x + 3)(x - 3) - x(x - 5)$。

$(1)$ 计算$(ab + 3)(ab - 3)$
解：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，
在$(ab + 3)(ab - 3)$中，$a = ab$，$b = 3$，
则$(ab + 3)(ab - 3)=(ab)^2-3^2 = a^{2}b^{2}-9$。
$(2)$ 计算$\left(x + \dfrac{1}{4}y\right)\left(x - \dfrac{1}{4}y\right)$
解：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，
在$\left(x + \dfrac{1}{4}y\right)\left(x - \dfrac{1}{4}y\right)$中，$a = x$，$b=\dfrac{1}{4}y$，
则$\left(x + \dfrac{1}{4}y\right)\left(x - \dfrac{1}{4}y\right)=x^{2}-\left(\dfrac{1}{4}y\right)^{2}=x^{2}-\dfrac{1}{16}y^{2}$。
$(3)$ 计算$(-x - 3y)(-x + 3y)$
解：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，
在$(-x - 3y)(-x + 3y)$中，$a = -x$，$b = 3y$，
则$(-x - 3y)(-x + 3y)=(-x)^{2}-(3y)^{2}=x^{2}-9y^{2}$。
$(4)$ 计算$(2 - x)(-2 - x)$
解：
将$(2 - x)(-2 - x)$变形为$(-x + 2)(-x - 2)$，
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，
这里$a=-x$，$b = 2$，
则$(-x + 2)(-x - 2)=(-x)^{2}-2^{2}=x^{2}-4$。
$(5)$ 计算$(m - n)(m + n)-m(m - n)+n(m + n)$
解：
- 首先，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，$(m - n)(m + n)=m^{2}-n^{2}$；
- 然后，根据单项式乘多项式法则：$m(m - n)=m^{2}-mn$，$n(m + n)=mn + n^{2}$。
将上述结果代入原式得：
$\begin{aligned}&(m^{2}-n^{2})-(m^{2}-mn)+(mn + n^{2})\\=&m^{2}-n^{2}-m^{2}+mn+mn + n^{2}\\=&(m^{2}-m^{2})+( -n^{2}+n^{2})+(mn + mn)\\=&2mn\end{aligned}$
$(6)$ 计算$(x + 3)(x - 3)-x(x - 5)$
解：
- 首先，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，$(x + 3)(x - 3)=x^{2}-9$；
- 然后，根据单项式乘多项式法则：$x(x - 5)=x^{2}-5x$。
将上述结果代入原式得：
$\begin{aligned}&(x^{2}-9)-(x^{2}-5x)\\=&x^{2}-9 - x^{2}+5x\\=&(x^{2}-x^{2})+5x-9\\=&5x-9\end{aligned}$
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{a^{2}b^{2}-9}$；$(2)$$\boldsymbol{x^{2}-\dfrac{1}{16}y^{2}}$；$(3)$$\boldsymbol{x^{2}-9y^{2}}$；$(4)$$\boldsymbol{x^{2}-4}$；$(5)$$\boldsymbol{2mn}$；$(6)$$\boldsymbol{5x - 9}$。