9. 若分式$\frac{4}{2x + 1}$的值为整数,则$x$的整数值为.

$-1$或$0$

要使分式 $\frac{4}{2x + 1}$ 的值为整数，分母 $2x + 1$ 必须是分子 $4$ 的因数，即 $2x + 1$ 的值为 $\pm1,\pm2,\pm4$。
由于 $2x + 1$ 为奇数，
所以，$2x + 1$ 的可能取值为 $\pm1$。
当 $2x + 1 = 1$ 时，解得 $x = 0$。
当 $2x + 1 = -1$ 时，解得 $x = -1$。
其他情况（$\pm2,\pm4$）不满足奇数条件，因此舍去。

10. 当$x$取什么值时,下列分式有意义？
(1)$\frac{2}{|x| - 1}$；
(2)$\frac{x}{(x + 1)(x - 2)}$；
(3)$\frac{x + 1}{x^{2}+2}$.

(1)$x \neq \pm 1$；
(2)$x\neq -1$且$x\neq 2$；
(3)$x$取任意实数。

(1)要使分式$\frac{2}{|x| - 1}$有意义，则分母$|x| - 1\neq 0$，即$\vert x\vert\neq1$，解得$x \neq \pm 1$。
(2)要使分式$\frac{x}{(x + 1)(x - 2)}$有意义，则分母$(x + 1)(x - 2)\neq 0$，即$x + 1\neq 0$且$x - 2\neq 0$，解得$x\neq -1$且$x\neq 2$。
(3)要使分式$\frac{x + 1}{x^{2}+2}$有意义，则分母$x^{2}+2\neq 0$。因为$x^{2}\geq0$，所以$x^{2}+2\gt0$恒成立，$x$取任意实数。

11. 仔细阅读下面的材料并解答问题.
例：当$x$取何值时,分式$\frac{1 - x}{2x - 1}$的值为正？
解：依题意得$\frac{1 - x}{2x - 1}＞0$,则有①$\begin{cases}1 - x＞0,\\2x - 1＞0,\end{cases} $或②$\begin{cases}1 - x＜0,\\2x - 1＜0.\end{cases} $
解不等式组①得$\frac{1}{2}＜x＜1$,解不等式组②得不等式组无解,$\therefore\frac{1}{2}＜x＜1$.
$\therefore当\frac{1}{2}＜x＜1$时,分式$\frac{1 - x}{2x - 1}$的值为正.
(1)当$x$取何值时,分式$\frac{3x + 2}{x - 2}$的值为负？
(2)当$x$取何值时,分式$\frac{x - 3}{x^{3}-2x^{2}+x}$的值为负？

(1)依题意得$\frac{3x + 2}{x - 2} \lt 0$，
则有①$\begin{cases}3x + 2 \gt 0, \\x - 2 \lt 0.\end{cases}$或②$\begin{cases}3x + 2 \lt 0, \\x - 2 \gt 0.\end{cases}$
解不等式组①得$-\frac{2}{3} \lt x \lt 2$；
解不等式组②得无解。
$\therefore -\frac{2}{3} \lt x \lt 2$时，分式$\frac{3x + 2}{x - 2}$的值为负。
(2)依题意得$\frac{x - 3}{x^{3} - 2x^{2} + x} \lt 0$，
$\because x^{3} - 2x^{2} + x = x(x - 1)^{2}$，
$\therefore \frac{x - 3}{x(x - 1)^{2}} \lt 0$，
则有①$\begin{cases}x - 3 \lt 0, \\x(x - 1)^{2} \gt 0.\end{cases}$或②$\begin{cases}x - 3 \gt 0, \\x(x - 1)^{2} \lt 0.\end{cases}$
解不等式组①得$0 \lt x \lt 3$且$x\neq1$；
解不等式组②得无解。
$\therefore 0 \lt x \lt 3$且$x\neq1$时，分式$\frac{x - 3}{x^{3} - 2x^{2} + x}$的值为负。