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1. 代数式$\frac{2}{5}x$,$\frac{1}{\pi}$,$\frac{2}{x^{2}+4}$,$x^{2}-\frac{2}{3}$,$\frac{1}{x}$,$\frac{x + 1}{x + 2}$中,属于分式的有(
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
B
)A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
答案
B
解析
分式的定义为：一般地，如果$A$、$B$（$B\neq0$）表示整式，且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$就叫做分式。
在代数式$\frac{2}{5}x$中，分母为$5$，不含有字母，所以它是整式，不是分式；
$\frac{1}{\pi}$中，分母$\pi$是一个常数，不是字母，所以它是整式，不是分式；
$\frac{2}{x^{2}+4}$中，分母$x^{2}+4$含有字母$x$，所以它是分式；
$x^{2}-\frac{2}{3}$是整式的加减运算，结果为整式，不是分式；
$\frac{1}{x}$中，分母$x$是字母，所以它是分式；
$\frac{x + 1}{x + 2}$中，分母$x + 2$含有字母$x$，所以它是分式。
所以分式有$\frac{2}{x^{2}+4}$，$\frac{1}{x}$，$\frac{x + 1}{x + 2}$，共$3$个。
在代数式$\frac{2}{5}x$中，分母为$5$，不含有字母，所以它是整式，不是分式；
$\frac{1}{\pi}$中，分母$\pi$是一个常数，不是字母，所以它是整式，不是分式；
$\frac{2}{x^{2}+4}$中，分母$x^{2}+4$含有字母$x$，所以它是分式；
$x^{2}-\frac{2}{3}$是整式的加减运算，结果为整式，不是分式；
$\frac{1}{x}$中，分母$x$是字母，所以它是分式；
$\frac{x + 1}{x + 2}$中，分母$x + 2$含有字母$x$，所以它是分式。
所以分式有$\frac{2}{x^{2}+4}$，$\frac{1}{x}$，$\frac{x + 1}{x + 2}$，共$3$个。
2. 若分式$\frac{1}{x + 1}$有意义,则$x$的取值范围是(
A.$x\neq -1$
B.$x\neq 0$
C.$x\neq 1$
D.$x\neq 2$
A
)A.$x\neq -1$
B.$x\neq 0$
C.$x\neq 1$
D.$x\neq 2$
答案
A
解析
要使分式$\frac{1}{x + 1}$有意义，分母$x + 1$不能为0，即$x + 1 \neq 0$，解得$x \neq -1$。
3. 若分式$\frac{x^{2}-1}{x + 1}$的值为 0,则$x$的值为(
A.0
B.1
C.$-1$
D.$\pm 1$
B
)A.0
B.1
C.$-1$
D.$\pm 1$
答案
B
解析
要使分式$\frac{x^{2}-1}{x + 1}$的值为0，需满足分子$x^{2}-1=0$且分母$x + 1\neq 0$。
由$x^{2}-1=0$得$x=\pm1$，但$x+1\neq0$即$x\neq -1$，故$x=1$。
由$x^{2}-1=0$得$x=\pm1$，但$x+1\neq0$即$x\neq -1$，故$x=1$。
4. 若分式$\frac{2x + 1}{x^{2}}$的值为正,则$x$的取值范围是(
A.$x＞0$
B.$x＞-\frac{1}{2}$
C.$x\neq -\frac{1}{2}$
D.$x＞-\frac{1}{2}且x\neq 0$
D
)A.$x＞0$
B.$x＞-\frac{1}{2}$
C.$x\neq -\frac{1}{2}$
D.$x＞-\frac{1}{2}且x\neq 0$
答案
D
解析
分式$\frac{2x + 1}{x^{2}}$的值为正，当且仅当分子和分母同号。
分母$x^2$始终为非负，且$x\neq0$时$x^2＞0$，
因此分母始终为正。
要使分式的值为正，则分子$2x + 1$也必须为正，
即：$2x + 1 ＞ 0$，
解得：$x ＞ -\frac{1}{2}$，
由于分母不能为0，所以$x\neq0$，
综合以上两个条件，得到$x$的取值范围是$x ＞ -\frac{1}{2}$且$x\neq0$。
分母$x^2$始终为非负，且$x\neq0$时$x^2＞0$，
因此分母始终为正。
要使分式的值为正，则分子$2x + 1$也必须为正，
即：$2x + 1 ＞ 0$，
解得：$x ＞ -\frac{1}{2}$，
由于分母不能为0，所以$x\neq0$，
综合以上两个条件，得到$x$的取值范围是$x ＞ -\frac{1}{2}$且$x\neq0$。
5. 当$x = 3$时,分式$\frac{x - a}{x + 4}= 0$,则$a$的值为
3
.答案
3
解析
要使分式$\frac{x - a}{x + 4} = 0$在$x = 3$时成立，首先确保分母不为零，即$x + 4 \neq 0$。当$x = 3$时，$3 + 4 = 7 \neq 0$，满足条件。
接下来，使分子为零，即$x - a = 0$。将$x = 3$代入，得$3 - a = 0$，解得$a = 3$。
接下来，使分子为零，即$x - a = 0$。将$x = 3$代入，得$3 - a = 0$，解得$a = 3$。
6. 已知$a - 5b = 0$,则分式$\frac{a + b}{b}$的值为
6
.答案
6
解析
由已知条件 $a - 5b = 0$，可得 $a = 5b$。
将 $a = 5b$ 代入分式 $\frac{a + b}{b}$，得：
$\frac{a + b}{b} = \frac{5b + b}{b} = \frac{6b}{b} = 6$。
将 $a = 5b$ 代入分式 $\frac{a + b}{b}$，得：
$\frac{a + b}{b} = \frac{5b + b}{b} = \frac{6b}{b} = 6$。
7. 已知$\frac{x}{6}= \frac{y}{4}= \frac{z}{3}$($x$,$y$,$z$均不为 0),则$\frac{x + 3y}{3y - 2z}= $
3
.答案
3
解析
设 $\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3} = k$（$k \neq 0$），
则 $x = 6k$，$y = 4k$，$z = 3k$。
代入表达式：
$\frac{x + 3y}{3y - 2z} = \frac{6k + 3 × 4k}{3 × 4k - 2 × 3k} = \frac{6k + 12k}{12k - 6k} = \frac{18k}{6k} = 3$。
则 $x = 6k$，$y = 4k$，$z = 3k$。
代入表达式：
$\frac{x + 3y}{3y - 2z} = \frac{6k + 3 × 4k}{3 × 4k - 2 × 3k} = \frac{6k + 12k}{12k - 6k} = \frac{18k}{6k} = 3$。
8. 实数$a满足|a|+a = 0$,且$a\neq -1$,那么$\frac{|a| - 1}{|a + 1|}= $
-1或1
.答案
-1或1
解析
由|a|+a=0得|a|=-a，故a≤0。又a≠-1，所以a≤0且a≠-1。当a≤0且a≠-1时，|a|=-a，|a+1|需分情况讨论：若-1＜a≤0，则a+1＞0，|a+1|=a+1，原式=(-a-1)/(a+1)=-(a+1)/(a+1)=-1；若a＜-1，则a+1＜0，|a+1|=-a-1，原式=(-a-1)/(-a-1)=1。综上，原式的值为-1或1。
