3. 如图所示,AD 是△ABC 的角平分线,AE 是△ABD 的角平分线,若∠BAC = 60°,则∠EAC 的度数是 ()

A.40°
B.30°
C.15°
D.45°

D

∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC/2=30°。
∵AE是△ABD的角平分线，
∴∠BAE=∠EAD=∠BAD/2=15°。
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=15°+30°=45°。

【例 3】 如图所示,画出下列三角形的所有的高,并标出三条高所在直线的交点 O。

答题：
1. 对于第一个三角形（锐角三角形）：
从$\triangle ABC$的顶点$A$向$BC$边作垂线，垂足为$D$，$AD$为$BC$边上的高；
从顶点$B$向$AC$边作垂线，垂足为$E$，$BE$为$AC$边上的高；
从顶点$C$向$AB$边作垂线，垂足为$F$，$CF$为$AB$边上的高。
三条高所在直线的交点$O$在三角形内部。
2. 对于第二个三角形（直角三角形）：
直角边$AC$为$BC$边上的高（因为$\angle C = 90^{\circ}$）；
从顶点$B$向$AC$边作垂线，垂足为$C$（即$BC$的延长线与$AC$垂直情况不考虑，实际$BC$本身与$AC$垂直），从$A$向$BC$作垂线，垂足为$C$，从$B$向$AC$反向延长线作垂线（本题中直接取$AC$边相关高情况），三条高交于直角顶点$C$，这里标$AC$边对应高为$AC$本身，$AB$边上的高从$C$向$AB$作垂线，垂足设为$G$，$CG$为$AB$边上的高，三条高所在直线交点$O$即为直角顶点$C$。
3. 对于第三个三角形（钝角三角形）：
从$\triangle ABC$的顶点$A$向$BC$边作垂线，垂足为$H$，$AH$为$BC$边上的高；
从顶点$B$向$AC$边作垂线，垂足为$I$，$BI$为$AC$边上的高；
从顶点$C$向$AB$边的反向延长线作垂线，垂足为$J$，$CJ$为$AB$边上的高。
三条高所在直线的交点$O$在三角形外部。

4. 如图所示,△ABC 中 AB 边上的高为 ()

A.AD
B.CE
C.AF
D.BG

B

三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
在$\triangle ABC$中，$CE$是从顶点$C$向$AB$边所在直线作垂线，垂足为$E$，所以$CE$是$AB$边上的高。
而$AD$、$AF$、$BG$不符合三角形高的定义。

5. 如图所示,在△ABC 中,DA ⊥ AB,有下列三个结论：①AD 是△ACD 的高；②AD 是△ABD 的高；③AD 是△ABC 的高。其中正确的结论是 ()

A.①和②
B.①和③
C.②和③
D.只有②正确

D

根据三角形高的定义，从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
对于①，在△ACD中，AD的一个端点是A，另一个端点是D，AD⊥AB，但AB不是△ACD的边，AD与△ACD的边AC不垂直，所以AD不是△ACD的高，①错误。
对于②，在△ABD中，AD⊥AB，垂足为A，AD是从顶点D向对边AB作的垂线，所以AD是△ABD的高，②正确。
对于③，在△ABC中，AD的一个端点是A，另一个端点是D，AD⊥AB，但AB是△ABC的边，高应是从顶点向对边作垂线，AD未垂直于△ABC的边BC，所以AD不是△ABC的高，③错误。
综上，正确的结论只有②。

1. 三角形一边上的中线把原三角形分成两个 ()
A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形

B

三角形一边上的中线将该边分为相等的两段，即两个三角形的底相等。这两个三角形共用一条高，根据三角形面积公式（面积=底×高÷2），等底同高的两个三角形面积相等。

2. 如图所示,已知在△ABC 中,点 D,E 分别是边 BC,AB 的中点。若△ABC 的面积等于 8,则△BDE 的面积等于 ()

A.2
B.3
C.4
D.5

A

本题可根据三角形的中线性质以及三角形面积公式来求解$\triangle BDE$的面积。
步骤一：根据三角形中线性质得到相关三角形面积关系
因为点$D$是边$BC$的中点，所以$BD=\frac{1}{2}BC$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（其中$S$为三角形面积，$a$为三角形的底，$h$为这条底对应的高），$\triangle ABD$与$\triangle ABC$有相同的高（过$A$点向$BC$作垂线），设$\triangle ABC$以$BC$为底时的高为$h$，则$\triangle ABD$以$BD$为底时的高也为$h$。
那么${S}_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× BD× h$，${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× h$，将$BD=\frac{1}{2}BC$代入可得：
${S}_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC× h=\frac{1}{2}{S}_{\triangle ABC}$
已知${S}_{\triangle ABC}=8$，所以${S}_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}×8 = 4$。
步骤二：同理求出$\triangle BDE$的面积
因为点$E$是边$AB$的中点，所以$BE=\frac{1}{2}AB$。
$\triangle BDE$与$\triangle ABD$有相同的高（过$D$点向$AB$作垂线），设$\triangle ABD$以$AB$为底时的高为$h_1$，则$\triangle BDE$以$BE$为底时的高也为$h_1$。
${S}_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}× BE× h_1$，${S}_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AB× h_1$，将$BE=\frac{1}{2}AB$代入可得：
${S}_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB× h_1=\frac{1}{2}{S}_{\triangle ABD}$
由${S}_{\triangle ABD}=4$，可得${S}_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}×4 = 2$。

3. (2025·广安)如图所示,在△ABC 中,AB = 18,BC = 15,BD 是 AC 边上的中线。若△ABD 的周长为 38,则△BCD 的周长是 ()

A.23
B.35
C.33
D.53

B

∵BD是AC边上的中线，
∴AD=CD。
∵△ABD的周长为38，AB=18，
∴AB+AD+BD=38，即18+AD+BD=38，
∴AD+BD=20。
∵AD=CD，
∴CD+BD=20。
∵BC=15，
∴△BCD的周长=BC+CD+BD=15+20=35。

4. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点 A,B,C,D,E,F,G 都在小正方形的顶点上,则△ABC 的重心是 ()

A.点 D
B.点 E
C.点 F
D.点 G

A

在网格中确定△ABC的两条中线，再求交点。取BC中点：观察网格，B、C在同一水平线上，B到C共6个小格边长，中点在从B向右3个格处，即点D所在竖直线与BC交点为BC中点，所以AD是BC边上的中线。取AC中点：A在网格上方顶点，C在右侧顶点，通过数格确定AC中点，连接该中点与B，发现此中线也过点D。两条中线AD、BE（假设BE为另一条中线）交于点D，故重心为点D。

5. 如图所示,AD 平分∠BAC,∠BAD = 30°,则∠BAC 等于 ()

A.30°
B.60°
C.90°
D.120°

B

$\because AD$平分$\angle BAC$，$\angle BAD=30°$，
$\therefore \angle BAC=2\angle BAD$（角平分线的定义），
$\therefore \angle BAC = 2×30° = 60°$。

6. 如图所示,在△ABC 中,∠BAD = 40°,∠CAD = 50°,AE 平分∠BAD,AF 平分∠BAC,则∠EAF 的度数为 ()

A.25°
B.15°
C.30°
D.35°

A

∵∠BAD=40°，∠CAD=50°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°.
∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠BAC/2=45°.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠BAD/2=20°.
∴∠EAF=∠BAF - ∠BAE=45° - 20°=25°.