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1. 下列各数中，最小的数是(
A.$-\sqrt{5}$
B.$\sqrt{3}$
C.$0$
D.$-\pi$
D
)A.$-\sqrt{5}$
B.$\sqrt{3}$
C.$0$
D.$-\pi$
答案
D
【解析】：
本题主要考察实数的大小比较。对于负数，绝对值越大的数实际上越小。对于正数和0，直接比较其数值大小。
首先，我们可以确定$-\pi$和$-\sqrt{5}$都是负数，而$\sqrt{3}$是正数，0既不是正数也不是负数。
因此，$\sqrt{3}$和0都比$-\pi$和$-\sqrt{5}$大。
接下来，我们需要比较$-\pi$和$-\sqrt{5}$的大小。
由于$\pi$的值约等于3.14159，而$\sqrt{5}$的值约等于2.236，所以$\pi ＞ \sqrt{5}。$
因此，$-\pi ＜ -\sqrt{5}。$
综上所述，最小的数是$-\pi。$
【答案】：
D
【解析】：
本题主要考察实数的大小比较。对于负数，绝对值越大的数实际上越小。对于正数和0，直接比较其数值大小。
首先，我们可以确定$-\pi$和$-\sqrt{5}$都是负数，而$\sqrt{3}$是正数，0既不是正数也不是负数。
因此，$\sqrt{3}$和0都比$-\pi$和$-\sqrt{5}$大。
接下来，我们需要比较$-\pi$和$-\sqrt{5}$的大小。
由于$\pi$的值约等于3.14159，而$\sqrt{5}$的值约等于2.236，所以$\pi ＞ \sqrt{5}。$
因此，$-\pi ＜ -\sqrt{5}。$
综上所述，最小的数是$-\pi。$
【答案】：
D
2. 如果点 $A(a,b)$ 在第三象限，那么点 $B(2a - 1,-b + 2)$ 关于 $x$ 轴对称的点在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解：
∵点A(a,b)在第三象限，
∴a＜0，b＜0。
∴2a-1＜0-1=-1＜0，-b+2＞0+2=2＞0，
∴点B(2a-1,-b+2)在第二象限。
∵关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点B关于x轴对称的点的坐标为(2a-1,b-2)。
∵b＜0，∴b-2＜0-2=-2＜0，
又∵2a-1＜0，
∴点(2a-1,b-2)在第三象限。
答案：C
解：
∵点A(a,b)在第三象限，
∴a＜0，b＜0。
∴2a-1＜0-1=-1＜0，-b+2＞0+2=2＞0，
∴点B(2a-1,-b+2)在第二象限。
∵关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点B关于x轴对称的点的坐标为(2a-1,b-2)。
∵b＜0，∴b-2＜0-2=-2＜0，
又∵2a-1＜0，
∴点(2a-1,b-2)在第三象限。
答案：C
3. 如图，有一个圆柱形油罐，其底面周长是 $24\ m$，高 $AB$ 为 $10\ m$。现在要以点 $A$ 为起点环绕油罐表面建梯子，终点正好建在点 $A$ 正上方的点 $B$ 处，则梯子最短需要(
A.$10\ m$
B.$24\ m$
C.$26\ m$
D.$20\ m$
C
)A.$10\ m$
B.$24\ m$
C.$26\ m$
D.$20\ m$
答案
C
【解析】：本题考查圆柱的侧面展开图的性质。
把圆柱侧面展开，得到一个长方形，长方形的长为底面周长24m，宽为高10m。
从点A到点B（正上方）的最短路径，在展开图中就是从长方形一个角到对角顶点的直线距离，即长方形的对角线长度。
根据勾股定理，若直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，则$a^2 + b^2 = c^2。$
在这里，a = 24m，b = 10m，所以$c = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26（m）。$
【答案】：C
【解析】：本题考查圆柱的侧面展开图的性质。
把圆柱侧面展开，得到一个长方形，长方形的长为底面周长24m，宽为高10m。
从点A到点B（正上方）的最短路径，在展开图中就是从长方形一个角到对角顶点的直线距离，即长方形的对角线长度。
根据勾股定理，若直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，则$a^2 + b^2 = c^2。$
在这里，a = 24m，b = 10m，所以$c = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26（m）。$
【答案】：C
4. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托。折回索子却量竿，却比竿子短一托。”大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 $5$ 尺；若将绳索对折后再去量竿，则比竿短 $5$ 尺。设绳索长 $x$ 尺，竿长 $y$ 尺，则可列方程组为(
A.$\begin{cases}x = y + 5,\frac{1}{2}x = y - 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = y - 5,\frac{1}{2}x = y + 5\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = y + 5,\\2x = y + 5\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = y - 5,\\2x = y + 5\end{cases}$
A
)A.$\begin{cases}x = y + 5,\frac{1}{2}x = y - 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = y - 5,\frac{1}{2}x = y + 5\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = y + 5,\\2x = y + 5\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = y - 5,\\2x = y + 5\end{cases}$
答案
A
【解析】：
这个问题属于数学八年级上册的方程组应用问题，主要考查如何根据实际问题设立变量，并根据题目描述建立方程组。
设绳索长x尺，竿长y尺。
根据题目，“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺”，可以得到方程：
x = y + 5，
再根据题目，“若将绳索对折后再去量竿，则比竿短5尺”，可以得到方程：
$\frac{1}{2}x = y - 5，$
将这两个方程组合，可以得到方程组：
$\begin{cases}x = y + 5,\\ \frac{1}{2}x = y - 5,\end{cases}$
这与选项A中的方程组一致。
【答案】：$A.\begin{cases} x= y+5, \\ \frac{1}{2}x= y-5 \end{cases} $
【解析】：
这个问题属于数学八年级上册的方程组应用问题，主要考查如何根据实际问题设立变量，并根据题目描述建立方程组。
设绳索长x尺，竿长y尺。
根据题目，“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺”，可以得到方程：
x = y + 5，
再根据题目，“若将绳索对折后再去量竿，则比竿短5尺”，可以得到方程：
$\frac{1}{2}x = y - 5，$
将这两个方程组合，可以得到方程组：
$\begin{cases}x = y + 5,\\ \frac{1}{2}x = y - 5,\end{cases}$
这与选项A中的方程组一致。
【答案】：$A.\begin{cases} x= y+5, \\ \frac{1}{2}x= y-5 \end{cases} $
5. 如图，若一次函数 $y = \frac{3}{2}x + 6$ 与 $y = kx$ 的图象交于点 $A(a,3)$，则关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}y - \frac{3}{2}x = 6,\\y - kx = 0\end{cases}$ 的解是(
A.$\begin{cases}x = -1,\\y = 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 3,\\y = -1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 3,\\y = -2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = -2,\\y = 3\end{cases}$
D
)A.$\begin{cases}x = -1,\\y = 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 3,\\y = -1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 3,\\y = -2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = -2,\\y = 3\end{cases}$
答案
D
【解析】：本题可先根据点A(a,3)在一次函数$y = \frac{3}{2}x + 6$的图象上，求出a的值，进而得到点A的坐标，再根据一次函数与二元一次方程组的关系得出方程组的解。
步骤一：求出a的值
已知点A(a,3)在一次函数$y = \frac{3}{2}x + 6$的图象上，将点A的纵坐标y = 3代入到一次函数$y = \frac{3}{2}x + 6$中，可得：
$3=\frac{3}{2}a + 6$
移项可得：$\frac{3}{2}a=3 - 6=-3$
两边同时乘以$\frac{2}{3}，$解得a = -2。
步骤二：确定点A的坐标
由步骤一可知a = -2，所以点A的坐标为(-2,3)。
步骤三：根据一次函数与二元一次方程组的关系求出方程组的解
一次函数$y = \frac{3}{2}x + 6$与y = kx的图象交点坐标就是方程组$\begin{cases}y - \frac{3}{2}x = 6 \\ y - kx = 0 \end{cases}$的解。
因为两函数图象交点坐标为(-2,3)，所以方程组$\begin{cases}y - \frac{3}{2}x = 6 \\ y - kx = 0 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x = -2 \\ y = 3 \end{cases}。$
【答案】：D
【解析】：本题可先根据点A(a,3)在一次函数$y = \frac{3}{2}x + 6$的图象上，求出a的值，进而得到点A的坐标，再根据一次函数与二元一次方程组的关系得出方程组的解。
步骤一：求出a的值
已知点A(a,3)在一次函数$y = \frac{3}{2}x + 6$的图象上，将点A的纵坐标y = 3代入到一次函数$y = \frac{3}{2}x + 6$中，可得：
$3=\frac{3}{2}a + 6$
移项可得：$\frac{3}{2}a=3 - 6=-3$
两边同时乘以$\frac{2}{3}，$解得a = -2。
步骤二：确定点A的坐标
由步骤一可知a = -2，所以点A的坐标为(-2,3)。
步骤三：根据一次函数与二元一次方程组的关系求出方程组的解
一次函数$y = \frac{3}{2}x + 6$与y = kx的图象交点坐标就是方程组$\begin{cases}y - \frac{3}{2}x = 6 \\ y - kx = 0 \end{cases}$的解。
因为两函数图象交点坐标为(-2,3)，所以方程组$\begin{cases}y - \frac{3}{2}x = 6 \\ y - kx = 0 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x = -2 \\ y = 3 \end{cases}。$
【答案】：D
6. 在安全知识检测中，八(6)班第一组 $8$ 名同学的成绩从低到高排列如下：$70$，$71$，$72$，$74$，$79$，$81$，$82$，$86$。若把这 $8$ 个数据分成两组，按照“组内离差平方和达到最小”的方法，能使组内离差平方和最小的分组方案是(
A.第一组 $3$ 个数据，第二组 $5$ 个数据
B.第一组 $4$ 个数据，第二组 $4$ 个数据
C.第一组 $5$ 个数据，第二组 $3$ 个数据
D.第一组 $7$ 个数据，第二组 $1$ 个数据
B
)A.第一组 $3$ 个数据，第二组 $5$ 个数据
B.第一组 $4$ 个数据，第二组 $4$ 个数据
C.第一组 $5$ 个数据，第二组 $3$ 个数据
D.第一组 $7$ 个数据，第二组 $1$ 个数据
答案
$B$
解：计算各分组方案的组内离差平方和。
方案$A（3,5） $
第一组$（70,71,72）$：$ $
$\bar{x}_1=\frac{70+71+72}{3}=71 $
离差平方和$S_1=(70-71)^2+(71-71)^2+(72-71)^2=2 $
第二组$（74,79,81,82,86）$：$ $
$\bar{x}_2=\frac{74+79+81+82+86}{5}=80.4 $
离差平方和$S_2=(74-80.4)^2+(79-80.4)^2+(81-80.4)^2+(82-80.4)^2+(86-80.4)^2=85.2 $
总离差平方和$S_A=2+85.2=87.2$
方案$B（4,4） $
第一组$（70,71,72,74）$：$ $
$\bar{x}_1=\frac{70+71+72+74}{4}=71.75 $
离差平方和$S_1=(70-71.75)^2+(71-71.75)^2+(72-71.75)^2+(74-71.75)^2=8.75 $
第二组$（79,81,82,86）$：$ $
$\bar{x}_2=\frac{79+81+82+86}{4}=82 $
离差平方和$S_2=(79-82)^2+(81-82)^2+(82-82)^2+(86-82)^2=26 $
总离差平方和$S_B=8.75+26=34.75$
方案$C（5,3） $
第一组$（70,71,72,74,79）$：$ $
$\bar{x}_1=\frac{70+71+72+74+79}{5}=73.2 $
离差平方和$S_1=(70-73.2)^2+(71-73.2)^2+(72-73.2)^2+(74-73.2)^2+(79-73.2)^2=51.6 $
第二组$（81,82,86）$：$ $
$\bar{x}_2=\frac{81+82+86}{3}=83 $
离差平方和$S_2=(81-83)^2+(82-83)^2+(86-83)^2=14 $
总离差平方和$S_C=51.6+14=65.6$
方案$D（7,1） $
第一组$（70,71,72,74,79,81,82）$：$ $
$\bar{x}_1=\frac{70+71+72+74+79+81+82}{7}\approx75.57 $
离差平方和$S_1\approx(70-75.57)^2+\dots+(82-75.57)^2\approx201.71 $
第二组$（86）$：离差平方和$S_2=0 $
总离差平方和$S_D\approx201.71+0=201.71$
比较得：$S_B=34.75$最小。$ $
答案：$B$
解：计算各分组方案的组内离差平方和。
方案$A（3,5） $
第一组$（70,71,72）$：$ $
$\bar{x}_1=\frac{70+71+72}{3}=71 $
离差平方和$S_1=(70-71)^2+(71-71)^2+(72-71)^2=2 $
第二组$（74,79,81,82,86）$：$ $
$\bar{x}_2=\frac{74+79+81+82+86}{5}=80.4 $
离差平方和$S_2=(74-80.4)^2+(79-80.4)^2+(81-80.4)^2+(82-80.4)^2+(86-80.4)^2=85.2 $
总离差平方和$S_A=2+85.2=87.2$
方案$B（4,4） $
第一组$（70,71,72,74）$：$ $
$\bar{x}_1=\frac{70+71+72+74}{4}=71.75 $
离差平方和$S_1=(70-71.75)^2+(71-71.75)^2+(72-71.75)^2+(74-71.75)^2=8.75 $
第二组$（79,81,82,86）$：$ $
$\bar{x}_2=\frac{79+81+82+86}{4}=82 $
离差平方和$S_2=(79-82)^2+(81-82)^2+(82-82)^2+(86-82)^2=26 $
总离差平方和$S_B=8.75+26=34.75$
方案$C（5,3） $
第一组$（70,71,72,74,79）$：$ $
$\bar{x}_1=\frac{70+71+72+74+79}{5}=73.2 $
离差平方和$S_1=(70-73.2)^2+(71-73.2)^2+(72-73.2)^2+(74-73.2)^2+(79-73.2)^2=51.6 $
第二组$（81,82,86）$：$ $
$\bar{x}_2=\frac{81+82+86}{3}=83 $
离差平方和$S_2=(81-83)^2+(82-83)^2+(86-83)^2=14 $
总离差平方和$S_C=51.6+14=65.6$
方案$D（7,1） $
第一组$（70,71,72,74,79,81,82）$：$ $
$\bar{x}_1=\frac{70+71+72+74+79+81+82}{7}\approx75.57 $
离差平方和$S_1\approx(70-75.57)^2+\dots+(82-75.57)^2\approx201.71 $
第二组$（86）$：离差平方和$S_2=0 $
总离差平方和$S_D\approx201.71+0=201.71$
比较得：$S_B=34.75$最小。$ $
答案：$B$
