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1. 如图，PA切$\odot O$于点A，PO交$\odot O$于点B，若$PA=12$，$OP=13$，则$\odot O$的半径是（
A.4
B.2
C.5
D.10
C
）A.4
B.2
C.5
D.10
答案
1. C
解析
【分析】
首先观察题干条件，PA是⊙O的切线，根据切线的性质可知切线垂直于过切点的半径，因此可得OA⊥PA，即△OAP是直角三角形。已知直角三角形的斜边OP和直角边PA的长度，⊙O的半径就是直角边OA的长度，代入勾股定理计算即可求出半径。
【解析】
解：
∵PA切$\odot O$于点A，
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=r$，
在$Rt△ OAP$中，$PA=12$，$OP=13$，根据勾股定理得：
$OA^2 + PA^2 = OP^2$，
代入数据得$r^2 + 12^2 = 13^2$，
计算得$r^2=169-144=25$，
∵半径为正数，
∴$r=5$，即$\odot O$的半径为5。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用切线的性质构造直角三角形，再结合勾股定理计算未知线段长度，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
首先观察题干条件，PA是⊙O的切线，根据切线的性质可知切线垂直于过切点的半径，因此可得OA⊥PA，即△OAP是直角三角形。已知直角三角形的斜边OP和直角边PA的长度，⊙O的半径就是直角边OA的长度，代入勾股定理计算即可求出半径。
【解析】
解：
∵PA切$\odot O$于点A，
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=r$，
在$Rt△ OAP$中，$PA=12$，$OP=13$，根据勾股定理得：
$OA^2 + PA^2 = OP^2$，
代入数据得$r^2 + 12^2 = 13^2$，
计算得$r^2=169-144=25$，
∵半径为正数，
∴$r=5$，即$\odot O$的半径为5。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用切线的性质构造直角三角形，再结合勾股定理计算未知线段长度，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AB是$\odot O$的弦，PB与$\odot O$相切于点B，圆心O在线段PA上。已知$∠ P=50°$，则$∠ PAB$的度数为
20°
。答案
2. 20°
解析
【分析】
遇到切线相关的角度计算问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此我们可以连接辅助线OB，构造直角三角形PBO。先在直角三角形中求出∠POB的度数，再结合OB=OA（同圆半径相等）得到等腰△OAB，利用三角形外角的性质即可求出∠PAB的度数。
【解析】
连接OB，
∵ PB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴ $OB⊥ PB$，即$∠ PBO=90°$，
在$Rt△ PBO$中，$∠ P=50°$，
∴ $∠ POB=90°-∠ P=90°-50°=40°$，
∵ OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ PAB=∠ OBA$，
又
∵ $∠ POB$是$△ AOB$的外角，
∴ $∠ POB=∠ PAB+∠ OBA=2∠ PAB$，
∴ $∠ PAB=\frac{1}{2}∠ POB=\frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，通过连接切点与圆心构造直角三角形，再结合等腰三角形、外角的性质即可求解，这类题型是圆章节的常见基础考点。
【难度系数】
0.7
遇到切线相关的角度计算问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此我们可以连接辅助线OB，构造直角三角形PBO。先在直角三角形中求出∠POB的度数，再结合OB=OA（同圆半径相等）得到等腰△OAB，利用三角形外角的性质即可求出∠PAB的度数。
【解析】
连接OB，
∵ PB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴ $OB⊥ PB$，即$∠ PBO=90°$，
在$Rt△ PBO$中，$∠ P=50°$，
∴ $∠ POB=90°-∠ P=90°-50°=40°$，
∵ OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ PAB=∠ OBA$，
又
∵ $∠ POB$是$△ AOB$的外角，
∴ $∠ POB=∠ PAB+∠ OBA=2∠ PAB$，
∴ $∠ PAB=\frac{1}{2}∠ POB=\frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，通过连接切点与圆心构造直角三角形，再结合等腰三角形、外角的性质即可求解，这类题型是圆章节的常见基础考点。
【难度系数】
0.7
任务二 探究切线的判定定理及画法
思考下列探究问题，并补全后面的填空.
探究1：如图，在$\odot O$中，经过半径OA的外端点A作直线$l⊥ OA$，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l与$\odot O$有什么位置关系？
解：圆心O到直线l的距离是
探究2：已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点作出圆的切线？
解：如图，已知$\odot O$上一点A，要过点A作$\odot O$的切线，可以先连接
新知生成：（切线的判定定理）经过半径的
思考下列探究问题，并补全后面的填空.
探究1：如图，在$\odot O$中，经过半径OA的外端点A作直线$l⊥ OA$，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l与$\odot O$有什么位置关系？
解：圆心O到直线l的距离是
OA
，与$\odot O$的半径的大小关系是相等
，所以直线l与$\odot O$的位置关系是相切
，则直线l就是$\odot O$的切线.探究2：已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点作出圆的切线？
解：如图，已知$\odot O$上一点A，要过点A作$\odot O$的切线，可以先连接
OA
，过点A作它的垂线AB，此时圆心O到直线AB的距离等于
（填“大于”“小于”或“等于”）半径，故直线AB是$\odot O$的切线.新知生成：（切线的判定定理）经过半径的
外端
并且垂直
于这条半径的直线是圆的切线.答案
探究1 OA 相等 相切
探究2 OA 等于
新知生成 外端 垂直
探究2 OA 等于
新知生成 外端 垂直
解析
【分析】
首先回忆相关基础知识点：1.点到直线的距离是指该点到直线所作垂线段的长度；2.直线与圆的位置关系可通过圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判定：当d=r时，直线与圆相切。解决探究1时，结合已知$l⊥ OA$的条件，可直接得到O到l的距离为OA，长度等于半径，进而推出直线与圆相切。解决探究2时，结合探究1得到的切线特征，过圆上点作切线需要先连接该点和圆心得到半径，再作半径的垂线，此时圆心到直线的距离等于半径，符合切线的要求。最后总结两个探究的共同条件，就能得到切线的判定定理内容。
【解析】
探究1解答：
已知直线$l⊥ OA$，垂足为A，根据点到直线的距离定义，圆心O到直线l的垂线段为OA，因此圆心O到直线l的距离是OA；
OA是$\odot O$的半径，因此圆心到直线l的距离与$\odot O$的半径大小关系是相等；
根据直线与圆的位置关系判定规则，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，因此直线l与$\odot O$的位置关系是相切。
探究2解答：
过圆上一点作圆的切线，结合切线的特征，首先要连接该点与圆心得到半径，因此先连接OA；
过点A作OA的垂线AB，此时圆心O到直线AB的垂线段为OA，长度等于$\odot O$的半径，因此填等于。
新知生成：
结合两个探究的结论，切线需要满足两个条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径，因此依次填外端、垂直。
【答案】
探究1：$\boldsymbol{OA}$；$\boldsymbol{相等}$；$\boldsymbol{相切}$
探究2：$\boldsymbol{OA}$；$\boldsymbol{等于}$
新知生成：$\boldsymbol{外端}$；$\boldsymbol{垂直}$
【知识点】
点到直线的距离；直线与圆的位置关系；切线的判定定理
【点评】
本题通过逐步探究的方式引导学生推导切线的判定定理，既巩固了直线与圆位置关系的判定方法，也帮助学生掌握过圆上一点作切线的操作步骤，是圆的切线相关知识的基础巩固类习题，注重对基础概念的理解。
【难度系数】
0.8
首先回忆相关基础知识点：1.点到直线的距离是指该点到直线所作垂线段的长度；2.直线与圆的位置关系可通过圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判定：当d=r时，直线与圆相切。解决探究1时，结合已知$l⊥ OA$的条件，可直接得到O到l的距离为OA，长度等于半径，进而推出直线与圆相切。解决探究2时，结合探究1得到的切线特征，过圆上点作切线需要先连接该点和圆心得到半径，再作半径的垂线，此时圆心到直线的距离等于半径，符合切线的要求。最后总结两个探究的共同条件，就能得到切线的判定定理内容。
【解析】
探究1解答：
已知直线$l⊥ OA$，垂足为A，根据点到直线的距离定义，圆心O到直线l的垂线段为OA，因此圆心O到直线l的距离是OA；
OA是$\odot O$的半径，因此圆心到直线l的距离与$\odot O$的半径大小关系是相等；
根据直线与圆的位置关系判定规则，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，因此直线l与$\odot O$的位置关系是相切。
探究2解答：
过圆上一点作圆的切线，结合切线的特征，首先要连接该点与圆心得到半径，因此先连接OA；
过点A作OA的垂线AB，此时圆心O到直线AB的垂线段为OA，长度等于$\odot O$的半径，因此填等于。
新知生成：
结合两个探究的结论，切线需要满足两个条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径，因此依次填外端、垂直。
【答案】
探究1：$\boldsymbol{OA}$；$\boldsymbol{相等}$；$\boldsymbol{相切}$
探究2：$\boldsymbol{OA}$；$\boldsymbol{等于}$
新知生成：$\boldsymbol{外端}$；$\boldsymbol{垂直}$
【知识点】
点到直线的距离；直线与圆的位置关系；切线的判定定理
【点评】
本题通过逐步探究的方式引导学生推导切线的判定定理，既巩固了直线与圆位置关系的判定方法，也帮助学生掌握过圆上一点作切线的操作步骤，是圆的切线相关知识的基础巩固类习题，注重对基础概念的理解。
【难度系数】
0.8
即时测评
下图中各直线$l$是不是$\odot O$的切线？如果不是，请说明为什么？
下图中各直线$l$是不是$\odot O$的切线？如果不是，请说明为什么？
答案
解：图1不是，因为OA不垂直于直线l；图2和图3不是，因为直线l没有经过半径的外端.
解析
【分析】
解题前先明确切线的判定需同时满足两个条件：①直线经过半径的外端点；②直线与这条半径互相垂直，两个条件缺一不可。解题时逐个对照三个图的情况，判断是否同时满足上述两个条件即可得出结论。
【解析】
根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，对三幅图逐一判断：
1. 图1：直线$l$经过半径$OA$的外端$A$，但$OA$与直线$l$不垂直，不满足切线判定的第二个条件，因此不是$\odot O$的切线；
2. 图2：$OA⊥ l$，但直线$l$没有经过半径$OA$的外端$A$，不满足切线判定的第一个条件，因此不是$\odot O$的切线；
3. 图3：$OA⊥ l$，但直线$l$没有经过半径$OA$的外端$A$，不满足切线判定的第一个条件，因此不是$\odot O$的切线。
【答案】
图1不是，因为OA不垂直于直线l；图2和图3不是，因为直线l没有经过半径的外端。
【知识点】
切线的判定
【点评】
本题是对切线判定定理的基础考查，需注意切线判定的两个条件必须同时成立，忽略任意一个条件都会出现判断错误。
【难度系数】
0.8
解题前先明确切线的判定需同时满足两个条件：①直线经过半径的外端点；②直线与这条半径互相垂直，两个条件缺一不可。解题时逐个对照三个图的情况，判断是否同时满足上述两个条件即可得出结论。
【解析】
根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，对三幅图逐一判断：
1. 图1：直线$l$经过半径$OA$的外端$A$，但$OA$与直线$l$不垂直，不满足切线判定的第二个条件，因此不是$\odot O$的切线；
2. 图2：$OA⊥ l$，但直线$l$没有经过半径$OA$的外端$A$，不满足切线判定的第一个条件，因此不是$\odot O$的切线；
3. 图3：$OA⊥ l$，但直线$l$没有经过半径$OA$的外端$A$，不满足切线判定的第一个条件，因此不是$\odot O$的切线。
【答案】
图1不是，因为OA不垂直于直线l；图2和图3不是，因为直线l没有经过半径的外端。
【知识点】
切线的判定
【点评】
本题是对切线判定定理的基础考查，需注意切线判定的两个条件必须同时成立，忽略任意一个条件都会出现判断错误。
【难度系数】
0.8
例 如图，已知直线AB经过$\odot O$上的点C，并且$OA=OB$，$CA=CB$. 求证：直线AB是$\odot O$的切线.
答案
证明：连接OC(图略).
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC是等腰三角形OAB的底边AB上的中线.
∴AB⊥OC.
∵OC是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线.
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC是等腰三角形OAB的底边AB上的中线.
∴AB⊥OC.
∵OC是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线.
解析
【分析】
要证明直线AB是$\odot O$的切线，需结合切线判定定理思考：已知AB经过$\odot O$上的点C，说明AB与圆有公共点C，此时只需证明AB垂直于过点C的半径OC即可。已知$OA=OB$，可得$△ OAB$是等腰三角形，又$CA=CB$说明C是AB中点，结合等腰三角形三线合一的性质，就能推出$OC⊥ AB$，满足切线的判定条件。
【解析】
证明：连接OC.
$\because OA=OB$，$CA=CB$，
$\therefore OC$是等腰三角形OAB的底边AB上的中线，
$\therefore AB⊥ OC$.
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore$直线AB是$\odot O$的切线.
【答案】
证明：连接OC.
$\because OA=OB$，$CA=CB$，
$\therefore OC$是等腰三角形OAB的底边AB上的中线，
$\therefore AB⊥ OC$.
$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于切线判定的基础题型，核心考查切线判定的常用辅助线作法：当已知直线与圆有公共点时，连接公共点与圆心，再证明直线与该半径垂直，结合等腰三角形三线合一的性质即可解题，思路清晰直观。
【难度系数】
0.85
要证明直线AB是$\odot O$的切线，需结合切线判定定理思考：已知AB经过$\odot O$上的点C，说明AB与圆有公共点C，此时只需证明AB垂直于过点C的半径OC即可。已知$OA=OB$，可得$△ OAB$是等腰三角形，又$CA=CB$说明C是AB中点，结合等腰三角形三线合一的性质，就能推出$OC⊥ AB$，满足切线的判定条件。
【解析】
证明：连接OC.
$\because OA=OB$，$CA=CB$，
$\therefore OC$是等腰三角形OAB的底边AB上的中线，
$\therefore AB⊥ OC$.
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore$直线AB是$\odot O$的切线.
【答案】
证明：连接OC.
$\because OA=OB$，$CA=CB$，
$\therefore OC$是等腰三角形OAB的底边AB上的中线，
$\therefore AB⊥ OC$.
$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于切线判定的基础题型，核心考查切线判定的常用辅助线作法：当已知直线与圆有公共点时，连接公共点与圆心，再证明直线与该半径垂直，结合等腰三角形三线合一的性质即可解题，思路清晰直观。
【难度系数】
0.85
