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知识点 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，用配方法将其变形为
一般地，式子
重点提示
(1)一元二次方程根的判别式主要有以下两点应用：
①不解方程判断方程根的情况；②根据方程根的情况求字母系数的取值范围。
(2)根的判别式可以逆用：在一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中：
当方程有两个不相等的实数根时，$b^2-4ac＞0$；
当方程有两个相等的实数根时，$b^2-4ac=0$；
当方程没有实数根时，$b^2-4ac＜0$。
(3)当$\Delta =b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根，不能说成只有一个实数根。
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，用配方法将其变形为
$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
，可以看出，只有当$b^2-4ac≥0$时，方程才有实数根，这样$b^2-4ac$的值就决定着一元二次方程的根的情况。一般地，式子
$b^2-4ac$
叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=$b^2-4ac$
。重点提示
(1)一元二次方程根的判别式主要有以下两点应用：
①不解方程判断方程根的情况；②根据方程根的情况求字母系数的取值范围。
(2)根的判别式可以逆用：在一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中：
当方程有两个不相等的实数根时，$b^2-4ac＞0$；
当方程有两个相等的实数根时，$b^2-4ac=0$；
当方程没有实数根时，$b^2-4ac＜0$。
(3)当$\Delta =b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根，不能说成只有一个实数根。
答案
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，用配方法将其变形为$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$，可以看出，只有当$b^2-4ac≥0$时，方程才有实数根，这样$b^2-4ac$的值就决定着一元二次方程的根的情况。一般地，式子$b^2-4ac$叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=$b^2-4ac$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的推导过程与基本定义，解题思路如下：1. 按照配方法解一元二次方程的常规步骤：先将二次项系数化为1，再移项，之后给方程两边加一次项系数一半的平方，将左侧凑为完全平方式，右侧合并化简，即可得到配方法变形后的结果；2. 结合教材中根的判别式的定义，直接填写判别式的表达式与Δ的表达式即可，另外可根据方程根的情况对应填写表格中Δ与0的大小关系。
【解析】
1. 推导配方法变形结果：
已知$a≠0$，对$ax^2+bx+c=0$两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$；
移项将常数项移到等号右侧，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
给方程两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$；
左侧由完全平方公式整理为$(x+\frac{b}{2a})^2$，右侧通分合并得$\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，因此配方法变形结果为$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$。
2. 根的判别式定义：
根据定义，式子$b^2-4ac$叫做一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式，用希腊字母$\Delta$表示，即$\Delta=b^2-4ac$。
另外表格中对应关系为：方程有两个不相等的实数根时$\Delta＞0$，有两个相等的实数根时$\Delta=0$，无实数根时$\Delta＜0$。
【答案】
$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$；$b^2-4ac$；$b^2-4ac$
（表格空白处依次填：$＞$、$=$、$＜$）
【知识点】
配方法；根的判别式；完全平方公式
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查配方法的操作步骤和根的判别式的定义，熟练掌握本部分内容是后续利用判别式判断方程根的情况、求解参数取值范围等问题的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的推导过程与基本定义，解题思路如下：1. 按照配方法解一元二次方程的常规步骤：先将二次项系数化为1，再移项，之后给方程两边加一次项系数一半的平方，将左侧凑为完全平方式，右侧合并化简，即可得到配方法变形后的结果；2. 结合教材中根的判别式的定义，直接填写判别式的表达式与Δ的表达式即可，另外可根据方程根的情况对应填写表格中Δ与0的大小关系。
【解析】
1. 推导配方法变形结果：
已知$a≠0$，对$ax^2+bx+c=0$两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$；
移项将常数项移到等号右侧，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
给方程两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$；
左侧由完全平方公式整理为$(x+\frac{b}{2a})^2$，右侧通分合并得$\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，因此配方法变形结果为$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$。
2. 根的判别式定义：
根据定义，式子$b^2-4ac$叫做一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式，用希腊字母$\Delta$表示，即$\Delta=b^2-4ac$。
另外表格中对应关系为：方程有两个不相等的实数根时$\Delta＞0$，有两个相等的实数根时$\Delta=0$，无实数根时$\Delta＜0$。
【答案】
$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$；$b^2-4ac$；$b^2-4ac$
（表格空白处依次填：$＞$、$=$、$＜$）
【知识点】
配方法；根的判别式；完全平方公式
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查配方法的操作步骤和根的判别式的定义，熟练掌握本部分内容是后续利用判别式判断方程根的情况、求解参数取值范围等问题的基础。
【难度系数】
0.8
例 不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：
(1) $3x^2 - 2x -1 =0$；
(2) $2x^2 -x +1=0$；
(3) $4x -x^2 =x^2 +2$。
解：(1) ∵ $a=3,b=-2,c=-1$，
∴ $\Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4×3×(-1)=16＞0$。
∴ 方程有两个不相等的实数根。
(2) ∵ $a=2,b=-1,c=1$，
∴ $\Delta =b^2 -4ac=(-1)^2 -4×2×1=-7＜0$。
∴ 方程没有实数根。
(3) 方程可整理为 $x^2 -2x +1=0$，
∵ $a=1,b=-2,c=1$，
∴ $\Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4×1×1=0$。
∴ 方程有两个相等的实数根。
(1) $3x^2 - 2x -1 =0$；
(2) $2x^2 -x +1=0$；
(3) $4x -x^2 =x^2 +2$。
解：(1) ∵ $a=3,b=-2,c=-1$，
∴ $\Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4×3×(-1)=16＞0$。
∴ 方程有两个不相等的实数根。
(2) ∵ $a=2,b=-1,c=1$，
∴ $\Delta =b^2 -4ac=(-1)^2 -4×2×1=-7＜0$。
∴ 方程没有实数根。
(3) 方程可整理为 $x^2 -2x +1=0$，
∵ $a=1,b=-2,c=1$，
∴ $\Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4×1×1=0$。
∴ 方程有两个相等的实数根。
答案
解：
(1) ∵ $a=3,b=-2,c=-1$，
∴ $\Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4×3×(-1)=16＞0$，
∴ 方程有两个不相等的实数根。
(2) ∵ $a=2,b=-1,c=1$，
∴ $\Delta =b^2 -4ac=(-1)^2 -4×2×1=-7＜0$，
∴ 方程没有实数根。
(3) 将原方程整理为一般形式：
移项、合并同类项得 $2x^2 -4x +2=0$，化简得 $x^2 -2x +1=0$，
∵ $a=1,b=-2,c=1$，
∴ $\Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4×1×1=0$，
∴ 方程有两个相等的实数根。
(1) ∵ $a=3,b=-2,c=-1$，
∴ $\Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4×3×(-1)=16＞0$，
∴ 方程有两个不相等的实数根。
(2) ∵ $a=2,b=-1,c=1$，
∴ $\Delta =b^2 -4ac=(-1)^2 -4×2×1=-7＜0$，
∴ 方程没有实数根。
(3) 将原方程整理为一般形式：
移项、合并同类项得 $2x^2 -4x +2=0$，化简得 $x^2 -2x +1=0$，
∵ $a=1,b=-2,c=1$，
∴ $\Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4×1×1=0$，
∴ 方程有两个相等的实数根。
解析
【分析】
不解方程判断一元二次方程根的情况，核心是使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，解题按三步展开：第一步，若方程不是$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，先通过移项、合并同类项整理为一般形式；第二步，准确提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要保留系数的符号；第三步，代入计算$\Delta$的值，根据$\Delta$的符号判定根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。本题前两小题已为一般形式，可直接提取系数计算，第三小题需先整理为一般形式再计算。
【解析】
(1) $\because a=3,b=-2,c=-1$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4×3×(-1)=16＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
(2) $\because a=2,b=-1,c=1$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-1)^2 -4×2×1=-7＜0$，
$\therefore$ 方程没有实数根。
(3) 将原方程整理为一般形式：
移项、合并同类项得 $2x^2 -4x +2=0$，化简得 $x^2 -2x +1=0$，
$\because a=1,b=-2,c=1$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4×1×1=0$，
$\therefore$ 方程有两个相等的实数根。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；
(2) 方程没有实数根；
(3) 方程有两个相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程一般式；根的情况判定
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，重点考查判别式的使用方法，解题时需注意先将方程化为一般形式，提取系数时留意符号，避免因符号错误导致判别式计算失误。
【难度系数】
0.85
不解方程判断一元二次方程根的情况，核心是使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，解题按三步展开：第一步，若方程不是$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，先通过移项、合并同类项整理为一般形式；第二步，准确提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要保留系数的符号；第三步，代入计算$\Delta$的值，根据$\Delta$的符号判定根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。本题前两小题已为一般形式，可直接提取系数计算，第三小题需先整理为一般形式再计算。
【解析】
(1) $\because a=3,b=-2,c=-1$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4×3×(-1)=16＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
(2) $\because a=2,b=-1,c=1$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-1)^2 -4×2×1=-7＜0$，
$\therefore$ 方程没有实数根。
(3) 将原方程整理为一般形式：
移项、合并同类项得 $2x^2 -4x +2=0$，化简得 $x^2 -2x +1=0$，
$\because a=1,b=-2,c=1$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4×1×1=0$，
$\therefore$ 方程有两个相等的实数根。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；
(2) 方程没有实数根；
(3) 方程有两个相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程一般式；根的情况判定
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，重点考查判别式的使用方法，解题时需注意先将方程化为一般形式，提取系数时留意符号，避免因符号错误导致判别式计算失误。
【难度系数】
0.85
