登录
1.已知等腰三角形的底边长为$x$，底边上的高为$y$，面积为20，那么$y$与$x$的函数关系式为（
A.$y=\frac{40}{x}(x＞0)$
B.$y=\frac{20}{x}(x＞0)$
C.$y=\frac{x}{10}(x＞0)$
D.$y=\frac{x}{20}(x＞0)$
A
）A.$y=\frac{40}{x}(x＞0)$
B.$y=\frac{20}{x}(x＞0)$
C.$y=\frac{x}{10}(x＞0)$
D.$y=\frac{x}{20}(x＞0)$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形的面积计算公式，等腰三角形的面积计算和普通三角形一致，都是底×高÷2。题目已经给出面积为20，底边长为x，底边上的高为y，我们只需要将已知量代入面积公式，通过变形整理得到y关于x的表达式，再结合底边长为正数的实际意义确定x的取值范围，就能匹配到正确选项。
【解析】
根据三角形面积公式可得：
$S = \frac{1}{2} × 底 × 高$
已知面积$S=20$，底为$x$，底边上的高为$y$，代入得：
$20 = \frac{1}{2}xy$
等式两边同时乘2得：$xy=40$
变形得$y = \frac{40}{x}$
又因为底边长$x$为线段长度，所以$x＞0$
因此$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{40}{x}(x＞0)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算；反比例函数解析式；自变量取值范围
【点评】
本题是结合几何图形的反比例函数基础题，解题的关键是熟记面积公式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略定义域导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形的面积计算公式，等腰三角形的面积计算和普通三角形一致，都是底×高÷2。题目已经给出面积为20，底边长为x，底边上的高为y，我们只需要将已知量代入面积公式，通过变形整理得到y关于x的表达式，再结合底边长为正数的实际意义确定x的取值范围，就能匹配到正确选项。
【解析】
根据三角形面积公式可得：
$S = \frac{1}{2} × 底 × 高$
已知面积$S=20$，底为$x$，底边上的高为$y$，代入得：
$20 = \frac{1}{2}xy$
等式两边同时乘2得：$xy=40$
变形得$y = \frac{40}{x}$
又因为底边长$x$为线段长度，所以$x＞0$
因此$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{40}{x}(x＞0)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算；反比例函数解析式；自变量取值范围
【点评】
本题是结合几何图形的反比例函数基础题，解题的关键是熟记面积公式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略定义域导致出错。
【难度系数】
0.8
2.某杠杆装置如图所示,杆的一端吊起一桶水,阻力臂保持不变,在使杠杆平衡的情况下,小明通过改变动力臂L(单位:m),测量出相应的动力F(单位:N),数据如下表(动力×动力臂=阻力×阻力臂):
| 动力臂L/m | … | 0.5 | 1.0 |
| 1.5 | 2.0 | 2.5 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 动力F/N | … | 300 | 150 | | 100 | a | 60 | … |
请根据表中数据规律探求,当动力臂L长度为2.0 m时,所需动力是 (
A.150 N
B.90 N
C.75 N
D.60 N
| 动力臂L/m | … | 0.5 | 1.0 |
| 1.5 | 2.0 | 2.5 | … || --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 动力F/N | … | 300 | 150 | | 100 | a | 60 | … |
请根据表中数据规律探求,当动力臂L长度为2.0 m时,所需动力是 (
C
)A.150 N
B.90 N
C.75 N
D.60 N
答案
2.C
解析
【分析】
根据杠杆平衡原理“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，题目中阻力和阻力臂均保持不变，因此动力F和动力臂L的乘积为定值，二者成反比例函数关系。解题时先利用表格中已知的L、F对应值求出反比例函数的比例系数，得到函数解析式，再将L=2.0m代入解析式即可求出对应的动力值。
【解析】
设动力F与动力臂L的函数关系式为$F=\frac{k}{L}$（k为常数，$k≠0$，k等于阻力与阻力臂的乘积，是定值）。
选取表格中已知对应值：当$L=0.5\mathrm{m}$时，$F=300\mathrm{N}$，代入关系式得：
$k=F× L=300×0.5=150$
因此F与L的函数解析式为$F=\frac{150}{L}$。
当$L=2.0\mathrm{m}$时，代入解析式得：
$F=\frac{150}{2.0}=75\mathrm{N}$
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的实际应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合杠杆平衡场景考查反比例函数的应用，解题核心是先明确变量的反比例关系，求出定值k后代入求解，贴近生活实际，注重学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.8
根据杠杆平衡原理“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，题目中阻力和阻力臂均保持不变，因此动力F和动力臂L的乘积为定值，二者成反比例函数关系。解题时先利用表格中已知的L、F对应值求出反比例函数的比例系数，得到函数解析式，再将L=2.0m代入解析式即可求出对应的动力值。
【解析】
设动力F与动力臂L的函数关系式为$F=\frac{k}{L}$（k为常数，$k≠0$，k等于阻力与阻力臂的乘积，是定值）。
选取表格中已知对应值：当$L=0.5\mathrm{m}$时，$F=300\mathrm{N}$，代入关系式得：
$k=F× L=300×0.5=150$
因此F与L的函数解析式为$F=\frac{150}{L}$。
当$L=2.0\mathrm{m}$时，代入解析式得：
$F=\frac{150}{2.0}=75\mathrm{N}$
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的实际应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合杠杆平衡场景考查反比例函数的应用，解题核心是先明确变量的反比例关系，求出定值k后代入求解，贴近生活实际，注重学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.8
3.某奶粉生产厂要制造一种容积为2 L(1 L=1 dm³)的圆柱形桶,则桶的底面积S(单位: dm²)与桶高h(单位: dm)的函数关系式为
$S=\frac{2}{h}$
.答案
3.$S=\frac{2}{h}$
解析
【分析】
解题时首先回忆圆柱的体积计算公式：圆柱体积=底面积×高。本题中圆柱形桶的容积就是桶的体积，已知容积为2dm³，将已知体积代入体积公式，再对等式进行变形即可得到底面积S关于桶高h的函数关系式，注意桶高h为实际长度，取值需大于0。
【解析】
解：根据圆柱的体积公式可得：$V = S · h$，
已知桶的容积即体积$V=2\ \mathrm{dm}^3$，代入得：
$2 = S · h$，
将等式两边同时除以h（h＞0），变形可得：
$S = \frac{2}{h}$。
【答案】
$S=\frac{2}{h}$
【知识点】
圆柱体积计算；反比例函数解析式
【点评】
本题属于基础应用题，考查反比例函数在实际问题中的应用，解题核心是利用圆柱体积公式建立等量关系，变形得到所求函数表达式，做题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆圆柱的体积计算公式：圆柱体积=底面积×高。本题中圆柱形桶的容积就是桶的体积，已知容积为2dm³，将已知体积代入体积公式，再对等式进行变形即可得到底面积S关于桶高h的函数关系式，注意桶高h为实际长度，取值需大于0。
【解析】
解：根据圆柱的体积公式可得：$V = S · h$，
已知桶的容积即体积$V=2\ \mathrm{dm}^3$，代入得：
$2 = S · h$，
将等式两边同时除以h（h＞0），变形可得：
$S = \frac{2}{h}$。
【答案】
$S=\frac{2}{h}$
【知识点】
圆柱体积计算；反比例函数解析式
【点评】
本题属于基础应用题，考查反比例函数在实际问题中的应用，解题核心是利用圆柱体积公式建立等量关系，变形得到所求函数表达式，做题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.9
4.某筑路工程队要修建一条总长为1 200 m的村村通公路.
(1)工程队的平均修建速度v(单位:m/天)与修建的天数t(单位:天)之间具有怎样的函数关系？
(2)工程队每天修40 m比每天修30 m能提前多少天完成该项工程？
(1)工程队的平均修建速度v(单位:m/天)与修建的天数t(单位:天)之间具有怎样的函数关系？
(2)工程队每天修40 m比每天修30 m能提前多少天完成该项工程？
答案
4.解:(1)$v=\frac{1200}{t}$.
(2)工程队每天修40 m比每天修30 m能提前10天完成该项工程.
(2)工程队每天修40 m比每天修30 m能提前10天完成该项工程.
解析
【分析】
解题思路如下：（1）首先回忆工程问题的基本等量关系：工作总量=工作效率×工作时间，本题中公路总长1200m是固定不变的工作总量，因此工作效率v和工作时间t的乘积为定值，符合反比例函数的定义，对等量关系变形即可得到v与t的函数关系。（2）要求提前的天数，只需要分别计算出每天修40m和每天修30m对应的总工期，再将两个工期作差即可得到结果。
【解析】
（1）根据工程问题等量关系：$\mathrm{工作总量}=\mathrm{工作效率}×\mathrm{工作时间}$，已知工作总量为1200m，因此有$v· t=1200$，整理可得v关于t的函数表达式为：$v=\frac{1200}{t}$（$t＞0$），二者为反比例函数关系。
（2）①当每天修30m时，即$v_1=30\ \mathrm{m/天}$，代入函数得对应的工期：$t_1=\frac{1200}{v_1}=\frac{1200}{30}=40$（天）
②当每天修40m时，即$v_2=40\ \mathrm{m/天}$，代入函数得对应的工期：$t_2=\frac{1200}{v_2}=\frac{1200}{40}=30$（天）
③提前的天数为：$t_1-t_2=40-30=10$（天）
【答案】
(1)$v=\frac{1200}{t}$；(2)工程队每天修40 m比每天修30 m能提前10天完成该项工程。
【知识点】
反比例函数应用，工程问题计算，代入求值
【点评】
本题结合工程实际场景考查函数的基础应用，解题核心是抓住工作总量不变的隐含条件，题型基础，能够有效巩固学生对反比例函数实际意义的理解，以及运用函数解决简单实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：（1）首先回忆工程问题的基本等量关系：工作总量=工作效率×工作时间，本题中公路总长1200m是固定不变的工作总量，因此工作效率v和工作时间t的乘积为定值，符合反比例函数的定义，对等量关系变形即可得到v与t的函数关系。（2）要求提前的天数，只需要分别计算出每天修40m和每天修30m对应的总工期，再将两个工期作差即可得到结果。
【解析】
（1）根据工程问题等量关系：$\mathrm{工作总量}=\mathrm{工作效率}×\mathrm{工作时间}$，已知工作总量为1200m，因此有$v· t=1200$，整理可得v关于t的函数表达式为：$v=\frac{1200}{t}$（$t＞0$），二者为反比例函数关系。
（2）①当每天修30m时，即$v_1=30\ \mathrm{m/天}$，代入函数得对应的工期：$t_1=\frac{1200}{v_1}=\frac{1200}{30}=40$（天）
②当每天修40m时，即$v_2=40\ \mathrm{m/天}$，代入函数得对应的工期：$t_2=\frac{1200}{v_2}=\frac{1200}{40}=30$（天）
③提前的天数为：$t_1-t_2=40-30=10$（天）
【答案】
(1)$v=\frac{1200}{t}$；(2)工程队每天修40 m比每天修30 m能提前10天完成该项工程。
【知识点】
反比例函数应用，工程问题计算，代入求值
【点评】
本题结合工程实际场景考查函数的基础应用，解题核心是抓住工作总量不变的隐含条件，题型基础，能够有效巩固学生对反比例函数实际意义的理解，以及运用函数解决简单实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
5.商场出售一批进价为2元/张的贺卡,在市场营销中发现此商品日销售单价x(单位:元)与日销售量y(单位:张)之间有如下关系.
(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x,y)的对应点.
(2)猜想并确定y关于x的函数解析式,并画出函数图象.
(3)设经营此贺卡的日销售利润为W(单位:元),试求出W关于x的函数解析式.若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元,请你求出当日销售单价x定为多少元时,才能获得最大日销售利润.
(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x,y)的对应点.
(2)猜想并确定y关于x的函数解析式,并画出函数图象.
(3)设经营此贺卡的日销售利润为W(单位:元),试求出W关于x的函数解析式.若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元,请你求出当日销售单价x定为多少元时,才能获得最大日销售利润.
答案
5.解:(1)对应点如图所示.
(2)猜想y关于x的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$.
y关于x的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$,其图象是双曲线在第一象限内的一支,如图所示.
(3)$W=60-\frac{120}{x}$.当日销售单价定为10元时,才能获得最大日销售利润.
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据x和y的对应值，在坐标系中找到对应横、纵坐标的交点完成描点即可，题目已给出描点后的示意图。
2. 第(2)问：先计算每组x与y的乘积，发现乘积为定值，符合反比例函数的特征，因此设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入任意一组x、y的值求出k，即可得到函数解析式，图象为第一象限内的反比例函数曲线。
3. 第(3)问：根据“销售利润=（单张售价-单张进价）×销售量”的公式，将已知进价、第(2)问求出的y代入，即可得到W关于x的函数解析式；再根据反比例函数的增减性，结合x的取值上限，即可求出最大利润对应的x值。
【解析】
(1) 根据数据描出(3,20)、(4,15)、(5,12)、(6,10)四个点，对应点如图所示。
(2) 计算各组数据的乘积可得：$3×20=60$，$4×15=60$，$5×12=60$，$6×10=60$，即x与y的乘积为定值，因此猜想y是x的反比例函数，设解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将(3,20)代入解析式得$20=\frac{k}{3}$，解得$k=60$，因此y关于x的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$，其图象是双曲线在第一象限内的一支，如图所示。
(3) 单张贺卡的利润为$(x-2)$元，结合销售量$y=\frac{60}{x}$，可得日销售利润：
$W=(x-2)y=(x-2)·\frac{60}{x}=60-\frac{120}{x}$
当$x＞0$时，x越大，$\frac{120}{x}$越小，因此W随x的增大而增大。已知销售单价最高不能超过10元，因此当$x=10$时，W取得最大值。
【答案】
(1)对应点如图所示。
(2)y关于x的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$,其图象是双曲线在第一象限内的一支,如图所示。
(3)$W=60-\frac{120}{x}$。当日销售单价定为10元时,才能获得最大日销售利润。
【知识点】
反比例函数解析式确定，销售利润计算，反比例函数的增减性
【点评】
本题结合生活中的销售场景考查函数的实际应用，需要先根据数据特征判断函数类型，再结合利润公式和函数的增减性求解最值，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：根据x和y的对应值，在坐标系中找到对应横、纵坐标的交点完成描点即可，题目已给出描点后的示意图。
2. 第(2)问：先计算每组x与y的乘积，发现乘积为定值，符合反比例函数的特征，因此设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入任意一组x、y的值求出k，即可得到函数解析式，图象为第一象限内的反比例函数曲线。
3. 第(3)问：根据“销售利润=（单张售价-单张进价）×销售量”的公式，将已知进价、第(2)问求出的y代入，即可得到W关于x的函数解析式；再根据反比例函数的增减性，结合x的取值上限，即可求出最大利润对应的x值。
【解析】
(1) 根据数据描出(3,20)、(4,15)、(5,12)、(6,10)四个点，对应点如图所示。
(2) 计算各组数据的乘积可得：$3×20=60$，$4×15=60$，$5×12=60$，$6×10=60$，即x与y的乘积为定值，因此猜想y是x的反比例函数，设解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将(3,20)代入解析式得$20=\frac{k}{3}$，解得$k=60$，因此y关于x的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$，其图象是双曲线在第一象限内的一支，如图所示。
(3) 单张贺卡的利润为$(x-2)$元，结合销售量$y=\frac{60}{x}$，可得日销售利润：
$W=(x-2)y=(x-2)·\frac{60}{x}=60-\frac{120}{x}$
当$x＞0$时，x越大，$\frac{120}{x}$越小，因此W随x的增大而增大。已知销售单价最高不能超过10元，因此当$x=10$时，W取得最大值。
【答案】
(1)对应点如图所示。
(2)y关于x的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$,其图象是双曲线在第一象限内的一支,如图所示。
(3)$W=60-\frac{120}{x}$。当日销售单价定为10元时,才能获得最大日销售利润。
【知识点】
反比例函数解析式确定，销售利润计算，反比例函数的增减性
【点评】
本题结合生活中的销售场景考查函数的实际应用，需要先根据数据特征判断函数类型，再结合利润公式和函数的增减性求解最值，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
