学习任务 三角形的内切圆及内心
从具体到抽象
|情境探究|

问题1:如图①所示，$\odot O$与$△ ABC$三边具有什么位置关系？
问题2:如图②，若分别连接$OD,OE,OF$，则$OD⊥$,$OE⊥$,$OF⊥$.因为$OD=$$=$,所以点$O$是$△ ABC$的交点.
|探究归纳|
三角形的内切圆及内心:
与三角形各边都的圆叫作三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形的交点,叫作三角形的,它到三角形的距离相等.这个三角形叫作圆的外切三角形.

问题1:$\odot O$与$△ ABC$三边都相切.
问题2:$AB \ \ BC \ \ AC \ \ OE \ \ OF$ 三条角平分线
探究归纳
相切 三条角平分线 内心 三边

【分析】
解决本题首先结合图形判断圆与三角形三边的位置关系，再根据切线的性质判断半径与对应边的位置关系，最后结合角平分线的性质梳理三角形内切圆和内心的相关概念即可。首先看问题1：观察图形可得⊙O和△ABC的每条边都只有1个公共点，符合相切的特征；再看问题2：回忆切线性质，圆的切线垂直于过切点的半径，即可得到三条半径分别垂直的边，再结合角平分线上的点到角两边距离相等，可得圆心是三条角平分线的交点；最后探究归纳部分直接整理相关基础概念即可。
【解析】
问题1
观察图形可知，$\odot O$与$△ ABC$的AB、BC、AC三条边都只有1个公共点，因此$\odot O$与$△ ABC$三边都相切。
问题2
根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。D是AB边上的切点，因此$OD⊥ AB$；E是BC边上的切点，因此$OE⊥ BC$；F是AC边上的切点，因此$OF⊥ AC$。
同圆的半径相等，因此$OD=OE=OF$；根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知点O在$△ ABC$三个内角的角平分线上，即点O是$△ ABC$三条角平分线的交点。
探究归纳
结合三角形内切圆、内心的定义填写：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，它到三角形三边的距离相等。
【答案】
问题1：$\odot O$与$△ ABC$三边都相切。
问题2：$AB$；$BC$；$AC$；$OE$；$OF$；三条角平分线
探究归纳：相切；三条角平分线；内心；三边
【知识点】
切线的性质；三角形内切圆概念；三角形内心性质
【点评】
本题是基础概念考查题，围绕三角形内切圆与内心的相关知识设置，只要熟练掌握切线性质、角平分线性质以及相关基础定义，就能顺利作答。
【难度系数】
0.9

【例 1】如图，$\odot O$内切于$△ ABC$，切点分别是$E,F,G$. 若$∠ C = 90°$，$AC = 6$，$BC=8$，求$\odot O$的半径.
|思路分析|
思考:要求$\odot O$的半径,应在图形中先画出$\odot O$的半径,那么构造哪条半径便于运算?为什么?
解:

【规律方法】
直角三角形内切圆半径的求解方法
已知直角三角形的直角边为$a,b$,斜边为$c$,直角三角形的内切圆半径为$r$.
(1)由切线长定理推得$a - r + b - r = c$,所以$r=\frac{a+b - c}{2}$.
(2)由三角形面积的不同表示方法,得$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a + b + c)r$,所以$r=\frac{ab}{a + b + c}$.

思路分析
思考:连接$OE,OF$,因为可构造正方形$OECF$,利用正方形的性质把$\odot O$的半径转移到$△ ABC$的边上.
解:$\odot O$的半径为2.

【分析】
要计算直角三角形内切圆的半径，首先回忆内切圆的性质：圆心到各边的距离等于半径，切线长定理可知从圆外一点引圆的两条切线长相等。首先观察图形，∠C为直角，内切圆与AC、BC分别切于E、F，连接OE、OF，可得OE⊥AC、OF⊥BC，即可推出四边形OECF是正方形，半径r等于CE、CF的长度；接下来先通过勾股定理计算斜边AB的长度，再利用切线长定理将斜边AB的长度用含r的式子表示，列方程即可求出r，也可通过三角形面积的两种不同表达形式列方程求解。
【解析】
方法一：利用切线长定理求解
连接OE、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为E、F、G，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，且OE=OF=r（r为⊙O的半径），
又
∵∠C=90°，
∴四边形OECF是矩形，
又
∵OE=OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE=CF=r，
∴AE=AC-CE=6-r，BF=BC-CF=8-r，
由勾股定理得，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
根据切线长定理：AE=AG，BF=BG，
∵AG+BG=AB，
∴$(6-r)+(8-r)=10$，
解得：$r=2$。
方法二：利用面积法求解
由勾股定理得$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$，设⊙O半径为r，
△ABC的面积可表示为：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
同时△ABC的面积也等于△AOC、△BOC、△AOB的面积和，
即$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×r + \frac{1}{2}×BC×r + \frac{1}{2}×AB×r = \frac{1}{2}×(6+8+10)r=12r$，
∴$12r=24$，解得$r=2$。
【答案】
2
【知识点】
切线长定理，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆的基础计算题，两种求解方法都非常典型，既可以结合切线长定理和正方形性质推导，也可以用面积法快速求解，掌握这两种方法能够灵活解决同类型的内切圆半径计算问题。
【难度系数】
0.8

1.如图，$△ ABC$ 的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=7\ \mathrm{cm}$，$CA=6\ \mathrm{cm}$。
(1)求$AF$的长。
(2)已知$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}\ \mathrm{cm}^2$，求$OD$的长。

1.解:(1)$AF$的长为$2\ \mathrm{cm}$.
(2)$OD$的长为$\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm}$.

【分析】
(1) 求AF的长可利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等，设AF、BD、CE的长度为未知数，结合三角形三边长度列方程组即可求解。
(2) OD是内切圆的半径，三角形面积可拆分为三个以内切圆半径为高、三角形三边为底的小三角形面积之和，已知三角形总面积和三边长，代入关系式即可求出OD的长度。
【解析】
(1) 设$AF=x\ \mathrm{cm}$，$BD=y\ \mathrm{cm}$，$CE=z\ \mathrm{cm}$。
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，与AB、BC、AC分别相切于F、D、E，
根据切线长定理可得：$AF=AE=x$，$BF=BD=y$，$CD=CE=z$。
结合三边长列方程组：
$\begin{cases}x+y=AB=5\\y+z=BC=7\\x+z=AC=6\end{cases}$
三个方程相加得$2(x+y+z)=18$，即$x+y+z=9$。
用$x+y+z=9$减去$y+z=7$，解得$x=2$，即$AF=2\ \mathrm{cm}$。
(2) 连接OA、OB、OC，
∵OD、OE、OF都是内切圆半径，且分别垂直于BC、AC、AB，
∴$OD=OE=OF=r$，
$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
$=\frac{1}{2}AB· r+\frac{1}{2}BC· r+\frac{1}{2}AC· r$
$=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· r$
已知$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}\ \mathrm{cm}^2$，$△ ABC$周长为$5+7+6=18\ \mathrm{cm}$，代入得：
$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×18× r$
解得$r=\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm}$，即$OD=\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$AF$的长为$2\ \mathrm{cm}$；(2)$OD$的长为$\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆的基础常考题，解题核心是熟练运用切线长定理和三角形面积与内切圆半径的关系公式，计算过程简单，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7