1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线与外角$∠ ACP$的平分线交于点$D$,过点$D$作$BC$的平行线交$AB$于点$E$,交$AC$于点$F$,则线段$EF$,$BE$和$CF$的数量关系为.

1. $EF=BE-CF$

2. 如图，BD平分∠ABC交AC于点D，E为CD上一点，AD = DE，EF // BC交BD于点F，求证：AB = EF.

2. 证明:如解图,过点 A 作 $AM// EF$ 交 BD 的延长线于点 M.
$\because EF// BC$,
$\therefore BC// AM$,
$\therefore ∠ M=∠ DBC$.
$\because BD$ 平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,
$\therefore ∠ M=∠ ABD$,
$\therefore AM=AB$.
$\because AM// EF$,
$\therefore ∠ M=∠ DFE$.
在 $△ ADM$ 和 $△ EDF$ 中,
$\begin{cases}∠ M=∠ DFE, \\∠ ADM=∠ EDF, \\AD=ED,\end{cases}$
$\therefore △ ADM≌ △ EDF(\mathrm{AAS})$,
$\therefore EF=AM$,
$\therefore AB=EF$.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=120°$,$AD⊥ BC$于点$D$,且$AB+BD=CD$,求$∠ C$的度数.

3. 解:$∠ C=20°$.

4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=108°$,$AB=AC$,$BD$平分$∠ ABC$,交$AC$于点$D$.求证:$BC=AB+CD$.

4. 证明:方法一(截长法):
如解图①,在 $BC$ 上取点 $E$,使 $BE=BA$,连接 $DE$.
$\because BD$ 平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ EBD$.
在 $△ ABD$ 和 $△ EBD$ 中,
$\begin{cases}AB=EB, \\∠ ABD=∠ EBD, \\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ EBD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ BAC=∠ BED=108°$,
$\therefore ∠ DEC=72°$.
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=36°$,
$\therefore ∠ CDE=72°$,
$\therefore ∠ CDE=∠ CED=72°$,
$\therefore CD=CE$,
$\therefore BC=BE+EC=AB+CD$.
方法二(补短法):
如解图②,延长 $BA$ 至点 $E$,使 $BE=BC$,连接 $DE$.
$\because BD$ 平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$.
在 $△ EBD$ 和 $△ CBD$ 中,
$\begin{cases}EB=CB, \\∠ EBD=∠ CBD, \\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ EBD≌ △ CBD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore DE=DC,∠ E=∠ C$.
$\because ∠ BAC=108°,AB=AC$,
$\therefore ∠ EAD=72°,∠ C=∠ ABC=∠ E=36°$,
$\therefore ∠ EDA=∠ EAD=72°$,
$\therefore EA=ED$,
$\therefore CD=DE=AE$,
$\therefore BC=BE=AB+AE=AB+CD$.

5. 如图，已知△ABC 的面积为 12，BP 平分∠ABC，且 AP ⊥ BP 于点 P，连接 CP，则△BPC 的面积是。

5. 6