1.若A,B,C三点在同一直线上，线段AB=6 cm,BC=2 cm,则A,C两点间的距离是（）

A.8 cm
B.4 cm
C.8 cm或4 cm
D.无法确定

C

【分析】
本题考查同一直线上三点构成的线段长度计算，解题关键是明确点C的位置没有明确给出，需要分两种情况讨论：①点C在线段AB的延长线上；②点C在线段AB上，分别根据线段的和差关系计算AC的长度即可。
【解析】
已知A、B、C三点在同一直线上，分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB的延长线上时，三点顺序为A---B---C，此时AC的长度为AB与BC的和：
$ AC = AB + BC = 6\mathrm{cm} + 2\mathrm{cm} = 8\mathrm{cm} $
2. 当点C在线段AB上时，三点顺序为A---C---B，此时AC的长度为AB与BC的差：
$ AC = AB - BC = 6\mathrm{cm} - 2\mathrm{cm} = 4\mathrm{cm} $
综上，A、C两点间的距离为8cm或4cm。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略点C的两种位置情况，只计算其中一种结果导致错选，解题时若题目未明确给出点的相对位置，要考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

2. (2024秋天山区校级期末)如图，$CB=4\ \mathrm{cm}$，$DB=7\ \mathrm{cm}$，点D为AC的中点，则AD的长为（）


A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

A

【分析】
解题时先明确线段上各点的排列顺序为A、D、C、B，第一步先根据已知的DB和CB的长度，利用线段的差的关系求出DC的长度；第二步结合“点D为AC的中点”的条件，根据线段中点的性质，可得AD与DC长度相等，即可求出AD的长度。
【解析】
由图可知，点C在D、B之间，因此线段DC的长度为：
$DC = DB - CB = 7\ \mathrm{cm} - 4\ \mathrm{cm} = 3\ \mathrm{cm}$
又因为点D是AC的中点，根据线段中点的定义，中点将线段分为两条相等的线段，因此：
$AD = DC = 3\ \mathrm{cm}$
【答案】
A
【知识点】
线段的和差运算；线段中点的性质
【点评】
本题属于线段运算的基础题型，解题的核心是先通过线段和差求出DC的长度，再结合中点性质推导AD的长度，掌握线段的基本运算规则和中点性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8

3. 如图，C，D是线段AB上不同的两点.

(1)AC=−CD，BD=−CD；
(2)AC=−BC，BD=−AD；
(3)AB=++.

3.(1)AD BC (2)AB AB (3)AC CD BD

【分析】
解题时首先明确线段AB上点的排列顺序为A、C、D、B，结合线段和差的定义来推导：要得到某条线段等于另外两条线段的差，只需找到哪条更长的线段是由所求线段和减去的线段相加得到的；要写整条线段的和，只需拆分出组成它的所有小段即可。
(1) 找等于AC+CD的线段，即可推出AC的差表达式，同理推导BD的表达式；
(2) 找等于AC+BC的线段，即可推出AC的差表达式，同理推导BD的表达式；
(3) 将AB拆分为连续的三小段相加即可。
【解析】
根据图中A、C、D、B四点的位置关系：
(1) 由线段和的定义可知$ AD = AC + CD $，变形可得$ AC = AD - CD $；同理$ BC = BD + CD $，变形可得$ BD = BC - CD $。
(2) 整条线段AB可表示为$ AB = AC + BC $，变形可得$ AC = AB - BC $；同理$ AB = AD + BD $，变形可得$ BD = AB - AD $。
(3) 线段AB由AC、CD、BD三段首尾顺次连接组成，因此$ AB = AC + CD + BD $。
【答案】
(1)$ AD $；$ BC $
(2)$ AB $；$ AB $
(3)$ AC $；$ CD $；$ BD $
【知识点】
线段的和差运算；线段的组成
【点评】
本题是线段和差的基础练习题，核心考查对线段组成结构的理解，只要理清线段上各点的先后顺序，结合和差关系即可快速求解，是后续复杂线段长度计算的基础。
【难度系数】
0.9

4.如图，已知线段a,b.作一条线段AB，使它等于$b-2a$.

解:如图,线段AB即为所求作.

【分析】
要作出长度为$b-2a$的线段，思路如下：首先确定一条射线作为作图的基础载体，先在射线上截取长度为$b$的线段（因为$b＞2a$，$b$是较长线段），再在这条长线段上，从远离起始端点的一侧向起始点方向，连续截取两段长度为$a$的线段，剩余的线段长度就是$b-2a$，也就是我们要求的线段。
【解析】
1. 画射线$AM$；
2. 用圆规量取已知线段$b$的长度，在射线$AM$上从端点$A$出发截取$AC=b$；
3. 用圆规量取已知线段$a$的长度，从点$C$开始向点$A$的方向依次截取$CD=a$，$DB=a$；
此时线段$AB$的长度为$AC-CD-DB=b-a-a=b-2a$，即为所求作的线段。
【答案】
如图,线段AB即为所求作.
【知识点】
尺规作线段；线段的和差运算
【点评】
本题是线段和差作图的基础题型，解题核心是掌握“作线段差时，要在长线段上向内（朝向起始端点方向）截取短线段”的规则，作图时要保证圆规量取线段长度准确，截取方向不要混淆。
【难度系数】
0.8

5. (2024秋龙马潭区月考)如图,已知M是线段AB的中点,N是线段MB的中点,如果MN=3 cm,求AN的长.

解:因为 N 是 MB 的中点,
所以 MB=2MN=6 cm.
因为 M 是 AB 的中点,
所以 AM=MB=6 cm,
所以 AN=AM+MN=6+3=9(cm).

【分析】
解题时先梳理已知条件：M是AB中点、N是MB中点、MN=3cm，目标是求AN的长度。首先利用线段中点的性质，由N是MB中点可推出MB长度是MN的2倍，先算出MB的长度；再根据M是AB中点，得到AM和MB长度相等，求出AM的长度；最后AN由AM和MN两段组成，求和即可得到AN的长度。
【解析】
因为N是线段MB的中点，
所以MB=2MN=2×3=6 cm。
因为M是线段AB的中点，
所以AM=MB=6 cm，
所以AN=AM+MN=6+3=9(cm)。
【答案】
9 cm
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差运算
【点评】
本题属于线段计算的基础题，核心考查线段中点的性质和线段和差关系的应用，只要理清各线段的位置和数量关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.8

6.已知C是线段AB的中点，D是线段AC的三等分点.若线段AB=12 cm，线段BD的长为（）

A.10 cm
B.8 cm
C.10 cm或8 cm
D.2 cm或4 cm

C

【分析】
解题时首先根据线段中点的性质求出AC、BC的长度，由于D是AC的三等分点，未明确是靠近A还是靠近C的分点，因此需要分两种情况讨论，再结合线段的和差关系分别计算BD的长度，最后汇总得到结果即可。
【解析】
解：
∵C是线段AB的中点，AB=12cm
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6cm$
∵D是线段AC的三等分点，分两种情况讨论：
①当$AD=\frac{1}{3}AC$时：
$AD=\frac{1}{3}×6=2cm$，
∴$CD=AC-AD=6-2=4cm$，
∴$BD=BC+CD=6+4=10cm$；
②当$AD=\frac{2}{3}AC$时：
$AD=\frac{2}{3}×6=4cm$，
∴$CD=AC-AD=6-4=2cm$，
∴$BD=BC+CD=6+2=8cm$；
综上，线段BD的长为10cm或8cm。
【答案】
C
【知识点】
线段中点定义；线段三等分点定义；线段和差计算
【点评】
本题的易错点是容易忽略三等分点存在两种位置情况，导致漏解，做题时遇到未明确位置的分点，要全面考虑所有可能性，结合线段和差关系即可完成计算。
【难度系数】
0.7

7.定义:若线段上的一个点把这条线段分成1:2的两条线段,则称这个点是这条线段的三等分点.如图①,点C在线段AB上,且AC:CB=1:2,则点C是线段AB的一个三等分点.显然,一条线段的三等分点有两个.
(1)如图②,已知DE=15 cm,点P是DE的三等分点,求DP的长.
(2)如图③,已知线段AB=15 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度在射线AB上向点B方向运动;点Q从点B出发,先向点A方向运动,当与点P重合后立即改变方向,变成与点P同向而行且速度始终为2 cm/s.设运动时间为t s.
①若点P,Q同时出发,且当点P与点Q重合时,求t的值;
②若点P,Q同时出发,且当点P是线段AQ的三等分点时,求t的值.

7.解:(1) 当 $DP=2PE$ 时,
$DP=\frac{2}{3}DE=\frac{2}{3}×15=10(\mathrm{cm})$;
当 $DP=\frac{1}{2}PE$ 时,
$DP=\frac{1}{3}DE=\frac{1}{3}×15=5(\mathrm{cm})$,
所以 DP 的长为 5 cm 或 10 cm.
(2)①由题意,得 $t+2t=15$,解得 $t=5$.
②当点 P,Q 重合前,2AP=PQ 时,$t+2t+2t=15$,解得 $t=3$;
当 2PQ=AP 时,
$t+\frac{1}{2}t+2t=15$,解得 $t=\frac{30}{7}$;
当点 P,Q 重合后,2AP=PQ 时,$2t=t-5$,
解得 $t=-5$(舍去);
当 2PQ=AP 时,$2(t-5)=t$,
解得 $t=10$.
综上所述,$t$ 的值为 3 或 $\frac{30}{7}$ 或 10.

【分析】
(1) 根据三等分点的定义，点P将DE分为1:2的两部分，存在两种情况：DP为较短段、DP为较长段，分情况结合线段和差关系计算DP长度即可。
(2) ①点P、Q同时出发相向运动，相遇时两者的路程和等于线段AB的总长度，结合“路程=速度×时间”列一元一次方程求解即可。
②需分两大阶段讨论：第一阶段是P、Q重合前，Q向A方向运动；第二阶段是P、Q重合后，Q与P同向向B运动。每个阶段中，P是AQ的三等分点又分两种情况：AP占AQ的$\frac{1}{3}$、AP占AQ的$\frac{2}{3}$，分别列方程求解后，舍去不符合实际意义的负解即可。
【解析】
(1) 分两种情况计算DP的长度：
当$DP:PE=1:2$时，$DP=\frac{1}{3}DE$，代入$DE=15\mathrm{cm}$得：
$DP=\frac{1}{3}×15=5(\mathrm{cm})$；
当$DP:PE=2:1$时，$DP=\frac{2}{3}DE$，代入得：
$DP=\frac{2}{3}×15=10(\mathrm{cm})$。
(2) ①点P、Q相向运动，相遇时路程和为AB的长度，列方程：
$t + 2t =15$
解得$t=5$。
②分重合前、重合后两种情况讨论：
重合前（$t＜5$）：
当$2AP=PQ$时，三段线段和为AB长度，列方程：
$t + 2t + 2t =15$，解得$t=3$；
当$2PQ=AP$时，三段线段和为AB长度，列方程：
$t + \frac{1}{2}t + 2t =15$，解得$t=\frac{30}{7}$。
重合后（$t≥5$）：
当$2AP=PQ$时，列方程：$2t = t -5$，解得$t=-5$，时间为负不符合实际，舍去；
当$2PQ=AP$时，列方程：$2(t-5)=t$，解得$t=10$。
综上，$t$的取值为3、$\frac{30}{7}$、10。
【答案】
(1) $\boxed{5\mathrm{cm}}$或$\boxed{10\mathrm{cm}}$；
(2) ①$\boxed{t=5}$；②$\boxed{3}$或$\boxed{\frac{30}{7}}$或$\boxed{10}$
【知识点】
线段三等分点定义，一元一次方程应用，线段和差计算
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时需注意三等分点有两种位置，动态行程问题要分不同运动阶段分析，同时要对解的实际意义进行检验，避免出现漏解、错解的情况。
【难度系数】
0.6