登录
【例1】(2024秋 南湖区校级期末)下列各组单项式中,是同类项的是 (
A.2和$\frac{1}{3}$
B.$x^2y$和$xy^2$
C.$3a^2$和$3b^2$
D.$2π$和$3x$
A
)A.2和$\frac{1}{3}$
B.$x^2y$和$xy^2$
C.$3a^2$和$3b^2$
D.$2π$和$3x$
答案
A
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握同类项的判定规则：判定两个单项式是否为同类项，一看所含字母是否完全相同，二看相同字母的指数是否分别相等，且所有常数项都属于同类项，判断时与系数大小无关，另外要注意π是常数，不属于字母。解题时只需将每个选项对照上述规则逐一验证即可。
【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项：
A. 2和$\frac{1}{3}$都属于常数项，所有常数项都是同类项，符合同类项定义；
B. $x^2y$中x的指数为2、y的指数为1，$xy^2$中x的指数为1、y的指数为2，相同字母的指数不相等，不是同类项；
C. $3a^2$所含字母为a，$3b^2$所含字母为b，所含字母不同，不是同类项；
D. 2π是常数，不含字母，3x所含字母为x，二者所含字母不同，不是同类项。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
同类项的定义、同类项的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于易误将π当作字母，或忽略同类项要求“相同字母的指数也分别相同”的条件，熟记同类项的判定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握同类项的判定规则：判定两个单项式是否为同类项，一看所含字母是否完全相同，二看相同字母的指数是否分别相等，且所有常数项都属于同类项，判断时与系数大小无关，另外要注意π是常数，不属于字母。解题时只需将每个选项对照上述规则逐一验证即可。
【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项：
A. 2和$\frac{1}{3}$都属于常数项，所有常数项都是同类项，符合同类项定义；
B. $x^2y$中x的指数为2、y的指数为1，$xy^2$中x的指数为1、y的指数为2，相同字母的指数不相等，不是同类项；
C. $3a^2$所含字母为a，$3b^2$所含字母为b，所含字母不同，不是同类项；
D. 2π是常数，不含字母，3x所含字母为x，二者所含字母不同，不是同类项。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
同类项的定义、同类项的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于易误将π当作字母，或忽略同类项要求“相同字母的指数也分别相同”的条件，熟记同类项的判定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
【变式】(2024秋黄冈期末)下列单项式中，与$-ab^2$是同类项的是（
A.$-ab$
B.$-a^2b^2$
C.$a^2b$
D.$3ab^2$
D
）A.$-ab$
B.$-a^2b^2$
C.$a^2b$
D.$3ab^2$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确同类项的判断标准：判断两个单项式是否为同类项，需同时满足两个条件：①所含字母完全相同；②相同字母的指数也分别相等，两个条件缺一不可。同时同类项与单项式的系数大小、字母的排列顺序无关。接下来只需将每个选项和题干中的$-ab^2$逐一对照，选出同时满足上述两个条件的选项即可。
【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，同类项与系数、字母排列顺序无关。
题干中的单项式为$-ab^2$，所含字母为a、b，其中a的指数为1，b的指数为2。
选项A：$-ab$中b的指数为1，与题干中b的指数不相等，不是同类项；
选项B：$-a^2b^2$中a的指数为2，与题干中a的指数不相等，不是同类项；
选项C：$a^2b$中a的指数为2、b的指数为1，与题干对应字母的指数都不相等，不是同类项；
选项D：$3ab^2$所含字母为a、b，a的指数为1，b的指数为2，符合同类项的定义，是同类项。
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义
【点评】
本题属于基础题型，主要考查同类项的判定，熟练掌握同类项的两个判断标准是解题的关键，解题时注意不要受单项式系数的干扰。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确同类项的判断标准：判断两个单项式是否为同类项，需同时满足两个条件：①所含字母完全相同；②相同字母的指数也分别相等，两个条件缺一不可。同时同类项与单项式的系数大小、字母的排列顺序无关。接下来只需将每个选项和题干中的$-ab^2$逐一对照，选出同时满足上述两个条件的选项即可。
【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，同类项与系数、字母排列顺序无关。
题干中的单项式为$-ab^2$，所含字母为a、b，其中a的指数为1，b的指数为2。
选项A：$-ab$中b的指数为1，与题干中b的指数不相等，不是同类项；
选项B：$-a^2b^2$中a的指数为2，与题干中a的指数不相等，不是同类项；
选项C：$a^2b$中a的指数为2、b的指数为1，与题干对应字母的指数都不相等，不是同类项；
选项D：$3ab^2$所含字母为a、b，a的指数为1，b的指数为2，符合同类项的定义，是同类项。
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义
【点评】
本题属于基础题型，主要考查同类项的判定，熟练掌握同类项的两个判断标准是解题的关键，解题时注意不要受单项式系数的干扰。
【难度系数】
0.9
【例2】(2025 沙坪坝区校级开学)合并同类项：
(1)$2x - 2y - x + 3y$；
(2)$\frac{1}{3}x^2y + (-\frac{1}{2}xy) - (-xy + 2x^2y)$。
(1)$2x - 2y - x + 3y$；
(2)$\frac{1}{3}x^2y + (-\frac{1}{2}xy) - (-xy + 2x^2y)$。
答案
解:(1)原式$=x+y$；
(2)原式$=\frac{1}{3}x^2 y-\frac{1}{2}xy+xy-2x^2 y=-\frac{5}{3}x^2 y+\frac{1}{2}xy$。
(2)原式$=\frac{1}{3}x^2 y-\frac{1}{2}xy+xy-2x^2 y=-\frac{5}{3}x^2 y+\frac{1}{2}xy$。
解析
【分析】
合并同类项类题目解题分两步走：第一步，若式子含有括号，先根据去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；第二步，识别同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，计算系数时注意符号不要出错。
针对第(1)题：没有括号，直接识别出2x与-x是同类项，-2y与3y是同类项，分别合并即可；
针对第(2)题：先去括号，再识别出$\frac{1}{3}x^2y$与$-2x^2y$是同类项，$-\frac{1}{2}xy$与$xy$是同类项，分别合并即可。
【解析】
(1) 先分组整理同类项：
原式$=(2x - x) + (-2y + 3y)$
分别合并同类项系数：
$=(2-1)x + (-2+3)y$
$=x + y$
(2) 先根据去括号法则去括号：
原式$=\frac{1}{3}x^2y - \frac{1}{2}xy + xy - 2x^2y$
分组整理同类项：
$=(\frac{1}{3}x^2y - 2x^2y) + (-\frac{1}{2}xy + xy)$
分别合并同类项系数：
$=(\frac{1}{3}-\frac{6}{3})x^2y + (-\frac{1}{2}+\frac{2}{2})xy$
$=-\frac{5}{3}x^2y + \frac{1}{2}xy$
【答案】
(1)$x+y$；(2)$-\frac{5}{3}x^2y+\frac{1}{2}xy$
【知识点】
1.合并同类项法则 2.去括号法则
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考察同类项的识别、去括号的符号处理以及同类项的合并计算，解题时要注意移动项时需带着项前的符号，去括号时牢记“括号前为正，符号不变；括号前为负，全变符号”的规则，计算系数时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
合并同类项类题目解题分两步走：第一步，若式子含有括号，先根据去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；第二步，识别同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，计算系数时注意符号不要出错。
针对第(1)题：没有括号，直接识别出2x与-x是同类项，-2y与3y是同类项，分别合并即可；
针对第(2)题：先去括号，再识别出$\frac{1}{3}x^2y$与$-2x^2y$是同类项，$-\frac{1}{2}xy$与$xy$是同类项，分别合并即可。
【解析】
(1) 先分组整理同类项：
原式$=(2x - x) + (-2y + 3y)$
分别合并同类项系数：
$=(2-1)x + (-2+3)y$
$=x + y$
(2) 先根据去括号法则去括号：
原式$=\frac{1}{3}x^2y - \frac{1}{2}xy + xy - 2x^2y$
分组整理同类项：
$=(\frac{1}{3}x^2y - 2x^2y) + (-\frac{1}{2}xy + xy)$
分别合并同类项系数：
$=(\frac{1}{3}-\frac{6}{3})x^2y + (-\frac{1}{2}+\frac{2}{2})xy$
$=-\frac{5}{3}x^2y + \frac{1}{2}xy$
【答案】
(1)$x+y$；(2)$-\frac{5}{3}x^2y+\frac{1}{2}xy$
【知识点】
1.合并同类项法则 2.去括号法则
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考察同类项的识别、去括号的符号处理以及同类项的合并计算，解题时要注意移动项时需带着项前的符号，去括号时牢记“括号前为正，符号不变；括号前为负，全变符号”的规则，计算系数时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
【变式】已知$a=-\dfrac{1}{2},b=4$，求多项式$2a^2b -3a -3a^2b +2a$的值。
答案
解:$2a^2 b-3a-3a^2 b+2a=(2a^2 b-3a^2 b)+(-3a+2a)=(2-3)a^2 b+(-3+2)a=-a^2 b-a$。
当$a=-\frac{1}{2},b=4$时，
原式$=-(-\frac{1}{2})^2 ×4-(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$。
当$a=-\frac{1}{2},b=4$时，
原式$=-(-\frac{1}{2})^2 ×4-(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
遇到多项式求值类题目，首先考虑先化简再代入计算，比直接代入数值计算更简便、准确率更高。解题第一步先识别多项式中的同类项：$2a^2b$和$-3a^2b$是同类项，$-3a$和$2a$是同类项；第二步合并同类项得到最简整式；第三步将$a$、$b$的数值代入最简式计算结果即可。
【解析】
先对多项式合并同类项化简：
$2a^2 b-3a-3a^2 b+2a$
$=(2a^2 b-3a^2 b)+(-3a+2a)$
$=(2-3)a^2 b+(-3+2)a$
$=-a^2 b-a$
再将$a=-\dfrac{1}{2},b=4$代入化简后的式子计算：
原式$=-(-\dfrac{1}{2})^2 ×4-(-\dfrac{1}{2})$
$=-\dfrac{1}{4}×4 + \dfrac{1}{2}$
$=-1 + \dfrac{1}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
合并同类项；代数式求值
【点评】
本题是整式加减运算的基础题型，核心考查化简求值的思路，先合并同类项可大幅降低计算量，需熟练掌握同类项的识别方法和合并同类项的法则。
【难度系数】
0.8
遇到多项式求值类题目，首先考虑先化简再代入计算，比直接代入数值计算更简便、准确率更高。解题第一步先识别多项式中的同类项：$2a^2b$和$-3a^2b$是同类项，$-3a$和$2a$是同类项；第二步合并同类项得到最简整式；第三步将$a$、$b$的数值代入最简式计算结果即可。
【解析】
先对多项式合并同类项化简：
$2a^2 b-3a-3a^2 b+2a$
$=(2a^2 b-3a^2 b)+(-3a+2a)$
$=(2-3)a^2 b+(-3+2)a$
$=-a^2 b-a$
再将$a=-\dfrac{1}{2},b=4$代入化简后的式子计算：
原式$=-(-\dfrac{1}{2})^2 ×4-(-\dfrac{1}{2})$
$=-\dfrac{1}{4}×4 + \dfrac{1}{2}$
$=-1 + \dfrac{1}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
合并同类项；代数式求值
【点评】
本题是整式加减运算的基础题型，核心考查化简求值的思路，先合并同类项可大幅降低计算量，需熟练掌握同类项的识别方法和合并同类项的法则。
【难度系数】
0.8
【例3】王大伯种植了两块试验田，去年两块试验田的亩产量均为1 000 kg，A试验田今年相比去年增产100 kg/亩，B试验田今年相比去年减产80 kg/亩。若增产100 kg/亩记作+100 kg/亩，则减产80 kg/亩可以记作
-80
kg/亩。若A试验田共有a亩，B试验田共有b亩，则王大伯家今年试验田的总产量为1 100a+920b
kg（用含a，b的代数式表示）。答案
-80；$1 100a+920b$
解析
【分析】
解题分两步思考：第一步解决正负数的表示问题，题目明确规定增产记为正，根据正负数表示相反意义的量的规则，减产就对应记为负，直接写出结果即可；第二步计算今年总产量，先分别求出A、B两块试验田今年的亩产量，再根据“总产量=亩产量×亩数”分别算出两块田的产量，相加就能得到今年的总产量。
【解析】
1. 正负数用来表示一对相反意义的量，已知增产100kg/亩记作+100kg/亩，因此减产80kg/亩记作-80kg/亩。
2. 计算A试验田今年的产量：A田今年亩产量为$1000+100=1100$（kg/亩），共有a亩，所以A田总产量为$1100× a=1100a$（kg）。
3. 计算B试验田今年的产量：B田今年亩产量为$1000-80=920$（kg/亩），共有b亩，所以B田总产量为$920× b=920b$（kg）。
4. 今年两块试验田的总产量为A田产量与B田产量之和，即$(1100a+920b)$kg。
【答案】
-80；$1100a+920b$
【知识点】
正负数的意义，列代数式，有理数加减运算
【点评】
本题结合生活实际场景考查基础知识点的应用，解题的关键是理解正负数的含义，理清产量计算的数量关系，侧重对基础概念和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.9
解题分两步思考：第一步解决正负数的表示问题，题目明确规定增产记为正，根据正负数表示相反意义的量的规则，减产就对应记为负，直接写出结果即可；第二步计算今年总产量，先分别求出A、B两块试验田今年的亩产量，再根据“总产量=亩产量×亩数”分别算出两块田的产量，相加就能得到今年的总产量。
【解析】
1. 正负数用来表示一对相反意义的量，已知增产100kg/亩记作+100kg/亩，因此减产80kg/亩记作-80kg/亩。
2. 计算A试验田今年的产量：A田今年亩产量为$1000+100=1100$（kg/亩），共有a亩，所以A田总产量为$1100× a=1100a$（kg）。
3. 计算B试验田今年的产量：B田今年亩产量为$1000-80=920$（kg/亩），共有b亩，所以B田总产量为$920× b=920b$（kg）。
4. 今年两块试验田的总产量为A田产量与B田产量之和，即$(1100a+920b)$kg。
【答案】
-80；$1100a+920b$
【知识点】
正负数的意义，列代数式，有理数加减运算
【点评】
本题结合生活实际场景考查基础知识点的应用，解题的关键是理解正负数的含义，理清产量计算的数量关系，侧重对基础概念和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.9
【变式】某校七年级有$a$名学生，八年级学生人数是七年级学生人数的$\frac{3}{2}$倍，九年级学生人数比八年级学生人数少10人，用代数式表示该校初中学生的总数是
4a-10
人。答案
$4a-10$
解析
【分析】
要表示该校初中学生的总数，需先分别求出七、八、九三个年级的学生人数，再将三者相加化简。首先已知七年级人数为a，根据“八年级人数是七年级的$\frac{3}{2}$倍”，用乘法可求出八年级人数；再根据“九年级人数比八年级少10人”，用减法求出九年级人数；最后合并三个年级人数的同类项即可得到结果。
【解析】
第一步：确定各年级人数
① 七年级学生人数：已知为$a$人；
② 八年级学生人数：是七年级的$\frac{3}{2}$倍，即$\frac{3}{2}a$人；
③ 九年级学生人数：比八年级少10人，即$(\frac{3}{2}a - 10)$人。
第二步：计算三个年级总人数
总人数 = 七年级人数 + 八年级人数 + 九年级人数，代入得：
$\begin{aligned}&a + \frac{3}{2}a + (\frac{3}{2}a - 10)\\=&a + \frac{3}{2}a + \frac{3}{2}a - 10\\=&(1 + \frac{3}{2} + \frac{3}{2})a - 10\\=&4a - 10\end{aligned}$
【答案】
$4a-10$
【知识点】
列代数式，合并同类项，整式加减运算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是准确梳理各年级人数之间的数量关系，正确列出对应代数式后再规范进行整式的加减化简即可。
【难度系数】
0.8
要表示该校初中学生的总数，需先分别求出七、八、九三个年级的学生人数，再将三者相加化简。首先已知七年级人数为a，根据“八年级人数是七年级的$\frac{3}{2}$倍”，用乘法可求出八年级人数；再根据“九年级人数比八年级少10人”，用减法求出九年级人数；最后合并三个年级人数的同类项即可得到结果。
【解析】
第一步：确定各年级人数
① 七年级学生人数：已知为$a$人；
② 八年级学生人数：是七年级的$\frac{3}{2}$倍，即$\frac{3}{2}a$人；
③ 九年级学生人数：比八年级少10人，即$(\frac{3}{2}a - 10)$人。
第二步：计算三个年级总人数
总人数 = 七年级人数 + 八年级人数 + 九年级人数，代入得：
$\begin{aligned}&a + \frac{3}{2}a + (\frac{3}{2}a - 10)\\=&a + \frac{3}{2}a + \frac{3}{2}a - 10\\=&(1 + \frac{3}{2} + \frac{3}{2})a - 10\\=&4a - 10\end{aligned}$
【答案】
$4a-10$
【知识点】
列代数式，合并同类项，整式加减运算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是准确梳理各年级人数之间的数量关系，正确列出对应代数式后再规范进行整式的加减化简即可。
【难度系数】
0.8
