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11.将一副三角板如图所示叠放在一起，若∠CAE=2∠BAD，则∠CAD=
120°
。答案
11.120°
解析
【分析】
首先明确一副三角板的两个直角均为90°，本题中两个三角板的直角顶点重合于点A，观察角的和差关系可得到∠CAE与∠BAD的和为90°，结合题目给出的∠CAE=2∠BAD的数量关系，可设未知数列方程求出∠BAD的度数，再利用角的和差关系即可求出∠CAD的度数。
【解析】
根据三角板的特征可知：∠BAC=∠DAE=90°，
因此∠CAE + ∠BAD = 90°。
设∠BAD的度数为x，则∠CAE的度数为2x，代入上述关系得：
$x + 2x = 90°$
解得$x=30°$，即∠BAD=30°。
所以$∠CAD=∠BAC + ∠BAD=90°+30°=120°$。
【答案】
120°
【知识点】
角的和差计算，三角板角度特征，方程求角度
【点评】
本题是角度计算的常见题型，解题核心是准确找到叠放三角板中角的和差关系，结合已知的数量关系列式求解，掌握三角板的固定角度是解题的基础。
【难度系数】
0.7
首先明确一副三角板的两个直角均为90°，本题中两个三角板的直角顶点重合于点A，观察角的和差关系可得到∠CAE与∠BAD的和为90°，结合题目给出的∠CAE=2∠BAD的数量关系，可设未知数列方程求出∠BAD的度数，再利用角的和差关系即可求出∠CAD的度数。
【解析】
根据三角板的特征可知：∠BAC=∠DAE=90°，
因此∠CAE + ∠BAD = 90°。
设∠BAD的度数为x，则∠CAE的度数为2x，代入上述关系得：
$x + 2x = 90°$
解得$x=30°$，即∠BAD=30°。
所以$∠CAD=∠BAC + ∠BAD=90°+30°=120°$。
【答案】
120°
【知识点】
角的和差计算，三角板角度特征，方程求角度
【点评】
本题是角度计算的常见题型，解题核心是准确找到叠放三角板中角的和差关系，结合已知的数量关系列式求解，掌握三角板的固定角度是解题的基础。
【难度系数】
0.7
12. 如图，$∠ AOB$ 是平角，$OM$，$ON$ 分别是$∠ AOC$，$∠ BOD$ 的平分线.
(1)当$∠ MON=140°$时，求$∠ COD$ 的度数；
(2)当$∠ COD=x°$时，求$∠ MON$ 的度数.
(1)当$∠ MON=140°$时，求$∠ COD$ 的度数；
(2)当$∠ COD=x°$时，求$∠ MON$ 的度数.
答案
12.解：(1)因为OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线，
所以∠AOC=2∠AOM,∠BOD=2∠BON.
因为∠AOM+∠BON=180°-∠MON=40°，
所以∠AOC+∠BOD=2∠AOM+2∠BON=2(∠AOM+∠BON)=80°,
所以∠COD=180°-(∠AOC+∠BOD)=100°.
(2)因为OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD,
所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=$\frac{1}{2}$∠AOC+∠COD+$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)+∠COD=$\frac{1}{2}$(180°-∠COD)+∠COD=90°+$\frac{1}{2}$∠COD.
所以当∠COD=x°时,∠MON=90°+$\frac{1}{2}x°$.
所以∠AOC=2∠AOM,∠BOD=2∠BON.
因为∠AOM+∠BON=180°-∠MON=40°，
所以∠AOC+∠BOD=2∠AOM+2∠BON=2(∠AOM+∠BON)=80°,
所以∠COD=180°-(∠AOC+∠BOD)=100°.
(2)因为OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD,
所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=$\frac{1}{2}$∠AOC+∠COD+$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)+∠COD=$\frac{1}{2}$(180°-∠COD)+∠COD=90°+$\frac{1}{2}$∠COD.
所以当∠COD=x°时,∠MON=90°+$\frac{1}{2}x°$.
解析
【分析】
本题需结合平角的定义和角平分线的性质求解，解题思路如下：
(1) 首先明确∠AOB是平角，度数为180°，已知∠MON=140°，可先求出∠AOM与∠BON的和；再根据角平分线的性质，得到∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON，进而求出∠AOC与∠BOD的和；最后用平角180°减去∠AOC与∠BOD的和，即可得到∠COD的度数。
(2) 把∠MON拆分为∠MOC、∠COD、∠DON三个角的和，结合角平分线性质，将∠MOC替换为$\frac{1}{2}$∠AOC，∠DON替换为$\frac{1}{2}$∠BOD，再把∠AOC+∠BOD替换为180°-∠COD，代入化简后，把∠COD=x°代入即可求出∠MON的度数。
【解析】
(1) 因为OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
所以∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON。
因为∠AOB是平角，即∠AOB=180°，
所以∠AOM+∠BON=∠AOB - ∠MON=180°-140°=40°，
所以∠AOC+∠BOD=2∠AOM + 2∠BON=2(∠AOM+∠BON)=2×40°=80°，
所以∠COD=∠AOB - (∠AOC+∠BOD)=180°-80°=100°。
(2) 因为OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
所以∠MON=∠MOC + ∠COD + ∠DON
=$\frac{1}{2}$∠AOC + ∠COD + $\frac{1}{2}$∠BOD
=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD) + ∠COD
又因为∠AOC+∠BOD=∠AOB - ∠COD=180°-∠COD，
所以∠MON=$\frac{1}{2}$(180°-∠COD) + ∠COD=90° + $\frac{1}{2}$∠COD，
当∠COD=x°时，∠MON=90°+$\frac{1}{2}x$°。
【答案】
(1) $\boxed{100°}$；(2) $\boxed{(90+\dfrac{1}{2}x)°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的性质，角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，解题核心是熟练掌握角平分线和平角的性质，通过合理拆分、转化角之间的数量关系求解，掌握该类题的解题思路可快速应对同类角度运算问题。
【难度系数】
0.7
本题需结合平角的定义和角平分线的性质求解，解题思路如下：
(1) 首先明确∠AOB是平角，度数为180°，已知∠MON=140°，可先求出∠AOM与∠BON的和；再根据角平分线的性质，得到∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON，进而求出∠AOC与∠BOD的和；最后用平角180°减去∠AOC与∠BOD的和，即可得到∠COD的度数。
(2) 把∠MON拆分为∠MOC、∠COD、∠DON三个角的和，结合角平分线性质，将∠MOC替换为$\frac{1}{2}$∠AOC，∠DON替换为$\frac{1}{2}$∠BOD，再把∠AOC+∠BOD替换为180°-∠COD，代入化简后，把∠COD=x°代入即可求出∠MON的度数。
【解析】
(1) 因为OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
所以∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON。
因为∠AOB是平角，即∠AOB=180°，
所以∠AOM+∠BON=∠AOB - ∠MON=180°-140°=40°，
所以∠AOC+∠BOD=2∠AOM + 2∠BON=2(∠AOM+∠BON)=2×40°=80°，
所以∠COD=∠AOB - (∠AOC+∠BOD)=180°-80°=100°。
(2) 因为OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
所以∠MON=∠MOC + ∠COD + ∠DON
=$\frac{1}{2}$∠AOC + ∠COD + $\frac{1}{2}$∠BOD
=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD) + ∠COD
又因为∠AOC+∠BOD=∠AOB - ∠COD=180°-∠COD，
所以∠MON=$\frac{1}{2}$(180°-∠COD) + ∠COD=90° + $\frac{1}{2}$∠COD，
当∠COD=x°时，∠MON=90°+$\frac{1}{2}x$°。
【答案】
(1) $\boxed{100°}$；(2) $\boxed{(90+\dfrac{1}{2}x)°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的性质，角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，解题核心是熟练掌握角平分线和平角的性质，通过合理拆分、转化角之间的数量关系求解，掌握该类题的解题思路可快速应对同类角度运算问题。
【难度系数】
0.7
13.一个角的补角比这个角的余角的3倍少$20°$,这个角的度数是(
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
B
)A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
13.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补。我们可以先设这个角的度数为未知数，分别表示出它的余角和补角，再根据题目给出的“补角比余角的3倍少20°”的等量关系列方程，最后解方程就能得到这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$ x $，则它的余角为$ 90° - x $，补角为$ 180° - x $。
根据题意可列方程：
$ 180 - x = 3(90 - x) - 20 $
展开右边得：$ 180 - x = 270 - 3x - 20 $
化简右边：$ 180 - x = 250 - 3x $
移项得：$ 3x - x = 250 - 180 $
合并同类项得：$ 2x = 70 $
解得：$ x = 35° $
因此这个角的度数是35°，对应选项B。
【答案】B
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题关键是熟练掌握余角、补角的概念，准确找到等量关系列方程求解，掌握方程思想在几何计算中的应用就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补。我们可以先设这个角的度数为未知数，分别表示出它的余角和补角，再根据题目给出的“补角比余角的3倍少20°”的等量关系列方程，最后解方程就能得到这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$ x $，则它的余角为$ 90° - x $，补角为$ 180° - x $。
根据题意可列方程：
$ 180 - x = 3(90 - x) - 20 $
展开右边得：$ 180 - x = 270 - 3x - 20 $
化简右边：$ 180 - x = 250 - 3x $
移项得：$ 3x - x = 250 - 180 $
合并同类项得：$ 2x = 70 $
解得：$ x = 35° $
因此这个角的度数是35°，对应选项B。
【答案】B
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题关键是熟练掌握余角、补角的概念，准确找到等量关系列方程求解，掌握方程思想在几何计算中的应用就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
14.如图，用量角器度量几个角的度数，下列结论正确的有(
①$∠ BOC=60°$；
②$∠ AOD$与$∠ BOC$互补；
③$∠ AOB=∠ DOE$；
④$∠ AOB$是$∠ DOE$的余角；
⑤$OC$平分$∠ BOD$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)①$∠ BOC=60°$；
②$∠ AOD$与$∠ BOC$互补；
③$∠ AOB=∠ DOE$；
④$∠ AOB$是$∠ DOE$的余角；
⑤$OC$平分$∠ BOD$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
14.B
解析
【分析】解题时首先根据量角器的刻度读出题干涉及的各个角的度数，再结合互补、互余、角平分线的定义，逐个判断5个结论的正误，最后统计正确结论的个数，匹配对应选项即可。
【解析】通过量角器度量可得各角度数：$∠ AOB=30°$，$∠ BOC=50°$，$∠ COD=70°$，$∠ DOE=60°$，$∠ AOD=130°$。
对每个结论逐一判断：
①$∠ BOC=50°≠60°$，故①错误；
②互为补角的两个角度数和为$180°$，$∠ AOD+∠ BOC=130°+50°=180°$，因此$∠ AOD$与$∠ BOC$互补，故②正确；
③$∠ AOB=30°$，$∠ DOE=60°$，两个角不相等，故③错误；
④互为余角的两个角度数和为$90°$，$∠ AOB+∠ DOE=30°+60°=90°$，因此$∠ AOB$是$∠ DOE$的余角，故④正确；
⑤角平分线会把一个角分成两个相等的角，若$OC$平分$∠ BOD$，则$∠ BOC=∠ COD$，实际$∠ BOC=50°$，$∠ COD=70°$，二者不相等，故⑤错误。
综上，正确的结论为②④，共2个。
【答案】B
【知识点】量角器的使用，余角和补角的定义，角平分线的定义
【点评】本题考查角的度量与角的相关概念的应用，准确读取角的度数是解题的基础，熟练掌握余角、补角、角平分线的定义是解题的关键。
【难度系数】0.7
【解析】通过量角器度量可得各角度数：$∠ AOB=30°$，$∠ BOC=50°$，$∠ COD=70°$，$∠ DOE=60°$，$∠ AOD=130°$。
对每个结论逐一判断：
①$∠ BOC=50°≠60°$，故①错误；
②互为补角的两个角度数和为$180°$，$∠ AOD+∠ BOC=130°+50°=180°$，因此$∠ AOD$与$∠ BOC$互补，故②正确；
③$∠ AOB=30°$，$∠ DOE=60°$，两个角不相等，故③错误；
④互为余角的两个角度数和为$90°$，$∠ AOB+∠ DOE=30°+60°=90°$，因此$∠ AOB$是$∠ DOE$的余角，故④正确；
⑤角平分线会把一个角分成两个相等的角，若$OC$平分$∠ BOD$，则$∠ BOC=∠ COD$，实际$∠ BOC=50°$，$∠ COD=70°$，二者不相等，故⑤错误。
综上，正确的结论为②④，共2个。
【答案】B
【知识点】量角器的使用，余角和补角的定义，角平分线的定义
【点评】本题考查角的度量与角的相关概念的应用，准确读取角的度数是解题的基础，熟练掌握余角、补角、角平分线的定义是解题的关键。
【难度系数】0.7
15.在一条直线上顺次取A，B，C，D四点，使$AB:CD=1:5$.若$BC=9\ \mathrm{cm}$，$AD=15\ \mathrm{cm}$，则$CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}.$
答案
15.5
解析
【分析】
首先根据顺次四点的位置，可得总线段AD的长度等于AB、BC、CD三条线段长度之和。已知AB与CD的长度比为1:5，我们可以通过设未知数的方式表示两条线段的长度，再代入线段和的等量关系列一元一次方程，求解即可得到CD的长度。
【解析】
∵ A、B、C、D是直线上顺次取的四点
∴ $ AD = AB + BC + CD $
已知 $ AB:CD = 1:5 $，设 $ AB = x\ \mathrm{cm} $，则 $ CD = 5x\ \mathrm{cm} $
将 $ BC=9\ \mathrm{cm} $，$ AD=15\ \mathrm{cm} $代入得：
$ x + 9 + 5x = 15 $
合并同类项得：$ 6x + 9 = 15 $
移项计算得：$ 6x = 6 $，解得 $ x = 1 $
∴ $ CD = 5x = 5×1 = 5\ \mathrm{cm} $
【答案】
5
【知识点】
线段和差计算、比例的应用、一元一次方程求解
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题关键是明确顺次排列的线段和总线段的数量关系，结合比例设未知数列方程是解决这类含比例线段计算问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
首先根据顺次四点的位置，可得总线段AD的长度等于AB、BC、CD三条线段长度之和。已知AB与CD的长度比为1:5，我们可以通过设未知数的方式表示两条线段的长度，再代入线段和的等量关系列一元一次方程，求解即可得到CD的长度。
【解析】
∵ A、B、C、D是直线上顺次取的四点
∴ $ AD = AB + BC + CD $
已知 $ AB:CD = 1:5 $，设 $ AB = x\ \mathrm{cm} $，则 $ CD = 5x\ \mathrm{cm} $
将 $ BC=9\ \mathrm{cm} $，$ AD=15\ \mathrm{cm} $代入得：
$ x + 9 + 5x = 15 $
合并同类项得：$ 6x + 9 = 15 $
移项计算得：$ 6x = 6 $，解得 $ x = 1 $
∴ $ CD = 5x = 5×1 = 5\ \mathrm{cm} $
【答案】
5
【知识点】
线段和差计算、比例的应用、一元一次方程求解
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题关键是明确顺次排列的线段和总线段的数量关系，结合比例设未知数列方程是解决这类含比例线段计算问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
16. 转化思想 若有15支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制(即每两支球队之间都要进行一场比赛)，则15支球队一共要进行
105
场篮球比赛。答案
16.105
解析
【分析】
首先明确单循环制的比赛规则：每两支球队之间仅进行1场比赛。解题时可以从两个角度思考：一是先计算每支球队的比赛场数，每支球队要和除自己之外的其余14支球队各赛1场，先算出包含重复计数的总场次，再剔除重复部分即可得到实际场次；二是通过有序累加的方式，从第一支球队的比赛场数开始依次递减累加，用凑对求和的方式计算总场次，核心是要避免两场球队之间的比赛被重复计数。
【解析】
方法1：
每支球队需要和其余$15-1=14$支球队各赛1场，若直接统计15支球队的参赛次数，总次数为$15×14=210$次。
由于每1场比赛有2支球队参与，上述统计中每场比赛被2支球队各计数1次，存在重复统计，因此实际比赛场数为$210÷2=105$场。
方法2：
按顺序累加计算：第1支球队要和其余14支各赛1场，共14场；第2支球队已经和第1支赛过，只需和剩下13支各赛1场，共13场；……第14支球队只需和第15支赛1场，共1场。
总场数为$14+13+12+\dots+2+1$，首尾两两凑对可得：$(14+1)+(13+2)+\dots+(8+7)$，一共有7组，每组和为15，因此总场数为$7×15=105$场。
【答案】
105
【知识点】
1. 单循环比赛计数
2. 有理数混合运算
3. 规律探究
【点评】
本题是典型的实际计数类问题，解题核心是准确理解单循环赛制的含义，需要规避重复计数的易错点，也可通过归纳规律推导通用计算方法，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
首先明确单循环制的比赛规则：每两支球队之间仅进行1场比赛。解题时可以从两个角度思考：一是先计算每支球队的比赛场数，每支球队要和除自己之外的其余14支球队各赛1场，先算出包含重复计数的总场次，再剔除重复部分即可得到实际场次；二是通过有序累加的方式，从第一支球队的比赛场数开始依次递减累加，用凑对求和的方式计算总场次，核心是要避免两场球队之间的比赛被重复计数。
【解析】
方法1：
每支球队需要和其余$15-1=14$支球队各赛1场，若直接统计15支球队的参赛次数，总次数为$15×14=210$次。
由于每1场比赛有2支球队参与，上述统计中每场比赛被2支球队各计数1次，存在重复统计，因此实际比赛场数为$210÷2=105$场。
方法2：
按顺序累加计算：第1支球队要和其余14支各赛1场，共14场；第2支球队已经和第1支赛过，只需和剩下13支各赛1场，共13场；……第14支球队只需和第15支赛1场，共1场。
总场数为$14+13+12+\dots+2+1$，首尾两两凑对可得：$(14+1)+(13+2)+\dots+(8+7)$，一共有7组，每组和为15，因此总场数为$7×15=105$场。
【答案】
105
【知识点】
1. 单循环比赛计数
2. 有理数混合运算
3. 规律探究
【点评】
本题是典型的实际计数类问题，解题核心是准确理解单循环赛制的含义，需要规避重复计数的易错点，也可通过归纳规律推导通用计算方法，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
17. 分类讨论思想 (1)已知线段AB,C是直线AB上的一点,AB=8,BC=4,点M是线段AC的中点,则线段AM的长为
(2)如图,OC是∠BOD的平分线,OE是∠BOC内部一条射线,过点O作射线OA,在平面内沿箭头方向转动,使得∠AOB:∠BOE=3:2,若∠BOD=120°,∠COE=30°,则∠AOC的度数为
2或6
;(2)如图,OC是∠BOD的平分线,OE是∠BOC内部一条射线,过点O作射线OA,在平面内沿箭头方向转动,使得∠AOB:∠BOE=3:2,若∠BOD=120°,∠COE=30°,则∠AOC的度数为
15°或105°
.答案
17.(1)2或6 (2)15°或105°
解析
【分析】
(1) 由于点C在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此点C存在两种位置：①在线段AB上；②在线段AB的延长线上。解题时先分别计算两种情况下线段AC的长度，再结合线段中点的性质，即可求出AM的长度。
(2) 首先根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，结合∠COE的度数算出∠BOE的度数，再根据已知角度比求出∠AOB的度数。由于射线OA是转动的，存在两种位置情况：①在∠BOD内部；②在∠BOD外部，分别计算两种情况下∠AOC的度数即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当点C在线段AB上时：
AC = AB - BC = 8 - 4 = 4
∵ 点M是线段AC的中点
∴ AM = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×4 = 2
② 当点C在线段AB的延长线上时：
AC = AB + BC = 8 + 4 = 12
∵ 点M是线段AC的中点
∴ AM = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×12 = 6
因此AM的长为2或6。
(2) 先计算固定角的度数：
∵ OC是∠BOD的平分线，∠BOD=120°
∴ ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$×120° = 60°
∵ ∠COE=30°
∴ ∠BOE = ∠BOC - ∠COE = 60° - 30° = 30°
∵ ∠AOB:∠BOE=3:2
∴ ∠AOB = $\frac{3}{2}$×∠BOE = $\frac{3}{2}$×30° = 45°
分两种情况讨论：
① 当OA在∠BOD内部时：
∠AOC = ∠BOC - ∠AOB = 60° - 45° = 15°
② 当OA在∠BOD外部时：
∠AOC = ∠BOC + ∠AOB = 60° + 45° = 105°
因此∠AOC的度数为15°或105°。
【答案】
(1)2或6；(2)15°或105°
【知识点】
线段中点的定义；角平分线的定义；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在几何计算中的应用，解题时要注意题干中“直线上的点”“转动的射线”这类表述通常对应多种位置情况，需全面分析避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 由于点C在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此点C存在两种位置：①在线段AB上；②在线段AB的延长线上。解题时先分别计算两种情况下线段AC的长度，再结合线段中点的性质，即可求出AM的长度。
(2) 首先根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，结合∠COE的度数算出∠BOE的度数，再根据已知角度比求出∠AOB的度数。由于射线OA是转动的，存在两种位置情况：①在∠BOD内部；②在∠BOD外部，分别计算两种情况下∠AOC的度数即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当点C在线段AB上时：
AC = AB - BC = 8 - 4 = 4
∵ 点M是线段AC的中点
∴ AM = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×4 = 2
② 当点C在线段AB的延长线上时：
AC = AB + BC = 8 + 4 = 12
∵ 点M是线段AC的中点
∴ AM = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×12 = 6
因此AM的长为2或6。
(2) 先计算固定角的度数：
∵ OC是∠BOD的平分线，∠BOD=120°
∴ ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$×120° = 60°
∵ ∠COE=30°
∴ ∠BOE = ∠BOC - ∠COE = 60° - 30° = 30°
∵ ∠AOB:∠BOE=3:2
∴ ∠AOB = $\frac{3}{2}$×∠BOE = $\frac{3}{2}$×30° = 45°
分两种情况讨论：
① 当OA在∠BOD内部时：
∠AOC = ∠BOC - ∠AOB = 60° - 45° = 15°
② 当OA在∠BOD外部时：
∠AOC = ∠BOC + ∠AOB = 60° + 45° = 105°
因此∠AOC的度数为15°或105°。
【答案】
(1)2或6；(2)15°或105°
【知识点】
线段中点的定义；角平分线的定义；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在几何计算中的应用，解题时要注意题干中“直线上的点”“转动的射线”这类表述通常对应多种位置情况，需全面分析避免漏解。
【难度系数】
0.6
18.新考法 某娱乐节目中,选手需按墙上的空洞造型(如图所示)摆出相同姿势,才能穿墙而过,否则会被推入水池.类似地,一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞,则该几何体为 (
A
)答案
18.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要读懂题意：“几何体以不同姿势无缝隙穿过空洞”，本质是这个几何体的主视图、左视图、俯视图这三种视图，恰好分别和3个空洞的形状、大小完全匹配。解题时我们只需要逐一判断每个选项的三种视图，找出三个视图刚好对应三个空洞形状的几何体即可。
【解析】
我们先明确三视图的定义：从几何体的正面观察得到的图形叫主视图，从左面观察得到的图形叫左视图，从上面观察得到的图形叫俯视图。
题目要求几何体可以用3种不同姿势穿过空洞，说明该几何体的三种视图恰好分别对应3个空洞的形状。对各选项的三视图进行判断：
选项A的三种视图刚好分别和题中3个空洞的形状一致，符合要求；其余选项的三视图均无法同时匹配3个空洞的形状，不符合要求。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.几何体的三视图 2.视图的实际应用
【点评】
本题结合生活趣味场景考查三视图的相关知识，出题形式灵活，需要同学们熟练掌握常见几何体的三视图特点，能将数学知识和实际应用结合起来求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要读懂题意：“几何体以不同姿势无缝隙穿过空洞”，本质是这个几何体的主视图、左视图、俯视图这三种视图，恰好分别和3个空洞的形状、大小完全匹配。解题时我们只需要逐一判断每个选项的三种视图，找出三个视图刚好对应三个空洞形状的几何体即可。
【解析】
我们先明确三视图的定义：从几何体的正面观察得到的图形叫主视图，从左面观察得到的图形叫左视图，从上面观察得到的图形叫俯视图。
题目要求几何体可以用3种不同姿势穿过空洞，说明该几何体的三种视图恰好分别对应3个空洞的形状。对各选项的三视图进行判断：
选项A的三种视图刚好分别和题中3个空洞的形状一致，符合要求；其余选项的三视图均无法同时匹配3个空洞的形状，不符合要求。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.几何体的三视图 2.视图的实际应用
【点评】
本题结合生活趣味场景考查三视图的相关知识，出题形式灵活，需要同学们熟练掌握常见几何体的三视图特点，能将数学知识和实际应用结合起来求解。
【难度系数】
0.7
19.如图，$∠ AOC = ∠ BOD = 90°$，$∠ AOD = 126°$，则$∠ BOC =$
54°
.答案
19.54°
解析
【分析】
解题时先梳理图中角的和差关系：已知∠AOC和∠BOD都是90°的直角，∠AOD=126°，我们可以通过两种思路求解：①先求∠COD的度数，因为∠AOD由∠AOC和∠COD组成，用∠AOD减去∠AOC得到∠COD，再用直角∠BOD减去∠COD即可得到∠BOC；②也可推导得出∠AOC+∠BOD=∠AOD+∠BOC，直接代入数值计算更简便。
【解析】
解法一：
∵ ∠AOC = 90°，∠AOD = 126°
∴ ∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 126° - 90° = 36°
又
∵ ∠BOD = 90°
∴ ∠BOC = ∠BOD - ∠COD = 90° - 36° = 54°
解法二：
∵ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90°，∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 90°
∴ ∠AOC + ∠BOD = (∠AOB + ∠BOC + ∠COD) + ∠BOC = ∠AOD + ∠BOC
代入已知角度得：90° + 90° = 126° + ∠BOC
解得：∠BOC = 180° - 126° = 54°
【答案】
54°
【知识点】
角的和差运算，直角的定义
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，核心是理清不同角之间的和差数量关系，两种解题方法均属于常规思路，熟练掌握角的和差规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理图中角的和差关系：已知∠AOC和∠BOD都是90°的直角，∠AOD=126°，我们可以通过两种思路求解：①先求∠COD的度数，因为∠AOD由∠AOC和∠COD组成，用∠AOD减去∠AOC得到∠COD，再用直角∠BOD减去∠COD即可得到∠BOC；②也可推导得出∠AOC+∠BOD=∠AOD+∠BOC，直接代入数值计算更简便。
【解析】
解法一：
∵ ∠AOC = 90°，∠AOD = 126°
∴ ∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 126° - 90° = 36°
又
∵ ∠BOD = 90°
∴ ∠BOC = ∠BOD - ∠COD = 90° - 36° = 54°
解法二：
∵ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90°，∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 90°
∴ ∠AOC + ∠BOD = (∠AOB + ∠BOC + ∠COD) + ∠BOC = ∠AOD + ∠BOC
代入已知角度得：90° + 90° = 126° + ∠BOC
解得：∠BOC = 180° - 126° = 54°
【答案】
54°
【知识点】
角的和差运算，直角的定义
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，核心是理清不同角之间的和差数量关系，两种解题方法均属于常规思路，熟练掌握角的和差规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
