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已知关于 $ x $ 的一元一次方程 $ ax - 3 = 4x + 3b $ 的解为 $ x = 7 $，则关于 $ y $ 的一元一次方程 $ a(1 - y) - 3 = 4(1 - y) + 3b $ 的解为 $ y = $$ $。
解析 若令 $ 1 - y = x $，则关于 $ y $ 的一元一次方程可化为 $ ax - 3 = 4x + 3b $，根据题意，该方程的解为 $ x = 7 $，所以 $ 1 - y = 7 $，解得 $ y = -6 $。
答案 －6
解析 若令 $ 1 - y = x $，则关于 $ y $ 的一元一次方程可化为 $ ax - 3 = 4x + 3b $，根据题意，该方程的解为 $ x = 7 $，所以 $ 1 - y = 7 $，解得 $ y = -6 $。
答案 －6
答案
$\boldsymbol{-6}$
解析
【分析】
首先观察两个一元一次方程的结构，发现除了第一个方程中的未知数$x$，在第二个方程中替换成了整式$(1-y)$，其余项完全一致。已知第一个方程的解为$x=7$，我们可以运用整体思想，将第二个方程中的$(1-y)$看作一个整体，等价于第一个方程中的$x$，从而建立关于$y$的简易方程直接求解，不需要先算出$a$、$b$的具体数值，能大幅简化计算。
【解析】
令 $1-y = x$，则关于$y$的方程 $a(1-y) - 3 = 4(1-y) + 3b$ 可转化为：
$ax - 3 = 4x + 3b$
由题意可知，一元一次方程 $ax - 3 = 4x + 3b$ 的解为 $x=7$，因此：
$1 - y = 7$
移项得：$-y = 7 - 1$
合并同类项得：$-y = 6$
系数化为1得：$y = -6$
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
一元一次方程的解；整体换元思想；解一元一次方程
【点评】
本题无需计算参数$a$、$b$的具体值，通过观察方程结构运用整体代换的思想即可快速求解，是解决同结构方程类问题的常用技巧，能有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
首先观察两个一元一次方程的结构，发现除了第一个方程中的未知数$x$，在第二个方程中替换成了整式$(1-y)$，其余项完全一致。已知第一个方程的解为$x=7$，我们可以运用整体思想，将第二个方程中的$(1-y)$看作一个整体，等价于第一个方程中的$x$，从而建立关于$y$的简易方程直接求解，不需要先算出$a$、$b$的具体数值，能大幅简化计算。
【解析】
令 $1-y = x$，则关于$y$的方程 $a(1-y) - 3 = 4(1-y) + 3b$ 可转化为：
$ax - 3 = 4x + 3b$
由题意可知，一元一次方程 $ax - 3 = 4x + 3b$ 的解为 $x=7$，因此：
$1 - y = 7$
移项得：$-y = 7 - 1$
合并同类项得：$-y = 6$
系数化为1得：$y = -6$
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
一元一次方程的解；整体换元思想；解一元一次方程
【点评】
本题无需计算参数$a$、$b$的具体值，通过观察方程结构运用整体代换的思想即可快速求解，是解决同结构方程类问题的常用技巧，能有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
2. 如果$a+2b$的值是1，那么方程$2x=3-2a-4b$的解为
$\boldsymbol{x=\frac{1}{2}}$
。答案
$x=\frac{1}{2}$ 解析 因为$a+2b=1$，等式两边同时乘$-2$，所以$-2a-4b=-2$。
所以$3-2a-4b=3+(-2)=3-2=1$。
所以原方程转化为$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$。
所以$3-2a-4b=3+(-2)=3-2=1$。
所以原方程转化为$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和方程中含字母的代数式的关联，会发现方程右侧的$-2a-4b$可变形为$-2(a+2b)$，和已知的$a+2b=1$刚好对应。因此可以用整体代入的方法，先算出方程右侧的数值，再解一元一次方程就能得到x的解。
【解析】
已知$a+2b=1$，根据等式的性质，将等式两边同时乘$-2$，可得：
$-2(a+2b)=-2×1$，即$-2a-4b=-2$。
把$-2a-4b=-2$代入方程$2x=3-2a-4b$的右侧，计算得：
$3-2a-4b=3+(-2)=1$
此时原方程转化为简易一元一次方程$2x=1$，
方程两边同时除以2，解得$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
整体代入求值，解一元一次方程
【点评】
本题考查整体思想在代数运算中的应用，解题核心是找到已知代数式和待求式的倍数关系，通过整体代入简化计算，不需要单独求解a、b的取值，降低了计算量。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和方程中含字母的代数式的关联，会发现方程右侧的$-2a-4b$可变形为$-2(a+2b)$，和已知的$a+2b=1$刚好对应。因此可以用整体代入的方法，先算出方程右侧的数值，再解一元一次方程就能得到x的解。
【解析】
已知$a+2b=1$，根据等式的性质，将等式两边同时乘$-2$，可得：
$-2(a+2b)=-2×1$，即$-2a-4b=-2$。
把$-2a-4b=-2$代入方程$2x=3-2a-4b$的右侧，计算得：
$3-2a-4b=3+(-2)=1$
此时原方程转化为简易一元一次方程$2x=1$，
方程两边同时除以2，解得$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
整体代入求值，解一元一次方程
【点评】
本题考查整体思想在代数运算中的应用，解题核心是找到已知代数式和待求式的倍数关系，通过整体代入简化计算，不需要单独求解a、b的取值，降低了计算量。
【难度系数】
0.8
小丽同学在做作业时，不小心将方程$2(x-3)-■=x+1$中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是$x=9$，则这个被污染的常数■是()
A.4
B.3
C.2
D.1
解析 设$■=a$，把$x=9$代入$2(x-3)-a=x+1$中，得$2×(9-3)-a=9+1$，解得$a=2$。
答案 C
A.4
B.3
C.2
D.1
解析 设$■=a$，把$x=9$代入$2(x-3)-a=x+1$中，得$2×(9-3)-a=9+1$，解得$a=2$。
答案 C
答案
C
解析
【分析】
解题的核心是利用一元一次方程解的定义：方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值。我们可以先把被污染的常数设为未知数a，已知x=9是原方程的解，将x=9代入原方程后，就能得到一个只含a的一元一次方程，求解该方程即可得到被污染的常数。
【解析】
设被污染的常数■为a。
∵x=9是方程$2(x-3)-a=x+1$的解，将x=9代入方程可得：
$2×(9-3)-a=9+1$
先计算括号内的运算：$2×6 -a=10$
即$12 -a=10$
移项计算得：$a=12-10=2$
因此被污染的常数是2。
【答案】
C
【知识点】
1.一元一次方程的解的定义；2.解一元一次方程
【点评】
本题属于方程解的基础应用题型，核心思路是将已知解代入原方程，把未知常数转化为新方程的未知数求解，解题逻辑直接，掌握方程解的基本概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用一元一次方程解的定义：方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值。我们可以先把被污染的常数设为未知数a，已知x=9是原方程的解，将x=9代入原方程后，就能得到一个只含a的一元一次方程，求解该方程即可得到被污染的常数。
【解析】
设被污染的常数■为a。
∵x=9是方程$2(x-3)-a=x+1$的解，将x=9代入方程可得：
$2×(9-3)-a=9+1$
先计算括号内的运算：$2×6 -a=10$
即$12 -a=10$
移项计算得：$a=12-10=2$
因此被污染的常数是2。
【答案】
C
【知识点】
1.一元一次方程的解的定义；2.解一元一次方程
【点评】
本题属于方程解的基础应用题型，核心思路是将已知解代入原方程，把未知常数转化为新方程的未知数求解，解题逻辑直接，掌握方程解的基本概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
3. 某方程$\frac{x - \blacksquare}{3}=x + 3$，其中一个数字被污渍盖住了，已知该方程的解为$x=-7$，那么$\blacksquare$处的数字应该是(
A.$-5$
B.$-1$
C.$1$
D.$5$
$\boldsymbol{D}$
)A.$-5$
B.$-1$
C.$1$
D.$5$
答案
D 解析 设$\blacksquare$处的数字为$a$，
则$\frac{x - a}{3}=x + 3$，
把$x=-7$代入方程，有$\frac{-7 - a}{3}=-7+3$，
解得$a=5$，
即$\blacksquare$处的数字应该是5。
则$\frac{x - a}{3}=x + 3$，
把$x=-7$代入方程，有$\frac{-7 - a}{3}=-7+3$，
解得$a=5$，
即$\blacksquare$处的数字应该是5。
解析
【分析】
遇到已知方程的解求方程中未知参数的问题时，核心依据是“方程的解能使方程左右两边相等”的性质。首先可将被盖住的数字设为未知数a，再将已知的解x=-7代入原方程，原方程就会转化为仅含有a的一元一次方程，最后解这个一元一次方程即可求出被盖住的数字。
【解析】
设$\blacksquare$处的数字为$a$，则原方程为$\frac{x - a}{3}=x + 3$。
把$x=-7$代入方程，得：
$\frac{-7 - a}{3}=-7+3$
计算等号右侧得$\frac{-7 - a}{3}=-4$
方程两边同时乘3，得：$-7 - a = -12$
移项合并同类项，得：$-a=-5$
系数化为1，得：$a=5$
即$\blacksquare$处的数字为5。
【答案】D
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于方程解的基础应用类题目，解题关键是明确方程的解满足原方程，代入参数后转化为常见的一元一次方程求解即可，掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
遇到已知方程的解求方程中未知参数的问题时，核心依据是“方程的解能使方程左右两边相等”的性质。首先可将被盖住的数字设为未知数a，再将已知的解x=-7代入原方程，原方程就会转化为仅含有a的一元一次方程，最后解这个一元一次方程即可求出被盖住的数字。
【解析】
设$\blacksquare$处的数字为$a$，则原方程为$\frac{x - a}{3}=x + 3$。
把$x=-7$代入方程，得：
$\frac{-7 - a}{3}=-7+3$
计算等号右侧得$\frac{-7 - a}{3}=-4$
方程两边同时乘3，得：$-7 - a = -12$
移项合并同类项，得：$-a=-5$
系数化为1，得：$a=5$
即$\blacksquare$处的数字为5。
【答案】D
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于方程解的基础应用类题目，解题关键是明确方程的解满足原方程，代入参数后转化为常见的一元一次方程求解即可，掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
4. 小明解方程$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{2} - 3$时，由于粗心大意，在去分母时方程右边的－3没有乘6，由此求得的解为$x=2$，试求$a$的值，并求出原方程的解。
答案
解 因为小明在去分母时方程右边的$-3$没有乘6，
所以此时的方程变形为$2(2x-1)=3(x+a)-3$，
把$x=2$代入，得$2×(2×2-1)=3(2+a)-3$，
解得$a=1$，
则原方程应为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-3$，
去分母（方程两边乘6），
得$2(2x-1)=3(x+1)-18$。
去括号，得$4x-2=3x+3-18$。
移项，得$4x-3x=3-18+2$。
合并同类项，得$x=-13$。
所以此时的方程变形为$2(2x-1)=3(x+a)-3$，
把$x=2$代入，得$2×(2×2-1)=3(2+a)-3$，
解得$a=1$，
则原方程应为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-3$，
去分母（方程两边乘6），
得$2(2x-1)=3(x+1)-18$。
去括号，得$4x-2=3x+3-18$。
移项，得$4x-3x=3-18+2$。
合并同类项，得$x=-13$。
解析
【分析】
解题分两个核心步骤：第一步，先根据小明错误的去分母操作，写出他实际求解的错误方程，已知x=2是这个错误方程的正确解，将x=2代入错误方程即可求出a的值；第二步，把求得的a代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项）计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
1. 求a的值：
小明去分母时仅方程右边的-3没有乘6，因此他去分母后得到的错误方程为：
$2(2x-1)=3(x+a)-3$
已知$x=2$是该错误方程的解，将$x=2$代入上式：
$2×(2×2 - 1)=3×(2+a)-3$
化简计算：
左边$=2×3=6$，右边$=6+3a-3=3+3a$
即$6=3+3a$，解得$a=1$。
2. 求原方程的解：
将$a=1$代入原方程，得原方程为：
$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 1}{2} - 3$
按正确步骤解方程：
①去分母：两边同时乘6，得$2(2x-1)=3(x+1)-18$
②去括号：$4x-2=3x+3-18$
③移项：$4x-3x=3-18+2$
④合并同类项：$x=-13$
【答案】
$a=1$，原方程的解为$x=-13$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，去分母法则
【点评】
本题属于典型的一元一次方程错解类问题，解题关键是明确错解是错误变形后方程的正确解，先通过错解求出未知参数，再还原原方程求解，能够有效考查对一元一次方程解法的掌握程度和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
解题分两个核心步骤：第一步，先根据小明错误的去分母操作，写出他实际求解的错误方程，已知x=2是这个错误方程的正确解，将x=2代入错误方程即可求出a的值；第二步，把求得的a代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项）计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
1. 求a的值：
小明去分母时仅方程右边的-3没有乘6，因此他去分母后得到的错误方程为：
$2(2x-1)=3(x+a)-3$
已知$x=2$是该错误方程的解，将$x=2$代入上式：
$2×(2×2 - 1)=3×(2+a)-3$
化简计算：
左边$=2×3=6$，右边$=6+3a-3=3+3a$
即$6=3+3a$，解得$a=1$。
2. 求原方程的解：
将$a=1$代入原方程，得原方程为：
$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 1}{2} - 3$
按正确步骤解方程：
①去分母：两边同时乘6，得$2(2x-1)=3(x+1)-18$
②去括号：$4x-2=3x+3-18$
③移项：$4x-3x=3-18+2$
④合并同类项：$x=-13$
【答案】
$a=1$，原方程的解为$x=-13$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，去分母法则
【点评】
本题属于典型的一元一次方程错解类问题，解题关键是明确错解是错误变形后方程的正确解，先通过错解求出未知参数，再还原原方程求解，能够有效考查对一元一次方程解法的掌握程度和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
如果关于$x$的方程$(m+2)x=8$无解，那么$m$的值为。
解析 因为关于$x$的方程$(m+2)·x=8$无解，所以$m+2=0$，所以$m=-2$。
答案 $-2$
解析 因为关于$x$的方程$(m+2)·x=8$无解，所以$m+2=0$，所以$m=-2$。
答案 $-2$
答案
解：
因为关于$x$的方程$(m+2)x=8$无解，
所以$m+2=0$，
解得$m=-2$。
因为关于$x$的方程$(m+2)x=8$无解，
所以$m+2=0$，
解得$m=-2$。
解析
【分析】对于形如$ax=b$的一元一次方程，解的情况分三种：①当$a≠0$时，方程有唯一解$x=\frac{b}{a}$；②当$a=0$且$b=0$时，方程有无数个解；③当$a=0$且$b≠0$时，等式左右两边不可能相等，方程无解。本题中方程$(m+2)x=8$的右边常数项为8，不等于0，因此要让方程无解，只需让x的系数$m+2=0$，即可求出m的取值。
【解析】
解：因为关于$x$的方程$(m+2)x=8$无解，
方程右边的常数$8≠0$，所以x的系数需为0，
即$m+2=0$，
解得$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元一次方程解的判定、解一元一次方程
【点评】
本题核心考查含参数的一元一次方程无解的条件，解题关键是牢记$ax=b$型方程三种解的对应条件，属于基础题，掌握规律后可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：因为关于$x$的方程$(m+2)x=8$无解，
方程右边的常数$8≠0$，所以x的系数需为0，
即$m+2=0$，
解得$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元一次方程解的判定、解一元一次方程
【点评】
本题核心考查含参数的一元一次方程无解的条件，解题关键是牢记$ax=b$型方程三种解的对应条件，属于基础题，掌握规律后可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
