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1. 下列关于二次函数$y=x^2$图象的说法中,错误的是（
A.图象的形状是一条抛物线
B.图象的开口向上,且关于$y$轴对称
C.图象的顶点是抛物线的最高点
D.图象的顶点坐标是$(0,0)$
C
）A.图象的形状是一条抛物线
B.图象的开口向上,且关于$y$轴对称
C.图象的顶点是抛物线的最高点
D.图象的顶点坐标是$(0,0)$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=x^2$的图象与性质，解题思路为：首先明确题干要求选出错误的说法，再逐一回忆二次函数$y=x^2$的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、最值相关性质，对应每个选项判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 所有二次函数的图象都是抛物线，$y=x^2$是二次函数，因此图象是抛物线，该选项说法正确；
B. 二次函数$y=x^2$中二次项系数为$1＞0$，因此开口向上，且对称轴为$y$轴，图象关于$y$轴对称，该选项说法正确；
C. 由于$y=x^2$开口向上，因此顶点是抛物线的最低点，而非最高点，该选项说法错误；
D. 当$x=0$时，$y$取最小值$0$，因此图象顶点坐标为$(0,0)$，该选项说法正确。
本题要求选错误的，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数y=x²的性质、抛物线特征、二次函数对称性
【点评】
本题属于基础题，主要考查对基础二次函数图象性质的识记，解题时注意看清题干要求选“错误”的说法，避免因粗心误选正确选项。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=x^2$的图象与性质，解题思路为：首先明确题干要求选出错误的说法，再逐一回忆二次函数$y=x^2$的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、最值相关性质，对应每个选项判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 所有二次函数的图象都是抛物线，$y=x^2$是二次函数，因此图象是抛物线，该选项说法正确；
B. 二次函数$y=x^2$中二次项系数为$1＞0$，因此开口向上，且对称轴为$y$轴，图象关于$y$轴对称，该选项说法正确；
C. 由于$y=x^2$开口向上，因此顶点是抛物线的最低点，而非最高点，该选项说法错误；
D. 当$x=0$时，$y$取最小值$0$，因此图象顶点坐标为$(0,0)$，该选项说法正确。
本题要求选错误的，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数y=x²的性质、抛物线特征、二次函数对称性
【点评】
本题属于基础题，主要考查对基础二次函数图象性质的识记，解题时注意看清题干要求选“错误”的说法，避免因粗心误选正确选项。
【难度系数】
0.9
2. 若函数$y=x^{m+1}$是关于$x$的二次函数，则$m$的值为（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
C
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
2.C
解析
【分析】
要解这道题，首先要明确二次函数的定义要求：二次函数中自变量的最高次数为2，且二次项系数不能为0。本题给出的函数$y=x^{m+1}$的二次项系数是1，已经满足不为0的条件，所以只需要让x的指数等于2，列出关于m的一元一次方程求解，就能得到m的值。
【解析】
根据二次函数的定义，若函数是关于x的二次函数，则自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0。
本题中函数$y=x^{m+1}$的二次项系数为$1≠0$，因此只需满足指数条件：
$m+1=2$
解得$m=2-1=1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数定义的掌握，只要牢记二次函数自变量最高次数为2、二次项系数不为0这两个核心要点，就能快速求出参数的值，是二次函数部分的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
要解这道题，首先要明确二次函数的定义要求：二次函数中自变量的最高次数为2，且二次项系数不能为0。本题给出的函数$y=x^{m+1}$的二次项系数是1，已经满足不为0的条件，所以只需要让x的指数等于2，列出关于m的一元一次方程求解，就能得到m的值。
【解析】
根据二次函数的定义，若函数是关于x的二次函数，则自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0。
本题中函数$y=x^{m+1}$的二次项系数为$1≠0$，因此只需满足指数条件：
$m+1=2$
解得$m=2-1=1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数定义的掌握，只要牢记二次函数自变量最高次数为2、二次项系数不为0这两个核心要点，就能快速求出参数的值，是二次函数部分的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
3. 请按要求画出函数$y=x^2$的图象.
(1)将上面表格补充完整；
(2)画出图象；
(3)根据图象,描述函数$y=x^2$的增减性.
(1)将上面表格补充完整；
(2)画出图象；
(3)根据图象,描述函数$y=x^2$的增减性.
答案
解：
(1) 将各x值代入函数解析式$y=x^2$计算得：
当$x=-3$时，$y=9$；当$x=-2$时，$y=4$；当$x=-1$时，$y=1$；当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=1$；当$x=2$时，$y=4$；当$x=3$时，$y=9$。
表格中$y$行从左到右依次填写：$\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{9}$。
(2) 在给定的平面直角坐标系中，描出点$(-3,9)$、$(-2,4)$、$(-1,1)$、$(0,0)$、$(1,1)$、$(2,4)$、$(3,9)$，再用平滑的曲线顺次连接所有点，得到开口向上的抛物线，即为函数$y=x^2$的图象。
(3) 函数增减性：
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
(1) 将各x值代入函数解析式$y=x^2$计算得：
当$x=-3$时，$y=9$；当$x=-2$时，$y=4$；当$x=-1$时，$y=1$；当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=1$；当$x=2$时，$y=4$；当$x=3$时，$y=9$。
表格中$y$行从左到右依次填写：$\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{9}$。
(2) 在给定的平面直角坐标系中，描出点$(-3,9)$、$(-2,4)$、$(-1,1)$、$(0,0)$、$(1,1)$、$(2,4)$、$(3,9)$，再用平滑的曲线顺次连接所有点，得到开口向上的抛物线，即为函数$y=x^2$的图象。
(3) 函数增减性：
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=x^2$的图象绘制及性质分析，解题可按三步推进：① 补全表格属于画图的“列表”步骤，只需将每个给定的x值代入函数解析式$y=x^2$，计算即可得到对应y值；② 画图象遵循“描点、连线”的要求，先把表格中对应的$(x,y)$点在坐标系中标出，再用平滑的曲线按x从小到大的顺序依次连接各点，即可得到抛物线图象；③ 判断增减性可直接观察图象走势：以y轴（$x=0$）为分界，观察左右两侧图象从左到右是上升还是下降，上升则y随x增大而增大，下降则y随x增大而减小。
【解析】
(1) 将各x值代入函数解析式$y=x^2$计算：
当$x=-3$时，$y=(-3)^2=9$；当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$；当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；当$x=0$时，$y=0^2=0$；当$x=1$时，$y=1^2=1$；当$x=2$时，$y=2^2=4$；当$x=3$时，$y=3^2=9$。
因此表格中y行从左到右依次填写：9，4，1，0，1，4，9。
(2) 画图象：先在平面直角坐标系中描出点$(-3,9)$、$(-2,4)$、$(-1,1)$、$(0,0)$、$(1,1)$、$(2,4)$、$(3,9)$，再用平滑的曲线按照x从小到大的顺序顺次连接所有点，得到的开口向上的抛物线即为$y=x^2$的图象。
(3) 观察图象可得增减性：
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) 表格y行从左到右依次为：$\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{9}$；
(2) 描出上述7个点后用平滑曲线顺次连接，得到开口向上的抛物线即为所求图象；
(3) 当$x＜0$时，y随x的增大而减小；当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
【知识点】
二次函数图象画法，二次函数$y=x^2$的性质，函数增减性判断
【点评】
本题是二次函数的基础题，主要考查函数图象绘制的基本步骤（列表、描点、连线）以及结合图象分析函数性质的能力，掌握数形结合的方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=x^2$的图象绘制及性质分析，解题可按三步推进：① 补全表格属于画图的“列表”步骤，只需将每个给定的x值代入函数解析式$y=x^2$，计算即可得到对应y值；② 画图象遵循“描点、连线”的要求，先把表格中对应的$(x,y)$点在坐标系中标出，再用平滑的曲线按x从小到大的顺序依次连接各点，即可得到抛物线图象；③ 判断增减性可直接观察图象走势：以y轴（$x=0$）为分界，观察左右两侧图象从左到右是上升还是下降，上升则y随x增大而增大，下降则y随x增大而减小。
【解析】
(1) 将各x值代入函数解析式$y=x^2$计算：
当$x=-3$时，$y=(-3)^2=9$；当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$；当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；当$x=0$时，$y=0^2=0$；当$x=1$时，$y=1^2=1$；当$x=2$时，$y=2^2=4$；当$x=3$时，$y=3^2=9$。
因此表格中y行从左到右依次填写：9，4，1，0，1，4，9。
(2) 画图象：先在平面直角坐标系中描出点$(-3,9)$、$(-2,4)$、$(-1,1)$、$(0,0)$、$(1,1)$、$(2,4)$、$(3,9)$，再用平滑的曲线按照x从小到大的顺序顺次连接所有点，得到的开口向上的抛物线即为$y=x^2$的图象。
(3) 观察图象可得增减性：
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) 表格y行从左到右依次为：$\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{9}$；
(2) 描出上述7个点后用平滑曲线顺次连接，得到开口向上的抛物线即为所求图象；
(3) 当$x＜0$时，y随x的增大而减小；当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
【知识点】
二次函数图象画法，二次函数$y=x^2$的性质，函数增减性判断
【点评】
本题是二次函数的基础题，主要考查函数图象绘制的基本步骤（列表、描点、连线）以及结合图象分析函数性质的能力，掌握数形结合的方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
4.已知抛物线$y=x^2$，当$-1≤ x≤4$时，$y$的取值范围是（
A.$-1≤ y≤16$
B.$0≤ y≤16$
C.$1≤ y≤16$
D.$-1≤ y≤4$
B
）A.$-1≤ y≤16$
B.$0≤ y≤16$
C.$1≤ y≤16$
D.$-1≤ y≤4$
答案
4.B
解析
【分析】
要确定二次函数在给定自变量区间内的y的取值范围，首先需回忆二次函数$y=x^2$的基本性质：它的开口方向、对称轴、顶点坐标，再判断顶点是否在给定的$x$区间内，进而找到函数在区间内的最小值和最大值，即可得到$y$的取值范围。
【解析】
1. 先分析二次函数$y=x^2$的基本性质：该抛物线开口向上，对称轴为$y$轴（即直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$，因此函数的最小值为顶点处的函数值$y=0$。
2. 验证顶点是否在给定区间内：已知$-1\le x\le4$，$x=0$属于该区间，因此$y$的最小值为$0$。
3. 求区间内的最大值：由于抛物线开口向上，在自变量区间内，距离对称轴越远的点对应的函数值越大。计算区间端点的函数值：当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；当$x=4$时，$y=4^2=16$，$16＞1$，因此$y$的最大值为$16$。
综上，$y$的取值范围是$0\le y\le16$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=x^2$的性质
2. 二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是结合函数开口方向和自变量的取值范围确定最值，要注意优先判断顶点是否在取值区间内，避免直接代入区间端点计算最值导致出错。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数在给定自变量区间内的y的取值范围，首先需回忆二次函数$y=x^2$的基本性质：它的开口方向、对称轴、顶点坐标，再判断顶点是否在给定的$x$区间内，进而找到函数在区间内的最小值和最大值，即可得到$y$的取值范围。
【解析】
1. 先分析二次函数$y=x^2$的基本性质：该抛物线开口向上，对称轴为$y$轴（即直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$，因此函数的最小值为顶点处的函数值$y=0$。
2. 验证顶点是否在给定区间内：已知$-1\le x\le4$，$x=0$属于该区间，因此$y$的最小值为$0$。
3. 求区间内的最大值：由于抛物线开口向上，在自变量区间内，距离对称轴越远的点对应的函数值越大。计算区间端点的函数值：当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；当$x=4$时，$y=4^2=16$，$16＞1$，因此$y$的最大值为$16$。
综上，$y$的取值范围是$0\le y\le16$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=x^2$的性质
2. 二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是结合函数开口方向和自变量的取值范围确定最值，要注意优先判断顶点是否在取值区间内，避免直接代入区间端点计算最值导致出错。
【难度系数】
0.8
5. 已知 $y=(k+2)x^{k^2+3k+4}$ 是关于 $x$ 的二次函数.
(1) $k$ 的值为 ______，图象的对称轴为 ______；
(2) 若$(1,y_1),(3,y_2)$是该函数图象上的点，则$y_1,y_2$的大小关系是 ______；
(3) 请在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出当$-2≤x＜0$时，$y$的取值范围为 ______.
(1) $k$ 的值为 ______，图象的对称轴为 ______；
(2) 若$(1,y_1),(3,y_2)$是该函数图象上的点，则$y_1,y_2$的大小关系是 ______；
(3) 请在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出当$-2≤x＜0$时，$y$的取值范围为 ______.
答案
(1)-1 y轴(或直线x=0)
(2)$y_1＜y_2$
(3)图略 $0＜y≤4$
(2)$y_1＜y_2$
(3)图略 $0＜y≤4$
解析
【分析】
1. 求解k值：首先回忆二次函数的定义，需同时满足两个条件：①自变量x的最高次数为2；②二次项系数不为0。据此列方程和不等式即可求出k值，再代入得到函数解析式，根据二次函数$y=ax^2$的对称轴特点得到对称轴。
2. 比较$y_1、y_2$的大小：先明确所求二次函数的开口方向和对称轴，判断两点所在区间的增减性，再根据横坐标的大小关系判断函数值大小。
3. 求y的取值范围：先确定二次函数的图象特征，再找到区间端点对应的函数值，结合该区间内函数的增减性，即可得出y的取值范围。
【解析】
(1) 因为$y=(k+2)x^{k^2+3k+4}$是关于x的二次函数，因此：
$\begin{cases}k^2+3k+4=2\\k+2≠0\end{cases}$
解方程$k^2+3k+4=2$，整理得$k^2+3k+2=0$，因式分解得$(k+1)(k+2)=0$，解得$k=-1$或$k=-2$。
结合$k+2≠0$即$k≠-2$，可得$k=-1$。
代入得函数解析式为$y=x^2$，该函数的对称轴为y轴（或直线$x=0$）。
(2) 函数$y=x^2$开口向上，对称轴为$x=0$，当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
因为$1＜3$，因此$y_1＜y_2$。
(3) $y=x^2$的图象是开口向上、顶点在原点的抛物线（画图略）。
当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$；当$x=0$时，$y=0$。
在$-2≤ x＜0$区间内，y随x的增大而减小，因此y的取值范围是$0＜y≤4$。
【答案】
(1)$-1$，y轴(或直线$x=0$)
(2)$y_1＜y_2$
(3)图略，$0＜y≤4$
【知识点】
二次函数的定义，二次函数的性质，二次函数的图象
【点评】
本题是二次函数的基础题型，围绕二次函数的定义、增减性、图象特征展开考查，只要熟练掌握二次函数$y=ax^2$的相关性质就能顺利解题，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
1. 求解k值：首先回忆二次函数的定义，需同时满足两个条件：①自变量x的最高次数为2；②二次项系数不为0。据此列方程和不等式即可求出k值，再代入得到函数解析式，根据二次函数$y=ax^2$的对称轴特点得到对称轴。
2. 比较$y_1、y_2$的大小：先明确所求二次函数的开口方向和对称轴，判断两点所在区间的增减性，再根据横坐标的大小关系判断函数值大小。
3. 求y的取值范围：先确定二次函数的图象特征，再找到区间端点对应的函数值，结合该区间内函数的增减性，即可得出y的取值范围。
【解析】
(1) 因为$y=(k+2)x^{k^2+3k+4}$是关于x的二次函数，因此：
$\begin{cases}k^2+3k+4=2\\k+2≠0\end{cases}$
解方程$k^2+3k+4=2$，整理得$k^2+3k+2=0$，因式分解得$(k+1)(k+2)=0$，解得$k=-1$或$k=-2$。
结合$k+2≠0$即$k≠-2$，可得$k=-1$。
代入得函数解析式为$y=x^2$，该函数的对称轴为y轴（或直线$x=0$）。
(2) 函数$y=x^2$开口向上，对称轴为$x=0$，当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
因为$1＜3$，因此$y_1＜y_2$。
(3) $y=x^2$的图象是开口向上、顶点在原点的抛物线（画图略）。
当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$；当$x=0$时，$y=0$。
在$-2≤ x＜0$区间内，y随x的增大而减小，因此y的取值范围是$0＜y≤4$。
【答案】
(1)$-1$，y轴(或直线$x=0$)
(2)$y_1＜y_2$
(3)图略，$0＜y≤4$
【知识点】
二次函数的定义，二次函数的性质，二次函数的图象
【点评】
本题是二次函数的基础题型，围绕二次函数的定义、增减性、图象特征展开考查，只要熟练掌握二次函数$y=ax^2$的相关性质就能顺利解题，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
6.如图,边长为2的正方形ABCD的中心在平面直角坐标系的原点O上,AD//x轴,以O为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B,C两点的抛物线将正方形分割成几部分,则图中阴影部分的面积是
2
.答案
6.2
解析
【分析】
求解不规则图形的面积时，优先考虑利用图形的对称性进行割补，将不规则图形转化为规则图形计算。本题中正方形中心在原点，两条抛物线均以原点为顶点，分别关于y轴对称，且两条抛物线关于x轴对称，整体图形同时具备x轴、y轴对称的性质，我们可以通过对称平移阴影部分，拼接成规则图形后计算面积。
【解析】
1. 先计算正方形的总面积：已知正方形边长为2，因此正方形面积 $S_{正方形}=2×2=4$。
2. 利用对称性割补：根据图形的轴对称性质，x轴下方的阴影部分可割补到x轴上方的对应空白区域，所有阴影部分拼接后恰好等于正方形面积的一半。
3. 计算阴影面积：$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{正方形}=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的对称性，割补法求面积，正方形的性质
【点评】
本题考查转化思想在几何面积计算中的应用，核心是通过观察图形的对称特征，把分散的不规则阴影转化为规则的正方形部分计算，不需要复杂运算即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
求解不规则图形的面积时，优先考虑利用图形的对称性进行割补，将不规则图形转化为规则图形计算。本题中正方形中心在原点，两条抛物线均以原点为顶点，分别关于y轴对称，且两条抛物线关于x轴对称，整体图形同时具备x轴、y轴对称的性质，我们可以通过对称平移阴影部分，拼接成规则图形后计算面积。
【解析】
1. 先计算正方形的总面积：已知正方形边长为2，因此正方形面积 $S_{正方形}=2×2=4$。
2. 利用对称性割补：根据图形的轴对称性质，x轴下方的阴影部分可割补到x轴上方的对应空白区域，所有阴影部分拼接后恰好等于正方形面积的一半。
3. 计算阴影面积：$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{正方形}=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的对称性，割补法求面积，正方形的性质
【点评】
本题考查转化思想在几何面积计算中的应用，核心是通过观察图形的对称特征，把分散的不规则阴影转化为规则的正方形部分计算，不需要复杂运算即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
