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8. 新情境 某市为推进“体重管理年”三年行动，普及健康生活方式，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心$P$，$Q$，$R$的距离相等（$P$，$Q$，$R$三点不共线），则体育中心的位置应选在（
A.$△ PQR$三边的垂直平分线的交点处
B.$△ PQR$的三条角平分线的交点处
C.$△ PQR$的三条高线的交点处
D.$△ PQR$的三条中线的交点处
A
）A.$△ PQR$三边的垂直平分线的交点处
B.$△ PQR$的三条角平分线的交点处
C.$△ PQR$的三条高线的交点处
D.$△ PQR$的三条中线的交点处
答案
8.A
解析
【分析】
解题首先要明确题目的核心要求：找到与不共线的三点P、Q、R距离都相等的点。我们可以先从两点的距离关系入手：回忆线段垂直平分线的判定定理，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先找到到P、Q等距的点的集合，再找到到Q、R等距的点的集合，两个集合的交点就满足到三个点都等距。同时还要区分三角形不同特殊交点的性质，逐一排除错误选项。
【解析】
已知要找的点到P、Q、R三点距离相等：
1. 根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。
到P、Q两点距离相等的点，全部在线段PQ的垂直平分线上；
到Q、R两点距离相等的点，全部在线段QR的垂直平分线上；
这两条垂直平分线的交点，同时满足到P、Q、R三点的距离相等。同理，该交点也在PR的垂直平分线上，即该点是△PQR三边垂直平分线的交点。
2. 分析其余选项：
选项B：三角形三条角平分线的交点是内心，性质是到三角形三边的距离相等，不符合到三个顶点等距的要求；
选项C：三角形三条高线的交点是垂心，无到三个顶点距离相等的性质；
选项D：三角形三条中线的交点是重心，性质是重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点等距。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 三角形外心定义
3. 角平分线的性质
【点评】
本题结合生活实际情境考查三角形特殊点的性质，解题的关键是准确区分不同特殊交点的几何特征，理清“到顶点距离相等”和“到边距离相等”对应的不同结论，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确题目的核心要求：找到与不共线的三点P、Q、R距离都相等的点。我们可以先从两点的距离关系入手：回忆线段垂直平分线的判定定理，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先找到到P、Q等距的点的集合，再找到到Q、R等距的点的集合，两个集合的交点就满足到三个点都等距。同时还要区分三角形不同特殊交点的性质，逐一排除错误选项。
【解析】
已知要找的点到P、Q、R三点距离相等：
1. 根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。
到P、Q两点距离相等的点，全部在线段PQ的垂直平分线上；
到Q、R两点距离相等的点，全部在线段QR的垂直平分线上；
这两条垂直平分线的交点，同时满足到P、Q、R三点的距离相等。同理，该交点也在PR的垂直平分线上，即该点是△PQR三边垂直平分线的交点。
2. 分析其余选项：
选项B：三角形三条角平分线的交点是内心，性质是到三角形三边的距离相等，不符合到三个顶点等距的要求；
选项C：三角形三条高线的交点是垂心，无到三个顶点距离相等的性质；
选项D：三角形三条中线的交点是重心，性质是重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点等距。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 三角形外心定义
3. 角平分线的性质
【点评】
本题结合生活实际情境考查三角形特殊点的性质，解题的关键是准确区分不同特殊交点的几何特征，理清“到顶点距离相等”和“到边距离相等”对应的不同结论，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
9. [2026扬州模拟]如图，已知$△ ABC$，直线$a ⊥ AC$于点$D$，且$AD=CD$，点$P$是直线$a$上一动点，连接$PB$，$PC$。若$AB=5$，$AC=6$，$BC=3$，则$△ PBC$周长的最小值是
8
。答案
9.8
解析
【分析】
首先分析已知条件：直线a垂直AC且平分AC，可知直线a是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得PC=PA。再看△PBC的周长组成：周长=PC+PB+BC，其中BC是固定值3，因此求周长最小值等价于求PC+PB的最小值，将PC替换为PA后，问题转化为求PA+PB的最小值。根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，PA+PB取得最小值，即为AB的长度，代入计算即可得到最小周长。
【解析】
解：
∵ 直线$a⊥ AC$，且$AD=CD$，
∴ 直线$a$是线段$AC$的垂直平分线，
又
∵ 点$P$在直线$a$上，
∴ $PC=PA$。
$△ PBC$的周长$=PC+PB+BC=PA+PB+BC$，
已知$BC=3$为定值，因此要使$△ PBC$周长最小，需使$PA+PB$的值最小。
根据两点之间线段最短，当$A$、$P$、$B$三点共线时，$PA+PB$取得最小值，最小值为$AB=5$。
∴ $△ PBC$周长的最小值为$5+3=8$。
【答案】
8
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 两点之间线段最短
3. 最短路径计算
【点评】
本题是最短路径的典型应用题型，解题关键是利用线段垂直平分线的性质完成相等线段转化，将动态的周长最小值问题转化为定长线段的计算，能够很好地训练学生的转化思维。
【难度系数】
0.7
首先分析已知条件：直线a垂直AC且平分AC，可知直线a是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得PC=PA。再看△PBC的周长组成：周长=PC+PB+BC，其中BC是固定值3，因此求周长最小值等价于求PC+PB的最小值，将PC替换为PA后，问题转化为求PA+PB的最小值。根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，PA+PB取得最小值，即为AB的长度，代入计算即可得到最小周长。
【解析】
解：
∵ 直线$a⊥ AC$，且$AD=CD$，
∴ 直线$a$是线段$AC$的垂直平分线，
又
∵ 点$P$在直线$a$上，
∴ $PC=PA$。
$△ PBC$的周长$=PC+PB+BC=PA+PB+BC$，
已知$BC=3$为定值，因此要使$△ PBC$周长最小，需使$PA+PB$的值最小。
根据两点之间线段最短，当$A$、$P$、$B$三点共线时，$PA+PB$取得最小值，最小值为$AB=5$。
∴ $△ PBC$周长的最小值为$5+3=8$。
【答案】
8
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 两点之间线段最短
3. 最短路径计算
【点评】
本题是最短路径的典型应用题型，解题关键是利用线段垂直平分线的性质完成相等线段转化，将动态的周长最小值问题转化为定长线段的计算，能够很好地训练学生的转化思维。
【难度系数】
0.7
10. [2026合肥期末]如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线$l_1$交AB于点M,交BC于点D,AC的垂直平分线$l_2$交AC于点N,交BC于点E,$l_1$与$l_2$相交于点O,$△ ADE$的周长为12.
(1)求BC的长;
(2)若$∠ ABC=20°,∠ ACB=40°$,则$∠ DAE$的度数为
(3)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上,并说明理由.
(1)求BC的长;
(2)若$∠ ABC=20°,∠ ACB=40°$,则$∠ DAE$的度数为
60°
;(3)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上,并说明理由.
答案
10.解：(1)$BC=12$.(2)$60°$ (3)点O在边BC的垂直平分线上,理由:略.
解析
【分析】
(1) 解题时先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，据此可得AD=BD、AE=CE，将△ADE的周长转化为BC的长度即可求解。
(2) 先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，再根据等边对等角得到∠BAD=∠B、∠CAE=∠C，用∠BAC减去这两个角即可得到∠DAE的度数。
(3) 要判断点O是否在BC的垂直平分线上，只需证明OB=OC即可，结合O在两条垂直平分线上的条件，可推出OB=OA=OC，进而得证。
【解析】
(1)
∵$l_1$是AB的垂直平分线，点D在$l_1$上，
∴$AD=BD$。
∵$l_2$是AC的垂直平分线，点E在$l_2$上，
∴$AE=CE$。
∵△ADE的周长为12，即$AD+DE+AE=12$，
∴$BD+DE+CE=12$，即$BC=12$。
(2) 在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-20°-40°=120°$。
∵$AD=BD$，
∴$∠ BAD=∠ ABC=20°$，
∵$AE=CE$，
∴$∠ CAE=∠ ACB=40°$，
∴$∠ DAE=∠ BAC-∠ BAD-∠ CAE=120°-20°-40°=60°$。
(3) 点O在边BC的垂直平分线上，理由如下：
连接OA、OB、OC。
∵$l_1$是AB的垂直平分线，点O在$l_1$上，
∴$OB=OA$。
∵$l_2$是AC的垂直平分线，点O在$l_2$上，
∴$OA=OC$。
∴$OB=OC$，根据线段垂直平分线的判定定理可知，点O在边BC的垂直平分线上。
【答案】
(1) $BC=12$；(2) $60°$；(3) 点O在边BC的垂直平分线上，理由见解析。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的典型题，解题核心是利用垂直平分线的性质实现线段、角的等量转化，同时要掌握垂直平分线的判定方法，能灵活运用性质和判定解决几何证明问题。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，据此可得AD=BD、AE=CE，将△ADE的周长转化为BC的长度即可求解。
(2) 先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，再根据等边对等角得到∠BAD=∠B、∠CAE=∠C，用∠BAC减去这两个角即可得到∠DAE的度数。
(3) 要判断点O是否在BC的垂直平分线上，只需证明OB=OC即可，结合O在两条垂直平分线上的条件，可推出OB=OA=OC，进而得证。
【解析】
(1)
∵$l_1$是AB的垂直平分线，点D在$l_1$上，
∴$AD=BD$。
∵$l_2$是AC的垂直平分线，点E在$l_2$上，
∴$AE=CE$。
∵△ADE的周长为12，即$AD+DE+AE=12$，
∴$BD+DE+CE=12$，即$BC=12$。
(2) 在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-20°-40°=120°$。
∵$AD=BD$，
∴$∠ BAD=∠ ABC=20°$，
∵$AE=CE$，
∴$∠ CAE=∠ ACB=40°$，
∴$∠ DAE=∠ BAC-∠ BAD-∠ CAE=120°-20°-40°=60°$。
(3) 点O在边BC的垂直平分线上，理由如下：
连接OA、OB、OC。
∵$l_1$是AB的垂直平分线，点O在$l_1$上，
∴$OB=OA$。
∵$l_2$是AC的垂直平分线，点O在$l_2$上，
∴$OA=OC$。
∴$OB=OC$，根据线段垂直平分线的判定定理可知，点O在边BC的垂直平分线上。
【答案】
(1) $BC=12$；(2) $60°$；(3) 点O在边BC的垂直平分线上，理由见解析。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的典型题，解题核心是利用垂直平分线的性质实现线段、角的等量转化，同时要掌握垂直平分线的判定方法，能灵活运用性质和判定解决几何证明问题。
【难度系数】
0.7
11. 几何直观 [2026 滁州期末] 在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，点$D$在射线$BA$上，点$E$在直线$AC$上，$AF$垂直平分线段$DE$，并交直线$BE$于点$F$，连接$DF$，$CD$。
(1) 如图①，若点$D$在线段$BA$的延长线上，点$E$在线段$AC$上。求证：$△ ABE≌△ ACD$；
(2) 如图②，当点$D$在线段$BA$的延长线上，点$E$在线段$AC$的延长线上时。
① 请写出$CD$，$DF$，$BF$之间的数量关系并证明；
② 若$S_{△ ADF}=2S_{△ ABE}$，$CD=\sqrt{5}$，则$BF$的长为
(1) 如图①，若点$D$在线段$BA$的延长线上，点$E$在线段$AC$上。求证：$△ ABE≌△ ACD$；
(2) 如图②，当点$D$在线段$BA$的延长线上，点$E$在线段$AC$的延长线上时。
① 请写出$CD$，$DF$，$BF$之间的数量关系并证明；
② 若$S_{△ ADF}=2S_{△ ABE}$，$CD=\sqrt{5}$，则$BF$的长为
$\sqrt{5}$
。答案
11.(1)证明：略. (2)①解：$CD+BF=DF$.证明：略. ②$\sqrt{5}$
解析
【分析】
(1) 要证明△ABE≌△ACD，首先根据线段垂直平分线的性质可得AD=AE，结合∠BAC=90°可推出∠BAE=∠CAD=90°，再结合已知AB=AC，用SAS判定定理即可证明全等。
(2) ① 先沿用(1)的思路证明△ABE≌△ACD，得到CD=BE；再根据线段垂直平分线的性质得DF=EF，结合线段和EF=BF+BE，等量代换即可得到三者的数量关系。
② 由全等可得BE=CD=$\sqrt{5}$，再根据线段垂直平分线的性质得△ADF和△AEF全等、面积相等，结合$S_{△ADF}=2S_{△ABE}$可推出$S_{△ABF}=S_{△ABE}$，两个三角形同高，底的比等于面积比，即可得BF=BE，求出BF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵AF垂直平分线段DE，
∴AD=AE，
∵∠BAC=90°，点D在BA的延长线上，
∴∠BAE=∠CAD=90°，
在△ABE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ BAE=∠ CAD\\ AE=AD\end{array} $
∴△ABE≌△ACD（SAS）。
(2) ① 数量关系为$\boldsymbol{CD+BF=DF}$，证明如下：
∵AF垂直平分线段DE，
∴AD=AE，DF=EF，
∵∠BAC=90°，点D在BA延长线上，点E在AC延长线上，
∴∠BAE=∠CAD=90°，
在△ABE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ BAE=∠ CAD\\ AE=AD\end{array} $
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE=CD，
∵EF=BF+BE，将DF=EF、BE=CD代入得：$DF=BF+CD$，即$CD+BF=DF$。
② 解：
由①知△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=$\sqrt{5}$，
∵AF垂直平分DE，
∴AD=AE，DF=EF，又AF为公共边，
∴△ADF≌△AEF（SSS），
∴$S_{△ ADF}=S_{△ AEF}$，
∵$S_{△ ADF}=2S_{△ ABE}$，
∴$S_{△ AEF}=2S_{△ ABE}$，
又
∵$S_{△ AEF}=S_{△ ABF}+S_{△ ABE}$，
∴$S_{△ ABF}=S_{△ ABE}$，
△ABF和△ABE以BF、BE为底时，高均为点A到直线BE的距离，高相等，
∴$\frac{S_{△ ABF}}{S_{△ ABE}}=\frac{BF}{BE}=1$，即BF=BE=$\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) ① $CD+BF=DF$，证明见解析；② $\sqrt{5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算
【点评】
本题属于三角形综合题，解题核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到相等的线段，再结合全等三角形的判定和性质推导边、面积的关系，需要具备一定的图形观察和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明△ABE≌△ACD，首先根据线段垂直平分线的性质可得AD=AE，结合∠BAC=90°可推出∠BAE=∠CAD=90°，再结合已知AB=AC，用SAS判定定理即可证明全等。
(2) ① 先沿用(1)的思路证明△ABE≌△ACD，得到CD=BE；再根据线段垂直平分线的性质得DF=EF，结合线段和EF=BF+BE，等量代换即可得到三者的数量关系。
② 由全等可得BE=CD=$\sqrt{5}$，再根据线段垂直平分线的性质得△ADF和△AEF全等、面积相等，结合$S_{△ADF}=2S_{△ABE}$可推出$S_{△ABF}=S_{△ABE}$，两个三角形同高，底的比等于面积比，即可得BF=BE，求出BF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵AF垂直平分线段DE，
∴AD=AE，
∵∠BAC=90°，点D在BA的延长线上，
∴∠BAE=∠CAD=90°，
在△ABE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ BAE=∠ CAD\\ AE=AD\end{array} $
∴△ABE≌△ACD（SAS）。
(2) ① 数量关系为$\boldsymbol{CD+BF=DF}$，证明如下：
∵AF垂直平分线段DE，
∴AD=AE，DF=EF，
∵∠BAC=90°，点D在BA延长线上，点E在AC延长线上，
∴∠BAE=∠CAD=90°，
在△ABE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ BAE=∠ CAD\\ AE=AD\end{array} $
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE=CD，
∵EF=BF+BE，将DF=EF、BE=CD代入得：$DF=BF+CD$，即$CD+BF=DF$。
② 解：
由①知△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=$\sqrt{5}$，
∵AF垂直平分DE，
∴AD=AE，DF=EF，又AF为公共边，
∴△ADF≌△AEF（SSS），
∴$S_{△ ADF}=S_{△ AEF}$，
∵$S_{△ ADF}=2S_{△ ABE}$，
∴$S_{△ AEF}=2S_{△ ABE}$，
又
∵$S_{△ AEF}=S_{△ ABF}+S_{△ ABE}$，
∴$S_{△ ABF}=S_{△ ABE}$，
△ABF和△ABE以BF、BE为底时，高均为点A到直线BE的距离，高相等，
∴$\frac{S_{△ ABF}}{S_{△ ABE}}=\frac{BF}{BE}=1$，即BF=BE=$\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) ① $CD+BF=DF$，证明见解析；② $\sqrt{5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算
【点评】
本题属于三角形综合题，解题核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到相等的线段，再结合全等三角形的判定和性质推导边、面积的关系，需要具备一定的图形观察和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
