7. 一道条件缺失的问题情境:一项工程,甲队单独做需要12天完成……还需要几天完成任务.根据标准答案,老师在黑板上画出线段示意图(如图),设两队合作还需x天完成任务,并列方程为$\frac{1}{12}×2+(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})x=1$.根据以上信息,下列结论中不正确的是 ()


A.乙队单独完成需要8天完成
B.D处代表的代数式为$(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})x$
C.A处代表的实际意义为甲先做2天的工作量
D.甲先做2天,然后甲、乙两队合作5天完成了整个工程

7.D

【分析】
首先明确工程问题的基本关系：总工作量记为1，工作效率=1÷单独完成总工作的时间，工作量=工作效率×工作时间。我们先拆解给出的方程每一项对应的实际含义，再逐一验证每个选项的正确性，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证A选项：方程中$(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})$是甲乙两队的工作效率和，已知甲的效率为$\frac{1}{12}$，可得乙的工作效率为$\frac{1}{8}$，因此乙单独完成工程需要$1÷\frac{1}{8}=8$天，A选项结论正确。
2. 验证B选项：方程第一项$\frac{1}{12}×2$对应线段图B部分，剩余的$(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})x$就是甲乙合作x天的工作量，对应线段图的D部分，B选项结论正确。
3. 验证C选项：$\frac{1}{12}$是甲的工作效率，乘2就是甲工作2天的工作量，因此A处代表甲先做2天的工作量，C选项结论正确。
4. 验证D选项：解方程$\frac{1}{12}×2+(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})x=1$：
化简得$\frac{1}{6}+\frac{5}{24}x=1$
移项得$\frac{5}{24}x=\frac{5}{6}$
解得$x=4$，即甲乙合作4天完成，不是5天，D选项结论错误。
【答案】
D
【知识点】
工程问题；一元一次方程的实际应用
【点评】
本题核心是掌握工程问题的基本数量关系，能准确理解方程中每一项对应的实际意义，通过计算和对应分析即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.7

8.(2024·贵州)在元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 。

8. 20天

【分析】这是典型的行程追及问题，解题核心是找准等量关系：快马追上慢马时，两匹马行驶的总路程相等。我们可以设快马追上慢马需要的天数为未知数，分别表示出快马和慢马行驶的总路程，根据路程相等列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设快马追上慢马需要x天。
快马x天行驶的路程为240x里；
慢马先行12天，一共行驶了(x+12)天，总路程为150(x+12)里。
追上时两马行驶的路程相等，可列方程：
$240x = 150(x + 12)$
展开得：$240x = 150x + 1800$
移项、合并同类项得：$90x = 1800$
解得：$x = 20$
经检验，x=20符合实际题意。
【答案】20天
【知识点】1. 一元一次方程的应用 2. 追及问题
【点评】本题以中国古代数学典籍为背景，富有趣味性，解题的关键是准确抓住追及问题中“追上时路程相等”的核心等量关系，正确列方程求解即可。
【难度系数】0.8

9.我国古代问题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何?这段话的意思是:用绳子量井深,把绳三折来量,井外余绳四尺;把绳四折来量,井外余绳一尺,则绳长、井深各几尺?
(1)设绳长为x尺,请根据题意列方程解答本题.
(2)你还有其他设未知量的方法吗?类比上述思路解答本题.

9. 解:(1)根据题意,得$\frac{1}{3}x-4=\frac{1}{4}x-1$,解得$x=36$.则$\frac{1}{3}x-4=8$.答:绳长36尺,井深8尺.
(2)设井深为y尺.根据题意,得$3(y+4)=4(y+1)$,解得$y=8$.则$3(y+4)=36$.答:绳长36尺,井深8尺.

【分析】
本题为一元一次方程实际应用类问题，解题核心是抓住题目中的不变量建立等量关系：
(1) 设绳长为x尺时，井深是固定不变的。绳三折后每段长度为$\frac{1}{3}x$，减去井外余的4尺就是井深；绳四折后每段长度为$\frac{1}{4}x$，减去井外余的1尺也是井深，两个表示井深的式子相等，据此列方程求解即可。
(2) 若换为间接设未知数，可设井深为y尺，此时绳长是固定不变的。三折测井时，每段绳长为井深加井外余的4尺，乘3就是总绳长；四折测井时，每段绳长为井深加井外余的1尺，乘4也是总绳长，两个表示绳长的式子相等，据此列方程求解即可。
【解析】
(1) 设绳长为x尺，根据井深不变得：
$\frac{1}{3}x-4=\frac{1}{4}x-1$
移项得：$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x=4-1$
合并同类项得：$\frac{1}{12}x=3$
系数化为1得：$x=36$
则井深为$\frac{1}{3}×36-4=8$（尺）
(2) 设井深为y尺，根据绳长不变得：
$3(y+4)=4(y+1)$
去括号得：$3y+12=4y+4$
移项得：$4y-3y=12-4$
解得：$y=8$
则绳长为$3×(8+4)=36$（尺）
答：绳长36尺，井深8尺。
【答案】
绳长36尺，井深8尺
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系建立
3. 设未知数的方法
【点评】
本题是古代经典的数学应用问题，核心考查列一元一次方程解应用题的能力，解题关键是找准题目中的不变量构造等式，两种设未知数的思路分别对应直接设元法和间接设元法，能帮助学生锻炼多角度分析问题的思维。
【难度系数】
0.8

10. 一列火车匀速行驶，经过一条长 300 m 的隧道需要 20 s 的时间. 隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是 10 s. 设这列火车的长度为 x m.
(1)用含 x 的代数式表示:从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车行驶的路程和这段时间内火车的平均速度.
(2)用含 x 的代数式表示:从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车行驶的路程和这段时间内火车的平均速度.
(3)求这列火车的长度.

10. 解:(1)从车头经过灯下到车尾经过灯下,火车行驶的路程为x m,这段时间内火车的平均速度为$\frac{x}{10}$ m/s.
(2)从车头进入隧道到车尾离开隧道,火车行驶的路程为$(x+300)$m,这段时间内火车的平均速度为$\frac{x+300}{20}$ m/s.
(3)根据题意,得$\frac{x}{10}=\frac{x+300}{20}$,解得$x=300$.答:这列火车的长度为300 m.

【分析】
这是行程类的火车过隧道问题，解题核心是明确不同场景下火车行驶的实际路程，结合“速度=路程÷时间”的关系分析，最后利用火车匀速行驶速度不变的特点列方程求解。
1. 第(1)问：固定灯照射火车时，从车头过灯到车尾过灯，火车行驶的路程刚好等于自身长度，已知照射时间为10s，用路程除以时间即可得到对应速度。
2. 第(2)问：火车完全通过隧道的行驶路程为隧道长度加火车自身长度，已知过隧道总时间为20s，同样用路程除以时间得到对应速度。
3. 第(3)问：火车匀速行驶，因此前两问得到的速度相等，据此列一元一次方程求解即可得到火车长度。
【解析】
解：(1) 从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车行驶的路程等于自身长度，即路程为$x$ m；
已知灯光照在火车上的时间是10 s，根据速度公式可得平均速度为$\frac{x}{10}$ m/s。
(2) 从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车行驶的路程为隧道长加火车长，即路程为$(x+300)$ m；
已知经过隧道的时间是20 s，根据速度公式可得平均速度为$\frac{x+300}{20}$ m/s。
(3) 火车匀速行驶，两个场景下的速度相等，列方程得：
$\frac{x}{10}=\frac{x+300}{20}$
去分母得：$2x=x+300$
移项解得：$x=300$
【答案】
(1) 行驶路程为$x$ m，平均速度为$\frac{x}{10}$ m/s；
(2) 行驶路程为$(x+300)$ m，平均速度为$\frac{x+300}{20}$ m/s；
(3) 这列火车的长度为300 m。
【知识点】
列代数式，行程问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的火车过隧道类行程问题，解题关键是准确判断不同行驶场景对应的总路程，抓住匀速运动时速度不变的等量关系即可顺利求解，易错点是计算过隧道的总路程时容易忽略火车自身的长度。
【难度系数】
0.7

11. 问题情境:
某市环城旅游公路暨公路自行车赛道环山而建,全长 136 km,将多处景点串连成一条线,是该市首条自行车专用赛道.周日,一自行车旅行团在该赛道组织骑行活动,甲、乙、丙三人参加了这次活动.甲从赛道一端(记为A)出发向另一端(记为B)骑行,甲出发40 min时,乙从赛道B端出发,两人相向而行.甲到达B端后停止骑行,乙到达A端后也停止骑行,已知甲的平均速度为 50 km/h,乙的平均速度为 30 km/h.设甲骑行的时间为 x h,请解答下列问题.
模型建立:
(1)在甲从赛道A端到B端骑行的过程中,用含 x 的式子表示:甲离开A端的赛程为 km,乙离开B端的赛程为 km.
问题解决:
(2)当甲、乙两人相遇时,x为 h.
(3)已知乙出发 20 min时,丙从 B端出发向A端骑行,平均速度也为 30 km/h.若甲到达B端后停止骑行,丙到达A端后也停止骑行,当甲与丙之间相距的赛程恰好为6 km时,求 x 的值.

11. 解:(1)$50x$ $30(x-\frac{2}{3})$
(2)1.95
(3)$40+20=60(\mathrm{min})=1\ \mathrm{h}$,$\therefore$丙比甲晚出发1 h. 根据题意,得$50x+30(x-1)+6=136$或$50x+30(x-1)-6=136$,解得$x=2$或$x=2.15$.

【分析】
(1) 依据行程问题基本公式“路程=速度×时间”分析：甲骑行时间为x h，速度已知，直接计算甲的路程；乙比甲晚出发40min，先换算单位为$\frac{2}{3}$h，得到乙的骑行时间后乘乙的速度即可。
(2) 甲乙相向而行相遇时，两人走过的路程之和等于总赛程136km，据此列一元一次方程求解即可。
(3) 先计算丙比甲晚出发的总时间：甲先出发40min，丙在乙出发20min后出发，因此丙比甲晚出发60min即1h，可得丙的骑行时间为$(x-1)$h。甲丙相距6km分两种情况讨论：①两人未相遇，此时两人路程和加6等于总路程；②两人相遇后错开6km，此时两人路程和减6等于总路程，分别列方程求解，再验证解是否符合两人骑行的时间范围即可。
【解析】
(1) 甲的平均速度为50km/h，骑行时间为x h，因此甲离开A端的赛程为$50x$km；
$40\mathrm{min}=\frac{40}{60}\mathrm{h}=\frac{2}{3}\mathrm{h}$，乙的骑行时间为$(x-\frac{2}{3})$h，乙的平均速度为30km/h，因此乙离开B端的赛程为$30(x-\frac{2}{3})$km。
(2) 甲乙相遇时两人路程和为136km，列方程：
$50x + 30(x-\frac{2}{3})=136$
展开得$50x+30x-20=136$
合并同类项得$80x=156$
解得$x=1.95$。
(3) $20\mathrm{min}=\frac{1}{3}\mathrm{h}$，丙比甲晚出发的时间为$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1\mathrm{h}$，因此丙的骑行时间为$(x-1)$h，其中x需满足$1≤ x≤ \frac{136}{50}=2.72$（甲到达B端即停止）。
分两种情况列方程：
①相遇前相距6km：$50x + 30(x-1)+6=136$
解得$80x=160$，$x=2$，符合取值范围；
②相遇后相距6km：$50x + 30(x-1)-6=136$
解得$80x=172$，$x=2.15$，符合取值范围。
综上x的值为2或2.15。
【答案】
(1)$50x$，$30(x-\frac{2}{3})$；(2)$1.95$；(3)$2$或$2.15$
【知识点】
行程问题，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题以实际骑行活动为背景，贴近生活，重点考查行程问题中路程、速度、时间三者的关系，解题时要注意不同骑行者的出发时间差，涉及相距特定距离的问题时要注意分相遇前和相遇后两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65