例3 先化简,再求值:$a^2 - ab + 2b^2 - 2b^2 + 2a^2$,其中$a=-\dfrac{1}{3},b=6.$
【思路分析】
思考1:化简的过程就是的过程.
思考2:解决此类问题,先将多项式化简,再将字母的值.
解:

思考1:合并同类项
思考2:代入
解:原式=$3a^2-ab$. 当$a=-\dfrac{1}{3},b=6$时,原式=$\dfrac{7}{3}$.

【分析】
这是一道整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简多项式，化简的核心是合并同类项，即先识别式子中所含字母相同、相同字母指数也相同的项，再将同类项的系数相加，字母和字母指数保持不变，通过合并同类项简化式子，避免直接代入数值的复杂运算；第二步将给定的a、b的值代入化简后的最简整式中，计算得到最终结果。
【解析】
思考1：合并同类项
思考2：代入
解题步骤：
1. 合并同类项化简原式：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - ab + 2b^2 - 2b^2 + 2a^2\\&=(a^2+2a^2)+(2b^2-2b^2)-ab\\&=3a^2+0-ab\\&=3a^2-ab\end{aligned}$
2. 代入$a=-\dfrac{1}{3},b=6$计算：
$\begin{aligned}原式&=3×(-\dfrac{1}{3})^2 - (-\dfrac{1}{3})×6\\&=3×\dfrac{1}{9} + 2\\&=\dfrac{1}{3}+2\\&=\dfrac{7}{3}\end{aligned}$
【答案】
思考1：合并同类项；思考2：代入；化简结果为$3a^2-ab$，原式的值为$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查合并同类项的法则以及整式化简求值的基本步骤，先化简再代入的运算思路能有效减少计算量，降低出错概率，是整式相关运算的基础技能，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

例4 水库中水位第一天连续上升了$b$ h，平均每小时上升2 cm；第二天连续下降了$b$ h，平均每小时下降0.25 cm；第三天连续下降了$b$ h，平均每小时下降2.5 cm. 这三天水位的总变化量是多少？
解:

解:这三天水位的总变化量是下降了0.75b cm(或上升了-0.75b cm).

【分析】
解决本题首先要明确水位上升和下降是一对相反意义的量，我们可以先规定上升为正、下降为负，再根据“变化量=平均每小时变化量×时间”分别求出三天各自的水位变化量，最后将三天的变化量相加，合并同类项后根据结果的符号判断总变化的情况即可。
【解析】
规定水位上升为正，下降为负。
第一天的水位变化量为：$2× b = 2b$（cm）
第二天的水位变化量为：$-0.25× b = -0.25b$（cm）
第三天的水位变化量为：$-2.5× b = -2.5b$（cm）
三天水位的总变化量为：
$2b - 0.25b - 2.5b$
$=(2 - 0.25 - 2.5)b$
$=-0.75b$（cm）
结果为负，说明总变化和规定的正方向相反，即总变化是下降了0.75b cm，也可表述为上升了-0.75b cm。
【答案】
这三天水位的总变化量是下降了0.75b cm(或上升了-0.75b cm)。
【知识点】
相反意义的量；列代数式；合并同类项
【点评】
本题是结合生活实际的代数基础应用题，解题的核心是正确用正负数表示相反意义的量，再准确列出代数式合并同类项得到结果，解题时要注意明确结果的实际意义。
【难度系数】
0.8

3. 合并下列各式的同类项：
(1) $2a^2b + 3a^2b - \frac{1}{2}a^2b$；
(2) $a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - 2ab^2 + b^3$。

3. 解:(1)$\dfrac{9}{2}a^2b$；(2)$a^3-ab^2+b^3$.

【分析】
解这两道题的核心是运用合并同类项的法则，解题思路分两步：第一步先识别式子中的同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项）；第二步将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，没有同类项的项直接保留在结果中即可。
（1）中三个项都是含$a^2b$的同类项，直接合并系数即可；（2）中先找到同类项：$-a^2b$与$a^2b$是同类项，$ab^2$与$-2ab^2$是同类项，$a^3$和$b^3$没有同类项，分别合并各组同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 根据合并同类项法则，将各项系数相加，字母和指数不变：
原式$=(2+3-\dfrac{1}{2})a^2b$
计算系数的和：$2+3=5$，$5-\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2}$
因此化简结果为$\dfrac{9}{2}a^2b$
(2) 先对同类项分组，再分别合并：
原式$=a^3 + (-a^2b+a^2b) + (ab^2-2ab^2) + b^3$
计算每组同类项的和：$-a^2b+a^2b=0$，$ab^2-2ab^2=-ab^2$
因此化简结果为$a^3 - ab^2 + b^3$
【答案】
(1)$\dfrac{9}{2}a^2b$；(2)$a^3-ab^2+b^3$
【知识点】
1. 同类项的识别
2. 合并同类项法则
【点评】
本题是合并同类项的基础题型，重点考查对同类项概念的理解和合并法则的应用，解题时要注意准确识别同类项，合并系数时不要漏看符号，避免计算错误。
【难度系数】
0.85

4. 先化简，再求值：$-x^2 + 5x + 4 + 5x - 4 + 2x^2$，其中$x=-2$

4. 解:原式=$x^2+10x$.
当$x=-2$时,原式=$-16$.

【分析】
遇到先化简再求值的整式类题目，优先通过合并同类项简化代数式，再代入数值计算，可减少运算量、降低出错概率。第一步先识别代数式中的同类项：$-x^2$和$2x^2$是同类项，$5x$和$5x$是同类项，常数项$+4$和$-4$是同类项；第二步按照合并同类项法则（同类项的系数相加，字母和字母的指数不变）合并同类项得到最简式；第三步将$x=-2$代入最简式计算最终结果。
【解析】
解：先合并同类项化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(-x^2 + 2x^2)+(5x + 5x)+(4 - 4)\\&=x^2 + 10x\end{aligned}$
再将$x=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=(-2)^2 + 10×(-2)\\&=4 - 20\\&=-16\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$x^2+10x$，求值结果为$-16$。
【知识点】
合并同类项；代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察合并同类项的法则，掌握先化简后代入的求值思路，能有效避免直接代入原代数式带来的复杂计算，需要熟练掌握同类项的识别方法和合并规则。
【难度系数】
0.8

5. 某食堂原有 30 袋面粉,每袋面粉的质量为m kg. 该食堂昨天中午用去 15 袋面粉,下午又购进同样包装的面粉 100 袋,晚上又用去16 袋,则该食堂现有面粉多少千克?

5. 解:该食堂现有面粉99m kg.

【分析】
解题时首先要理清食堂面粉的数量变化逻辑：原有面粉质量减去两次用去的质量，加上新购进的质量，就是现有面粉的总质量。我们可以先分别表示出每次变化对应的面粉质量，列出代数式后，再按照合并同类项的法则，将同类项的系数相加减，字母保持不变，即可化简得到结果。
【解析】
根据题意，原有面粉总质量为$30m$kg，中午用去面粉质量为$15m$kg，下午购进面粉质量为$100m$kg，晚上用去面粉质量为$16m$kg。
列出现有面粉质量的代数式：
$\begin{aligned}&30m - 15m + 100m - 16m\\=&(30 - 15 + 100 - 16)m\\=&99m \ (\mathrm{kg})\end{aligned}$
【答案】
该食堂现有面粉$99m$kg。
【知识点】
列代数式；合并同类项；整式加减运算
【点评】
本题结合生活中的数量变化场景，考查代数式的应用与合并同类项的基本运算，只要理清数量的增减关系，按照运算法则计算即可，属于基础类题目。
【难度系数】
0.85

1. 单项式$a^2b^3$的同类项为 （）

A.$2a^2b$
B.$3ab^3$
C.$4a^2b^3$
D.$5a^3b^2$

1. C

【分析】
要解决这道题，首先要明确同类项的判定标准：①所含字母完全相同；②相同字母的指数也分别对应相等，且同类项和系数的大小无关。我们只需将每个选项和题干中的单项式$a^2b^3$，按照上述两个标准逐一比对即可选出正确答案。
【解析】
首先回忆同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项，同类项与系数无关。
题干中的单项式为$a^2b^3$，其中$a$的指数是2，$b$的指数是3：
选项A：$2a^2b$中$b$的指数为1，与题干中$b$的指数3不相等，不是同类项；
选项B：$3ab^3$中$a$的指数为1，与题干中$a$的指数2不相等，不是同类项；
选项C：$4a^2b^3$所含字母为$a$、$b$，且$a$的指数为2，$b$的指数为3，符合同类项要求，是同类项；
选项D：$5a^3b^2$中$a$的指数为3、$b$的指数为2，均与题干对应字母的指数不相等，不是同类项。
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是抓住同类项“字母相同、相同字母指数相同”的两个判定要点，不要被系数的差异干扰，就能快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 计算$a^2 + 2a^2$的正确结果是（）

A.$2a^2$
B.$2a^4$
C.$3a^2$
D.$3a^4$

2. C

【分析】
本题考查合并同类项的计算，解题思路如下：第一步先判断式子中的两项是否为同类项，观察可知$a^2$与$2a^2$所含字母相同，相同字母的指数也相同，属于同类项；第二步按照合并同类项的法则进行计算，合并时仅将系数相加，字母和字母的指数保持不变，即可得到最终结果。
【解析】
首先确定$a^2$的系数为1，$2a^2$的系数为2，二者是同类项，根据合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
因此$a^2 + 2a^2 = (1+2)a^2 = 3a^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义；合并同类项法则
【点评】
本题是整式加减的基础题型，解题的关键是熟练掌握合并同类项的规则，注意不要误将字母的指数也相加，避免出现错选B、D的情况。
【难度系数】
0.9

3. 已知$-\dfrac{1}{3}x^3y^n$与$3x^my^2$是同类项，则$m+n$的值是（）

A.2
B.3
C.5
D.6

3. C

【分析】
解题时首先回忆同类项的判定规则：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项是同类项。思路如下：第一步利用同类项的规则，令两个单项式中相同字母的指数对应相等，分别求出m、n的值；第二步将m、n的值代入m+n计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据同类项的定义可知，互为同类项的单项式中相同字母的指数对应相等。
已知$-\dfrac{1}{3}x^3y^n$与$3x^my^2$是同类项：
对于字母$x$，指数对应相等，得$m=3$；
对于字母$y$，指数对应相等，得$n=2$；
因此$m+n=3+2=5$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，主要考查同类项概念的应用，熟练掌握同类项的判定条件是解题的关键。
【难度系数】
0.8

4. 请写出一个 $3a^2b^2c$ 的同类项：.

4. $-a^2b^2c$(答案不唯一)

【分析】
首先回忆同类项的判定规则：判断两个单项式是否为同类项，需要满足两个核心条件：一是所含的字母完全相同，二是相同字母的对应指数也完全相同，同类项与单项式的系数大小、字母的排列顺序均无关。要写出$3a^2b^2c$的同类项，只需保证写出的单项式包含a、b、c三个字母，且a的指数为2、b的指数为2、c的指数为1，系数可任意选取非0的数即可，例如选系数为-1，就能得到符合要求的结果。
【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式互为同类项。
已知原单项式为$3a^2b^2c$，它所含的字母为a、b、c，其中a的指数是2，b的指数是2，c的指数是1。
只要写出满足上述字母及对应指数要求的单项式即可，例如取系数为-1，可得同类项为$-a^2b^2c$，也可选取其他非零系数，因此答案不唯一。
【答案】
$-a^2b^2c$(答案不唯一)
【知识点】
同类项的定义；单项式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对同类项定义的理解，解题时要注意同类项仅由所含字母和相同字母的指数决定，与系数、字母排列顺序无关。
【难度系数】
0.9

5. 若飞机的顺风航速为$a$ km/h,逆风航速为$\frac{2}{3}a$ km/h,则该飞机顺风飞行5 h比逆风飞行3 h多飞行 km.

5. 3a

【分析】
要计算顺风飞行5h比逆风飞行3h多飞行的路程，首先回忆行程问题的基本公式：路程=速度×时间。我们可以分三步思考：第一步，先根据公式分别算出顺风飞行5h的总路程、逆风飞行3h的总路程；第二步，用顺风的总路程减去逆风的总路程，列出代数式；第三步，合并同类项化简代数式，就能得到最终结果。
【解析】
首先计算顺风飞行5h的路程：
根据路程=速度×时间，顺风速度为$a$ km/h，时间为5h，
所以顺风路程 = $ 5 × a = 5a $（km）。
然后计算逆风飞行3h的路程：
逆风速度为$\frac{2}{3}a$ km/h，时间为3h，
所以逆风路程 = $ 3 × \frac{2}{3}a = 2a $（km）。
最后计算多飞行的路程：
$ 5a - 2a = 3a $（km）。
【答案】
3a
【知识点】
行程问题公式、列代数式、合并同类项
【点评】
本题结合常见的顺风逆风行程场景，考查基础的路程计算和整式加减运算，解题关键是正确列出路程的代数式并准确合并同类项。
【难度系数】
0.9