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1.边长为6的正方形的对角线的长是(
A.整数
B.分数
C.有理数
D.无理数
D
)A.整数
B.分数
C.有理数
D.无理数
答案
D
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：第一步，结合正方形的性质，可知其相邻两边与对角线构成直角三角形，两条直角边长度都等于正方形的边长；第二步，利用勾股定理计算出对角线的长度；第三步，根据整数、分数、有理数、无理数的定义，判断对角线长属于哪一类数，对应选出正确选项。
【解析】
解：
∵正方形的边长为6，且正方形的内角均为直角，
∴正方形的对角线与两条相邻边构成直角三角形，两条直角边的长均为6。
根据勾股定理，对角线的长为：
$\sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
∵$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，
∴$6\sqrt{2}$也是无理数。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；无理数的概念；正方形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股定理在正方形中的应用，同时需要学生掌握实数的分类规则，能够准确区分有理数和无理数。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路思考：第一步，结合正方形的性质，可知其相邻两边与对角线构成直角三角形，两条直角边长度都等于正方形的边长；第二步，利用勾股定理计算出对角线的长度；第三步，根据整数、分数、有理数、无理数的定义，判断对角线长属于哪一类数，对应选出正确选项。
【解析】
解：
∵正方形的边长为6，且正方形的内角均为直角，
∴正方形的对角线与两条相邻边构成直角三角形，两条直角边的长均为6。
根据勾股定理，对角线的长为：
$\sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
∵$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，
∴$6\sqrt{2}$也是无理数。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；无理数的概念；正方形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股定理在正方形中的应用，同时需要学生掌握实数的分类规则，能够准确区分有理数和无理数。
【难度系数】
0.8
2. 下列数中是无理数的是(
A.$0.12\dot{2}\dot{3}$
B.$\dfrac{9π}{10}$
C.0
D.$\dfrac{22}{9}$
B
)A.$0.12\dot{2}\dot{3}$
B.$\dfrac{9π}{10}$
C.0
D.$\dfrac{22}{9}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数和无理数的定义：有理数包括整数和分数，所有有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见的无理数包含含π的式子、开方开不尽的数、无限不循环小数三类。接下来我们逐一判断每个选项的所属类别，即可选出正确答案。
【解析】
先明确概念：
1. 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；
2. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。
对各选项逐一判断：
A选项：$0.12\dot{2}\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数，不符合题意；
B选项：π是无限不循环小数，属于无理数，因此$\dfrac{9π}{10}$也是无理数，符合题意；
C选项：0是整数，属于有理数，不符合题意；
D选项：$\dfrac{22}{9}$是分数，属于有理数，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
【点评】
本题主要考查无理数的识别，解题核心是准确区分有理数和无理数的概念，牢记常见的无理数类型，不要误将无限循环小数归为无理数。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确有理数和无理数的定义：有理数包括整数和分数，所有有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见的无理数包含含π的式子、开方开不尽的数、无限不循环小数三类。接下来我们逐一判断每个选项的所属类别，即可选出正确答案。
【解析】
先明确概念：
1. 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；
2. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。
对各选项逐一判断：
A选项：$0.12\dot{2}\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数，不符合题意；
B选项：π是无限不循环小数，属于无理数，因此$\dfrac{9π}{10}$也是无理数，符合题意；
C选项：0是整数，属于有理数，不符合题意；
D选项：$\dfrac{22}{9}$是分数，属于有理数，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
【点评】
本题主要考查无理数的识别，解题核心是准确区分有理数和无理数的概念，牢记常见的无理数类型，不要误将无限循环小数归为无理数。
【难度系数】
0.8
3. 下列说法正确的是(
A.有理数只是有限小数
B.无理数是无限小数
C.无限小数是无理数
D.$\frac{4π}{5}$是分数
B
)A.有理数只是有限小数
B.无理数是无限小数
C.无限小数是无理数
D.$\frac{4π}{5}$是分数
答案
B
解析
【分析】
要解决这道概念辨析题，首先需要牢记有理数、无理数的核心定义，再逐一验证每个选项的说法是否符合定义，排除错误选项即可得到正确答案。思考步骤如下：第一步，回忆核心定义：有理数是整数和分数的统称，可转化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，且分数属于有理数，必须满足分子、分母均为整数（分母不为0）。第二步，逐个核对选项，判断说法正误。
【解析】
先明确核心定义：
①有理数：整数和分数统称为有理数，所有有理数都可化为有限小数或无限循环小数；
②无理数：无限不循环小数叫做无理数，无法表示为两个整数的比值。
对各选项逐一分析：
A. 有理数除了有限小数外，还包括无限循环小数、整数，因此该说法错误；
B. 无理数是无限不循环小数，必然属于无限小数的范畴，因此该说法正确；
C. 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，因此该说法错误；
D. $π$是无理数，因此$\frac{4π}{5}$仍是无理数，而分数属于有理数，因此该说法错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的定义；无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于容易混淆无限小数与无理数的从属关系，以及误认为带有分数线的数就是分数，忽略了分数的分子分母必须为整数的要求，学习时要准确把握概念的内涵和外延。
【难度系数】
0.8
要解决这道概念辨析题，首先需要牢记有理数、无理数的核心定义，再逐一验证每个选项的说法是否符合定义，排除错误选项即可得到正确答案。思考步骤如下：第一步，回忆核心定义：有理数是整数和分数的统称，可转化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，且分数属于有理数，必须满足分子、分母均为整数（分母不为0）。第二步，逐个核对选项，判断说法正误。
【解析】
先明确核心定义：
①有理数：整数和分数统称为有理数，所有有理数都可化为有限小数或无限循环小数；
②无理数：无限不循环小数叫做无理数，无法表示为两个整数的比值。
对各选项逐一分析：
A. 有理数除了有限小数外，还包括无限循环小数、整数，因此该说法错误；
B. 无理数是无限不循环小数，必然属于无限小数的范畴，因此该说法正确；
C. 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，因此该说法错误；
D. $π$是无理数，因此$\frac{4π}{5}$仍是无理数，而分数属于有理数，因此该说法错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的定义；无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于容易混淆无限小数与无理数的从属关系，以及误认为带有分数线的数就是分数，忽略了分数的分子分母必须为整数的要求，学习时要准确把握概念的内涵和外延。
【难度系数】
0.8
4.已知下列一组数：$-8,2.6,-|-3|,-π,-227,1.505\ 005···$（相邻两个5之间0的个数逐次加1），其中无理数有
2
个。答案
2
解析
【分析】
解决本题首先要明确无理数的核心定义：无限不循环小数是无理数。解题时先把题目中含有运算的数化简，再逐一判断每个数是否属于无理数，最后统计符合要求的数的个数即可。判断时要注意区分有理数和无理数的常见类型，避免混淆。
【解析】
解：首先明确：无限不循环小数称为无理数，有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数都可转化为分数，属于有理数）。
我们逐个分析所给的数：
1. $-8$是负整数，属于有理数；
2. $2.6$是有限小数，可化为分数，属于有理数；
3. 先化简$-|-3|$：根据绝对值的性质，$|-3|=3$，因此$-|-3|=-3$，是负整数，属于有理数；
4. $-π$：$π$是典型的无限不循环小数，因此$-π$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $-227$是负整数，属于有理数（若为$-22/7$则是分数，同样属于有理数）；
6. $1.505005···$（相邻两个5之间0的个数逐次加1）：是无限且不循环的小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
2
【知识点】
无理数的定义；绝对值的化简；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记无理数的定义及常见类型，注意先对带运算符号的数化简后再判断，不要误将有规律但不循环的无限小数当成有理数。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确无理数的核心定义：无限不循环小数是无理数。解题时先把题目中含有运算的数化简，再逐一判断每个数是否属于无理数，最后统计符合要求的数的个数即可。判断时要注意区分有理数和无理数的常见类型，避免混淆。
【解析】
解：首先明确：无限不循环小数称为无理数，有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数都可转化为分数，属于有理数）。
我们逐个分析所给的数：
1. $-8$是负整数，属于有理数；
2. $2.6$是有限小数，可化为分数，属于有理数；
3. 先化简$-|-3|$：根据绝对值的性质，$|-3|=3$，因此$-|-3|=-3$，是负整数，属于有理数；
4. $-π$：$π$是典型的无限不循环小数，因此$-π$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $-227$是负整数，属于有理数（若为$-22/7$则是分数，同样属于有理数）；
6. $1.505005···$（相邻两个5之间0的个数逐次加1）：是无限且不循环的小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
2
【知识点】
无理数的定义；绝对值的化简；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记无理数的定义及常见类型，注意先对带运算符号的数化简后再判断，不要误将有规律但不循环的无限小数当成有理数。
【难度系数】
0.8
5.已知直角三角形的两条直角边长分别是4和5，这个直角三角形的斜边长度在两个相邻的整数之间，这两个整数是
6
和7
。答案
6 7
解析
【分析】
要确定直角三角形斜边所在的相邻整数范围，首先需利用勾股定理求出斜边的平方值，再找到与该平方值相邻的两个完全平方数，这两个完全平方数的算术平方根就是所求的相邻整数。具体步骤：第一步根据勾股定理计算斜边的平方；第二步对比常见整数的平方，找到夹着斜边平方的两个相邻整数的平方；第三步对不等式开平方即可得到斜边的范围。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$ c $，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$ c^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 $
因为$ 6^2 = 36 $，$ 7^2 = 49 $，且$ 36 ＜ 41 ＜ 49 $
对不等式同时开平方（边长为正数，开平方不等号方向不变）可得：
$ \sqrt{36} ＜ \sqrt{41} ＜ \sqrt{49} $，即$ 6 ＜ c ＜ 7 $
所以这两个相邻整数是6和7。
【答案】
6 7
【知识点】
勾股定理；无理数的估算
【点评】
本题是基础运算类题目，解题核心是先借助勾股定理得到斜边平方的数值，再通过对完全平方数的记忆快速估算无理数的范围，熟练记忆1到10的平方值能大幅提升这类题的解题速度。
【难度系数】
0.85
要确定直角三角形斜边所在的相邻整数范围，首先需利用勾股定理求出斜边的平方值，再找到与该平方值相邻的两个完全平方数，这两个完全平方数的算术平方根就是所求的相邻整数。具体步骤：第一步根据勾股定理计算斜边的平方；第二步对比常见整数的平方，找到夹着斜边平方的两个相邻整数的平方；第三步对不等式开平方即可得到斜边的范围。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$ c $，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$ c^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 $
因为$ 6^2 = 36 $，$ 7^2 = 49 $，且$ 36 ＜ 41 ＜ 49 $
对不等式同时开平方（边长为正数，开平方不等号方向不变）可得：
$ \sqrt{36} ＜ \sqrt{41} ＜ \sqrt{49} $，即$ 6 ＜ c ＜ 7 $
所以这两个相邻整数是6和7。
【答案】
6 7
【知识点】
勾股定理；无理数的估算
【点评】
本题是基础运算类题目，解题核心是先借助勾股定理得到斜边平方的数值，再通过对完全平方数的记忆快速估算无理数的范围，熟练记忆1到10的平方值能大幅提升这类题的解题速度。
【难度系数】
0.85
6.把下列各数填在相应的集合中：
$-2.5,0,-\frac{π}{3},\frac{22}{7},-2,-0.\dot{5},8,-\frac{2}{3},1.212\ 112\ 111\ 2···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1）。
无理数集合：$\{ ··· \}$；
整数集合：$\{ ··· \}$；
负分数集合：$\{ ··· \}$。
$-2.5,0,-\frac{π}{3},\frac{22}{7},-2,-0.\dot{5},8,-\frac{2}{3},1.212\ 112\ 111\ 2···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1）。
无理数集合：$\{ ··· \}$；
整数集合：$\{ ··· \}$；
负分数集合：$\{ ··· \}$。
答案
无理数集合：$\{-\frac{π}{3},1.212\ 112\ 111\ 2···,···\}$；
整数集合：$\{0,-2,8,···\}$；
负分数集合$\{-2.5,-0.\dot{5},-\frac{2}{3},···\}$。
整数集合：$\{0,-2,8,···\}$；
负分数集合$\{-2.5,-0.\dot{5},-\frac{2}{3},···\}$。
解析
【分析】
要完成这道数的分类题，首先需明确三类集合的定义，再逐个判断给出的数所属类别：1. 先记清核心定义：无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、结构特殊的无限不循环小数等；整数包含正整数、0、负整数；负分数是小于0的分数，有限小数、无限循环小数都属于分数范畴。2. 再对给出的所有数逐一排查，分别归入对应集合，避免漏填或错填。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
$-2.5$是有限小数，属于负分数；
$0$属于整数；
$-\frac{π}{3}$：$π$是无限不循环小数，因此$-\frac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
$\frac{22}{7}$是正分数，不属于题干要求的三类集合；
$-2$是负整数，属于整数；
$-0.\dot{5}$是无限循环小数，属于负分数；
$8$是正整数，属于整数；
$-\frac{2}{3}$是负分数；
$1.212\ 112\ 111\ 2···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数。
据此分类填写即可。
【答案】
无理数集合：$\{-\frac{π}{3},1.212\ 112\ 111\ 2···,···\}$；
整数集合：$\{0,-2,8,···\}$；
负分数集合：$\{-2.5,-0.\dot{5},-\frac{2}{3},···\}$。
【知识点】
无理数的概念，整数的概念，负分数的识别
【点评】
本题考查实数的分类，解题核心是准确掌握不同类型数的定义，尤其要注意区分无限循环小数（属于有理数）和无限不循环小数（属于无理数），不要混淆两类小数的归属。
【难度系数】
0.8
要完成这道数的分类题，首先需明确三类集合的定义，再逐个判断给出的数所属类别：1. 先记清核心定义：无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、结构特殊的无限不循环小数等；整数包含正整数、0、负整数；负分数是小于0的分数，有限小数、无限循环小数都属于分数范畴。2. 再对给出的所有数逐一排查，分别归入对应集合，避免漏填或错填。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
$-2.5$是有限小数，属于负分数；
$0$属于整数；
$-\frac{π}{3}$：$π$是无限不循环小数，因此$-\frac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
$\frac{22}{7}$是正分数，不属于题干要求的三类集合；
$-2$是负整数，属于整数；
$-0.\dot{5}$是无限循环小数，属于负分数；
$8$是正整数，属于整数；
$-\frac{2}{3}$是负分数；
$1.212\ 112\ 111\ 2···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数。
据此分类填写即可。
【答案】
无理数集合：$\{-\frac{π}{3},1.212\ 112\ 111\ 2···,···\}$；
整数集合：$\{0,-2,8,···\}$；
负分数集合：$\{-2.5,-0.\dot{5},-\frac{2}{3},···\}$。
【知识点】
无理数的概念，整数的概念，负分数的识别
【点评】
本题考查实数的分类，解题核心是准确掌握不同类型数的定义，尤其要注意区分无限循环小数（属于有理数）和无限不循环小数（属于无理数），不要混淆两类小数的归属。
【难度系数】
0.8
7. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
$-\dfrac{3}{4}, -1.\dot{4}\dot{2}, π, 3.141\ 6, \dfrac{2}{3}, 0, 4^2, -1.424\ 224\ 222\ 4···$（相邻两个4之间2的个数逐次加1）
$-\dfrac{3}{4}, -1.\dot{4}\dot{2}, π, 3.141\ 6, \dfrac{2}{3}, 0, 4^2, -1.424\ 224\ 222\ 4···$（相邻两个4之间2的个数逐次加1）
答案
(1)有理数：$-\frac{3}{4},-1.\dot{4}\dot{2},3.1416,\frac{2}{3},0,4^2$；
(2)无理数：$-1.424\ 224\ 222\ 4···,π$。
(2)无理数：$-1.424\ 224\ 222\ 4···,π$。
解析
【分析】
要解这道题，首先要牢记有理数和无理数的定义，解题思路如下：第一步先明确判定标准：有理数是整数和分数的统称，所有有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型包括含π的数、有规律但不循环的无限小数等。第二步先对题中需要计算的数化简，比如先算出$4^2=16$，再逐个对照定义判断每个数的类别，最后分别归类即可。
【解析】
解：首先明确两类数的定义：
①有理数：整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；
②无理数：无限不循环小数叫做无理数。
接下来逐个分析各数：
1. $-\dfrac{3}{4}$是分数，属于有理数；
2. $-1.\dot{4}\dot{2}$是无限循环小数，可化为分数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $3.1416$是有限小数，可化为分数，属于有理数；
5. $\dfrac{2}{3}$是分数，属于有理数；
6. $0$是整数，属于有理数；
7. $4^2=16$，是整数，属于有理数；
8. $-1.424\ 224\ 222\ 4···$（相邻两个4之间2的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数。
【答案】
(1)有理数：$-\frac{3}{4},-1.\dot{4}\dot{2},3.1416,\frac{2}{3},0,4^2$；
(2)无理数：$-1.424\ 224\ 222\ 4···,π$
【知识点】
有理数的定义，无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题是基础概念辨析题，解题核心是准确掌握有理数和无理数的本质区别：是否为无限不循环小数。注意不要将有书写规律但无循环节的无限小数错判为有理数，也不要把π和它的近似值3.14混淆，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先要牢记有理数和无理数的定义，解题思路如下：第一步先明确判定标准：有理数是整数和分数的统称，所有有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型包括含π的数、有规律但不循环的无限小数等。第二步先对题中需要计算的数化简，比如先算出$4^2=16$，再逐个对照定义判断每个数的类别，最后分别归类即可。
【解析】
解：首先明确两类数的定义：
①有理数：整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；
②无理数：无限不循环小数叫做无理数。
接下来逐个分析各数：
1. $-\dfrac{3}{4}$是分数，属于有理数；
2. $-1.\dot{4}\dot{2}$是无限循环小数，可化为分数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $3.1416$是有限小数，可化为分数，属于有理数；
5. $\dfrac{2}{3}$是分数，属于有理数；
6. $0$是整数，属于有理数；
7. $4^2=16$，是整数，属于有理数；
8. $-1.424\ 224\ 222\ 4···$（相邻两个4之间2的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数。
【答案】
(1)有理数：$-\frac{3}{4},-1.\dot{4}\dot{2},3.1416,\frac{2}{3},0,4^2$；
(2)无理数：$-1.424\ 224\ 222\ 4···,π$
【知识点】
有理数的定义，无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题是基础概念辨析题，解题核心是准确掌握有理数和无理数的本质区别：是否为无限不循环小数。注意不要将有书写规律但无循环节的无限小数错判为有理数，也不要把π和它的近似值3.14混淆，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
8.若a是无理数，且2＜a＜3，写出一个a的值：
$\sqrt{5}$(答案不唯一)
。答案
$\sqrt{5}$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题思路：首先明确题目要求a需要同时满足两个条件：一是a为无理数，二是a的大小在2和3之间。我们可以先把不等式2＜a＜3两边同时平方，得到4＜a²＜9，因此只要选取4到9之间的非完全平方数，它的算术平方根就满足要求，因为非完全平方数的算术平方根是开方开不尽的数，属于无理数，且大小刚好在2到3之间。
【解析】
第一步：计算2和3的平方：$2^2=4$，$3^2=9$。
第二步：由$2＜a＜3$可得$4＜a^2＜9$。
第三步：在4到9之间任选一个非完全平方数，例如5，它的算术平方根$\sqrt{5}$是无理数，且满足$2＜\sqrt{5}＜3$，符合题意。
【答案】
$\sqrt{5}$(答案不唯一)
【知识点】
1. 无理数的概念
2. 实数大小比较
3. 算术平方根估算
【点评】
本题是开放型基础题，主要考查对无理数概念的理解和算术平方根大小的估算能力，只需同时满足两个给定条件即可，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确题目要求a需要同时满足两个条件：一是a为无理数，二是a的大小在2和3之间。我们可以先把不等式2＜a＜3两边同时平方，得到4＜a²＜9，因此只要选取4到9之间的非完全平方数，它的算术平方根就满足要求，因为非完全平方数的算术平方根是开方开不尽的数，属于无理数，且大小刚好在2到3之间。
【解析】
第一步：计算2和3的平方：$2^2=4$，$3^2=9$。
第二步：由$2＜a＜3$可得$4＜a^2＜9$。
第三步：在4到9之间任选一个非完全平方数，例如5，它的算术平方根$\sqrt{5}$是无理数，且满足$2＜\sqrt{5}＜3$，符合题意。
【答案】
$\sqrt{5}$(答案不唯一)
【知识点】
1. 无理数的概念
2. 实数大小比较
3. 算术平方根估算
【点评】
本题是开放型基础题，主要考查对无理数概念的理解和算术平方根大小的估算能力，只需同时满足两个给定条件即可，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
9.如图，在$3×3$的正方形网格中有一个阴影正方形，每个小正方形的边长均为1。
(1)求阴影正方形的面积(可利用割补法求面积)；
(2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由。
(1)求阴影正方形的面积(可利用割补法求面积)；
(2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由。
答案
(1)阴影正方形的面积为$3×3-4×\frac{1}{2}×2×1=9-4=5$。
(2)2与3之间。
理由如下：
因为$2^2=4,3^2=9,4^2=16$，
所以阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间。
(2)2与3之间。
理由如下：
因为$2^2=4,3^2=9,4^2=16$，
所以阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间。
解析
【分析】
(1) 计算阴影正方形面积时，采用割补法更简便：先求出整个3×3大正方形的总面积，再减去阴影周围4个全等直角三角形的面积和，即可得到阴影部分的面积。
(2) 确定边长范围时，先根据正方形面积和边长的关系，可知边长是阴影面积的算术平方根，再通过比较相邻整数的平方与阴影面积的大小，就能确定边长所在的整数区间。
【解析】
(1) 整个3×3大正方形的面积为$3×3=9$，
阴影周围的每个直角三角形的两条直角边分别为2和1，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×2×1=1$，
4个三角形的总面积为$4×1=4$，
因此阴影正方形的面积为$9-4=5$。
(2) 阴影正方形的边长介于2与3之间。
理由：设阴影正方形边长为$a$，由正方形面积公式可得$a^2=5$，
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜a＜3$，即阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；
(2) 介于$\boxed{2}$与$\boxed{3}$之间，理由：因为$2^2=4,3^2=9,4＜5＜9$，所以阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间。
【知识点】
割补法求面积，正方形面积计算，无理数估算
【点评】
本题结合网格背景考查不规则图形面积计算和无理数大小估算，解题核心是灵活运用割补法简化面积计算，掌握通过平方运算估算算术平方根范围的方法，侧重基础方法的应用考查。
【难度系数】
0.8
(1) 计算阴影正方形面积时，采用割补法更简便：先求出整个3×3大正方形的总面积，再减去阴影周围4个全等直角三角形的面积和，即可得到阴影部分的面积。
(2) 确定边长范围时，先根据正方形面积和边长的关系，可知边长是阴影面积的算术平方根，再通过比较相邻整数的平方与阴影面积的大小，就能确定边长所在的整数区间。
【解析】
(1) 整个3×3大正方形的面积为$3×3=9$，
阴影周围的每个直角三角形的两条直角边分别为2和1，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×2×1=1$，
4个三角形的总面积为$4×1=4$，
因此阴影正方形的面积为$9-4=5$。
(2) 阴影正方形的边长介于2与3之间。
理由：设阴影正方形边长为$a$，由正方形面积公式可得$a^2=5$，
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜a＜3$，即阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；
(2) 介于$\boxed{2}$与$\boxed{3}$之间，理由：因为$2^2=4,3^2=9,4＜5＜9$，所以阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间。
【知识点】
割补法求面积，正方形面积计算，无理数估算
【点评】
本题结合网格背景考查不规则图形面积计算和无理数大小估算，解题核心是灵活运用割补法简化面积计算，掌握通过平方运算估算算术平方根范围的方法，侧重基础方法的应用考查。
【难度系数】
0.8
