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3. 如图,下列判断错误的是(
A.如果$∠ AOB = ∠ COD$,那么$∠ AOC = ∠ BOD$
B.如果$∠ AOB ＞ ∠ COD$,那么$∠ AOC ＞ ∠ BOD$
C.如果$∠ AOB ＜ ∠ COD$,那么$∠ AOC ＜ ∠ BOD$
D.如果$∠ AOB = ∠ BOC$,那么$∠ AOC = ∠ BOD$
D
)A.如果$∠ AOB = ∠ COD$,那么$∠ AOC = ∠ BOD$
B.如果$∠ AOB ＞ ∠ COD$,那么$∠ AOC ＞ ∠ BOD$
C.如果$∠ AOB ＜ ∠ COD$,那么$∠ AOC ＜ ∠ BOD$
D.如果$∠ AOB = ∠ BOC$,那么$∠ AOC = ∠ BOD$
答案
3.D
解析
【分析】
首先明确图中各角的组成：$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$，$∠ BOD = ∠ COD + ∠ BOC$，两个角包含公共部分$∠ BOC$。解题时只需结合角的和差关系、等式与不等式的基本性质，逐个判断选项的正误，找出错误选项即可。
【解析】
首先根据图形可得角的和差关系：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$，$∠ BOD = ∠ COD + ∠ BOC$
对各选项逐一分析：
选项A：若$∠ AOB = ∠ COD$，等式两边同时加上$∠ BOC$，得$∠ AOB+∠ BOC=∠ COD+∠ BOC$，即$∠ AOC=∠ BOD$，该选项判断正确。
选项B：若$∠ AOB ＞ ∠ COD$，不等式两边同时加上$∠ BOC$，不等号方向不变，得$∠ AOB+∠ BOC＞∠ COD+∠ BOC$，即$∠ AOC＞∠ BOD$，该选项判断正确。
选项C：若$∠ AOB ＜ ∠ COD$，不等式两边同时加上$∠ BOC$，不等号方向不变，得$∠ AOB+∠ BOC＜∠ COD+∠ BOC$，即$∠ AOC＜∠ BOD$，该选项判断正确。
选项D：若$∠ AOB = ∠ BOC$，则$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=2∠ AOB$，但$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD$，题目未给出$∠ COD$与$∠ AOB$相等的条件，无法推出$∠ AOC=∠ BOD$，该选项判断错误。
【答案】
D
【知识点】
角的和差、等式性质、角的大小比较
【点评】
本题是基础题型，核心考查角的和差关系的应用，解题的关键是找准两个待比较角的公共部分，结合等式或不等式的性质进行推导即可。
【难度系数】
0.8
首先明确图中各角的组成：$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$，$∠ BOD = ∠ COD + ∠ BOC$，两个角包含公共部分$∠ BOC$。解题时只需结合角的和差关系、等式与不等式的基本性质，逐个判断选项的正误，找出错误选项即可。
【解析】
首先根据图形可得角的和差关系：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$，$∠ BOD = ∠ COD + ∠ BOC$
对各选项逐一分析：
选项A：若$∠ AOB = ∠ COD$，等式两边同时加上$∠ BOC$，得$∠ AOB+∠ BOC=∠ COD+∠ BOC$，即$∠ AOC=∠ BOD$，该选项判断正确。
选项B：若$∠ AOB ＞ ∠ COD$，不等式两边同时加上$∠ BOC$，不等号方向不变，得$∠ AOB+∠ BOC＞∠ COD+∠ BOC$，即$∠ AOC＞∠ BOD$，该选项判断正确。
选项C：若$∠ AOB ＜ ∠ COD$，不等式两边同时加上$∠ BOC$，不等号方向不变，得$∠ AOB+∠ BOC＜∠ COD+∠ BOC$，即$∠ AOC＜∠ BOD$，该选项判断正确。
选项D：若$∠ AOB = ∠ BOC$，则$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=2∠ AOB$，但$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD$，题目未给出$∠ COD$与$∠ AOB$相等的条件，无法推出$∠ AOC=∠ BOD$，该选项判断错误。
【答案】
D
【知识点】
角的和差、等式性质、角的大小比较
【点评】
本题是基础题型，核心考查角的和差关系的应用，解题的关键是找准两个待比较角的公共部分，结合等式或不等式的性质进行推导即可。
【难度系数】
0.8
4.学校、电影院、公园在平面图上分别用点A,B,C表示,电影院在学校的正东方向,公园在学校的南偏西$25°$方向,那么平面图上的$∠ CAB$等于(
A.$115°$
B.$155°$
C.$25°$
D.$65°$
A
)A.$115°$
B.$155°$
C.$25°$
D.$65°$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先要明确平面图“上北下南、左西右东”的方位规则，以学校（点A）为观测点，先分别确定点B、点C对应的射线方向，再通过方向之间的夹角关系计算∠CAB的度数。第一步：确定正东方向的AB和正南方向的夹角是90°；第二步：确定南偏西25°意味着AC与正南方向的夹角是25°；第三步：两个角度相加即可得到∠CAB的总度数。
【解析】
我们以点A为观测点，按照“上北下南，左西右东”绘制方位图：
1. 电影院B在学校A的正东方向，因此射线AB指向正东，正东方向与正南方向的夹角为90°；
2. 公园C在学校A的南偏西25°方向，说明射线AC在正南方向向西偏转25°，即AC与正南方向的夹角为25°；
3. 因此∠CAB的度数为正东到正南的90°加上正南到AC的25°，即$∠ CAB=90°+25°=115°$。
【答案】
A
【知识点】
方位角的识别，角的和差计算
【点评】
本题是方位角结合角计算的基础应用题，解题关键是准确画出方位示意图，明确偏角的偏转方向，避免混淆方向导致角度计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平面图“上北下南、左西右东”的方位规则，以学校（点A）为观测点，先分别确定点B、点C对应的射线方向，再通过方向之间的夹角关系计算∠CAB的度数。第一步：确定正东方向的AB和正南方向的夹角是90°；第二步：确定南偏西25°意味着AC与正南方向的夹角是25°；第三步：两个角度相加即可得到∠CAB的总度数。
【解析】
我们以点A为观测点，按照“上北下南，左西右东”绘制方位图：
1. 电影院B在学校A的正东方向，因此射线AB指向正东，正东方向与正南方向的夹角为90°；
2. 公园C在学校A的南偏西25°方向，说明射线AC在正南方向向西偏转25°，即AC与正南方向的夹角为25°；
3. 因此∠CAB的度数为正东到正南的90°加上正南到AC的25°，即$∠ CAB=90°+25°=115°$。
【答案】
A
【知识点】
方位角的识别，角的和差计算
【点评】
本题是方位角结合角计算的基础应用题，解题关键是准确画出方位示意图，明确偏角的偏转方向，避免混淆方向导致角度计算错误。
【难度系数】
0.8
5. 已知∠1和∠2互余，且∠1=32°10′，则∠2的补角的度数为
122°10'
。答案
5.122°10'
解析
【分析】
解题需要用到余角和补角的核心概念，思路分为两步：第一步，根据“互余的两个角的和为90°”，结合已知的∠1的度数，计算出∠2的度数；第二步，根据“互补的两个角的和为180°”，计算出∠2的补角的度数。计算度分秒时要注意进率为60，借位时需按60换算。
【解析】
解：
∵ ∠1和∠2互余
∴ ∠1 + ∠2 = 90°
已知∠1 = 32°10′，代入得：
∠2 = 90° - 32°10′ = 89°60′ - 32°10′ = 57°50′
又
∵ 互为补角的两个角的和为180°
∴ ∠2的补角 = 180° - 57°50′ = 179°60′ - 57°50′ = 122°10′
【答案】
122°10'
【知识点】
余角的定义；补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查余角、补角的概念和度分秒的简单计算，解题的关键是牢记互余、互补的角的数量关系，计算时注意度分秒的60进制即可避免出错。
【难度系数】
0.8
解题需要用到余角和补角的核心概念，思路分为两步：第一步，根据“互余的两个角的和为90°”，结合已知的∠1的度数，计算出∠2的度数；第二步，根据“互补的两个角的和为180°”，计算出∠2的补角的度数。计算度分秒时要注意进率为60，借位时需按60换算。
【解析】
解：
∵ ∠1和∠2互余
∴ ∠1 + ∠2 = 90°
已知∠1 = 32°10′，代入得：
∠2 = 90° - 32°10′ = 89°60′ - 32°10′ = 57°50′
又
∵ 互为补角的两个角的和为180°
∴ ∠2的补角 = 180° - 57°50′ = 179°60′ - 57°50′ = 122°10′
【答案】
122°10'
【知识点】
余角的定义；补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查余角、补角的概念和度分秒的简单计算，解题的关键是牢记互余、互补的角的数量关系，计算时注意度分秒的60进制即可避免出错。
【难度系数】
0.8
6. 已知射线OC和OD在∠AOB的内部，且∠AOC + ∠BOD = 110°, ∠COD = 25°,则∠AOB的度数为
135°或85°
.答案
6.135°或85°
解析
【分析】
题目未明确射线OC、OD在∠AOB内部的先后顺序，因此需要分两种情况分类讨论计算∠AOB的度数：①OC靠近OA、OD靠近OB，此时∠AOC与∠BOD无重叠部分，∠AOB为两个角的和加中间的∠COD；②OD靠近OA、OC靠近OB，此时∠AOC与∠BOD存在重叠部分∠COD，计算时需减去重复的重叠部分。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当射线顺序为$OA、OC、OD、OB$时，$∠ AOC$与$∠ BOD$无重叠：
$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ COD + ∠ BOD$
代入$∠ AOC+∠ BOD=110°$，$∠ COD=25°$，得：
$∠ AOB=110° + 25°=135°$
2. 当射线顺序为$OA、OD、OC、OB$时，$∠ AOC$与$∠ BOD$重叠部分为$∠ COD$：
$∠ AOC+∠ BOD = ∠ AOB + ∠ COD$
变形得$∠ AOB = (∠ AOC+∠ BOD) - ∠ COD$，代入数值得：
$∠ AOB=110° - 25°=85°$
【答案】
$135°$或$85°$
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线的两种可能位置关系导致漏解，解决未明确位置的几何问题时，要先梳理所有可能的位置情况，再分别计算。
【难度系数】
0.6
题目未明确射线OC、OD在∠AOB内部的先后顺序，因此需要分两种情况分类讨论计算∠AOB的度数：①OC靠近OA、OD靠近OB，此时∠AOC与∠BOD无重叠部分，∠AOB为两个角的和加中间的∠COD；②OD靠近OA、OC靠近OB，此时∠AOC与∠BOD存在重叠部分∠COD，计算时需减去重复的重叠部分。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当射线顺序为$OA、OC、OD、OB$时，$∠ AOC$与$∠ BOD$无重叠：
$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ COD + ∠ BOD$
代入$∠ AOC+∠ BOD=110°$，$∠ COD=25°$，得：
$∠ AOB=110° + 25°=135°$
2. 当射线顺序为$OA、OD、OC、OB$时，$∠ AOC$与$∠ BOD$重叠部分为$∠ COD$：
$∠ AOC+∠ BOD = ∠ AOB + ∠ COD$
变形得$∠ AOB = (∠ AOC+∠ BOD) - ∠ COD$，代入数值得：
$∠ AOB=110° - 25°=85°$
【答案】
$135°$或$85°$
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线的两种可能位置关系导致漏解，解决未明确位置的几何问题时，要先梳理所有可能的位置情况，再分别计算。
【难度系数】
0.6
7.已知一个长方体的长为4 cm,宽为3 cm,高为5 cm,请求出:
(1)长方体所有棱长的和；
(2)长方体的表面积.
(1)长方体所有棱长的和；
(2)长方体的表面积.
答案
7.(1)48 cm (2)94 cm²
解析
【分析】
解决本题可结合长方体的基本特征推导计算方法：
1. 求棱长和：长方体共有12条棱，分为3组，每组含4条长度相等的长、宽、高，因此先算出1组长宽高的和，再乘4即可得到总棱长；
2. 求表面积：长方体共6个面，相对的两个面面积相等，因此先算出长×宽、长×高、宽×高3个不同面的面积和，再乘2即可得到6个面的总面积。
【解析】
(1) 长方体棱长总和公式：$\mathrm{棱长总和}=4×(\mathrm{长}+\mathrm{宽}+\mathrm{高})$
将长=4cm、宽=3cm、高=5cm代入公式：
$4×(4+3+5)=4×12=48(\mathrm{cm})$
(2) 长方体表面积公式：$\mathrm{表面积}=2×(\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{长}×\mathrm{高}+\mathrm{宽}×\mathrm{高})$
代入数值计算：
$2×(4×3 + 4×5 + 3×5)=2×(12+20+15)=2×47=94(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{48\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{94\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
长方体棱长和计算，长方体表面积计算，长方体的特征
【点评】
本题是长方体的基础计算类题目，主要考察对长方体相关公式的掌握程度，只要熟记公式，代入数值认真计算即可得分，注意不要遗漏公式中的倍数，同时要带对对应单位。
【难度系数】
0.85
解决本题可结合长方体的基本特征推导计算方法：
1. 求棱长和：长方体共有12条棱，分为3组，每组含4条长度相等的长、宽、高，因此先算出1组长宽高的和，再乘4即可得到总棱长；
2. 求表面积：长方体共6个面，相对的两个面面积相等，因此先算出长×宽、长×高、宽×高3个不同面的面积和，再乘2即可得到6个面的总面积。
【解析】
(1) 长方体棱长总和公式：$\mathrm{棱长总和}=4×(\mathrm{长}+\mathrm{宽}+\mathrm{高})$
将长=4cm、宽=3cm、高=5cm代入公式：
$4×(4+3+5)=4×12=48(\mathrm{cm})$
(2) 长方体表面积公式：$\mathrm{表面积}=2×(\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{长}×\mathrm{高}+\mathrm{宽}×\mathrm{高})$
代入数值计算：
$2×(4×3 + 4×5 + 3×5)=2×(12+20+15)=2×47=94(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{48\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{94\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
长方体棱长和计算，长方体表面积计算，长方体的特征
【点评】
本题是长方体的基础计算类题目，主要考察对长方体相关公式的掌握程度，只要熟记公式，代入数值认真计算即可得分，注意不要遗漏公式中的倍数，同时要带对对应单位。
【难度系数】
0.85
8. 如图，M为线段AB上任一点，C为AM的中点，D为BM的中点.若AB = 6，求CD的长.
答案
8.3
解析
【分析】
解题时先从已知的中点条件入手，回忆线段中点的性质：中点将线段分为长度相等的两段，每段长度是原线段的一半。观察图形可知CD由CM和MD两段组成，因此可以先把CM、MD分别用对应的母线段AM、BM表示，再结合AM+BM=AB的整体关系，代入已知的AB长度即可求出CD的长，无需单独求AM、BM的具体长度，用整体思想计算更简便。
【解析】
解：
∵ C是AM的中点（已知）
∴ $CM = \frac{1}{2}AM$（线段中点的定义）
∵ D是BM的中点（已知）
∴ $MD = \frac{1}{2}BM$（线段中点的定义）
∴ $CD = CM + MD = \frac{1}{2}AM + \frac{1}{2}BM = \frac{1}{2}(AM + BM)$
又
∵ 点M在线段AB上，$AM + BM = AB = 6$（线段和的定义）
∴ $CD = \frac{1}{2} × 6 = 3$
【答案】
3
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是利用线段中点的性质，结合整体代入的思想，将所求线段转化为已知线段的一半，无需拆分计算各小段长度，降低了运算难度，解题时要注意结合图形梳理线段之间的和差关系。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知的中点条件入手，回忆线段中点的性质：中点将线段分为长度相等的两段，每段长度是原线段的一半。观察图形可知CD由CM和MD两段组成，因此可以先把CM、MD分别用对应的母线段AM、BM表示，再结合AM+BM=AB的整体关系，代入已知的AB长度即可求出CD的长，无需单独求AM、BM的具体长度，用整体思想计算更简便。
【解析】
解：
∵ C是AM的中点（已知）
∴ $CM = \frac{1}{2}AM$（线段中点的定义）
∵ D是BM的中点（已知）
∴ $MD = \frac{1}{2}BM$（线段中点的定义）
∴ $CD = CM + MD = \frac{1}{2}AM + \frac{1}{2}BM = \frac{1}{2}(AM + BM)$
又
∵ 点M在线段AB上，$AM + BM = AB = 6$（线段和的定义）
∴ $CD = \frac{1}{2} × 6 = 3$
【答案】
3
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是利用线段中点的性质，结合整体代入的思想，将所求线段转化为已知线段的一半，无需拆分计算各小段长度，降低了运算难度，解题时要注意结合图形梳理线段之间的和差关系。
【难度系数】
0.9
9. 如图,直线AB与直线CD交于点O,射线OE,OF在∠BOD内部,∠EOF与∠BOC互余,∠AOE与∠BOC互补,已知∠EOF = 30°,求∠AOE的度数.
答案
9.120°
解析
【分析】
首先明确互余、互补的定义：两个角互余说明角度和为90°，两个角互补说明角度和为180°。解题分两步走：第一步根据∠EOF和∠BOC互余的关系，结合已知的∠EOF的度数，先计算出∠BOC的度数；第二步再根据∠AOE和∠BOC互补的关系，用180°减去∠BOC的度数，即可得到∠AOE的度数。
【解析】
解：
∵ ∠EOF与∠BOC互余，
∴ ∠EOF + ∠BOC = 90°，
又
∵ ∠EOF = 30°，
∴ ∠BOC = 90° - 30° = 60°，
∵ ∠AOE与∠BOC互补，
∴ ∠AOE + ∠BOC = 180°，
∴ ∠AOE = 180° - 60° = 120°。
【答案】
120°
【知识点】
余角的定义，补角的定义
【点评】
本题是余角、补角概念的基础应用题，解题核心是准确区分互余、互补对应的角度和，结合已知条件逐步推导即可，注意计算时不要混淆90°和180°的适用场景。
【难度系数】
0.8
首先明确互余、互补的定义：两个角互余说明角度和为90°，两个角互补说明角度和为180°。解题分两步走：第一步根据∠EOF和∠BOC互余的关系，结合已知的∠EOF的度数，先计算出∠BOC的度数；第二步再根据∠AOE和∠BOC互补的关系，用180°减去∠BOC的度数，即可得到∠AOE的度数。
【解析】
解：
∵ ∠EOF与∠BOC互余，
∴ ∠EOF + ∠BOC = 90°，
又
∵ ∠EOF = 30°，
∴ ∠BOC = 90° - 30° = 60°，
∵ ∠AOE与∠BOC互补，
∴ ∠AOE + ∠BOC = 180°，
∴ ∠AOE = 180° - 60° = 120°。
【答案】
120°
【知识点】
余角的定义，补角的定义
【点评】
本题是余角、补角概念的基础应用题，解题核心是准确区分互余、互补对应的角度和，结合已知条件逐步推导即可，注意计算时不要混淆90°和180°的适用场景。
【难度系数】
0.8
