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8. 若不等式组$\begin{cases}\dfrac{x+1}{3}＜\dfrac{x}{2}-1, \\ x＜4a\end{cases}$无解，则$a$的取值范围为（ ）
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≥2$
D.$a＞2$
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≥2$
D.$a＞2$
答案
8.A
解析
【分析】
解题时首先求解第一个一元一次不等式，得到x的取值范围；再明确不等式组无解的含义是两个不等式的解集没有公共部分，对应“大大小小找不到”的解集规律；最后根据两个解集的大小关系列出关于参数a的不等式，注意需要验证临界值（等号）是否符合题意，避免漏解或错解。
【解析】
解：先解不等式$\dfrac{x+1}{3} ＜ \dfrac{x}{2} -1$：
1. 去分母，两边同时乘6得：$2(x+1) ＜ 3x - 6$
2. 去括号得：$2x + 2 ＜ 3x - 6$
3. 移项、合并同类项得：$-x ＜ -8$
4. 系数化为1，不等号方向改变得：$x ＞ 8$
已知第二个不等式为$x ＜ 4a$，且不等式组无解，说明两个解集无公共部分，因此$4a ≤ 8$，解得$a ≤ 2$。
【答案】
A
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组无解的判定
【点评】
本题考查含参数的一元一次不等式组的无解问题，核心是先求出不含参数的不等式的解集，再结合无解的条件建立参数的不等关系，解题时要特别注意验证临界值是否满足题意，避免因漏写等号出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先求解第一个一元一次不等式，得到x的取值范围；再明确不等式组无解的含义是两个不等式的解集没有公共部分，对应“大大小小找不到”的解集规律；最后根据两个解集的大小关系列出关于参数a的不等式，注意需要验证临界值（等号）是否符合题意，避免漏解或错解。
【解析】
解：先解不等式$\dfrac{x+1}{3} ＜ \dfrac{x}{2} -1$：
1. 去分母，两边同时乘6得：$2(x+1) ＜ 3x - 6$
2. 去括号得：$2x + 2 ＜ 3x - 6$
3. 移项、合并同类项得：$-x ＜ -8$
4. 系数化为1，不等号方向改变得：$x ＞ 8$
已知第二个不等式为$x ＜ 4a$，且不等式组无解，说明两个解集无公共部分，因此$4a ≤ 8$，解得$a ≤ 2$。
【答案】
A
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组无解的判定
【点评】
本题考查含参数的一元一次不等式组的无解问题，核心是先求出不含参数的不等式的解集，再结合无解的条件建立参数的不等关系，解题时要特别注意验证临界值是否满足题意，避免因漏写等号出错。
【难度系数】
0.6
9. 已知$4＜m≤5$，则关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - m ＜ 0, \\ 4 - 2x ≤ 0\end{cases}$的整数解的个数为 （ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个不等式的解集后取公共部分，即可得到不等式组的解集；再结合题目给出的参数m的取值范围4＜m≤5，找出解集中包含的所有整数，统计整数的个数就能得出答案。注意解不等式时，若两边同时除以负数，不等号方向要发生改变。
【解析】
解不等式$x - m ＜ 0$，移项可得：$x ＜ m$；
解不等式$4 - 2x ≤ 0$，移项得$-2x ≤ -4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，可得：$x ≥ 2$；
因此不等式组的解集为$2 ≤ x ＜ m$。
已知$4 ＜ m ≤ 5$，则$x$的取值范围为大于等于2，且小于一个大于4、不大于5的数，因此符合条件的整数为2、3、4，共3个。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集；不等式组的整数解
【点评】
本题重点考查一元一次不等式组的解法及整数解的确定，核心是正确求解不等式组的公共解集，再结合参数的取值范围筛选出整数解，解题时需注意不等式性质的正确应用，避免因不等号方向判断错误或边界值处理失误失分。
【难度系数】
0.7
解题时首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个不等式的解集后取公共部分，即可得到不等式组的解集；再结合题目给出的参数m的取值范围4＜m≤5，找出解集中包含的所有整数，统计整数的个数就能得出答案。注意解不等式时，若两边同时除以负数，不等号方向要发生改变。
【解析】
解不等式$x - m ＜ 0$，移项可得：$x ＜ m$；
解不等式$4 - 2x ≤ 0$，移项得$-2x ≤ -4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，可得：$x ≥ 2$；
因此不等式组的解集为$2 ≤ x ＜ m$。
已知$4 ＜ m ≤ 5$，则$x$的取值范围为大于等于2，且小于一个大于4、不大于5的数，因此符合条件的整数为2、3、4，共3个。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集；不等式组的整数解
【点评】
本题重点考查一元一次不等式组的解法及整数解的确定，核心是正确求解不等式组的公共解集，再结合参数的取值范围筛选出整数解，解题时需注意不等式性质的正确应用，避免因不等号方向判断错误或边界值处理失误失分。
【难度系数】
0.7
10. [2025·合肥四十五中期末]将若干只鸡放入若干个笼内,若每个笼里放4只,则有1只鸡无笼可放;若每个笼里放5只,则有1笼无鸡可放,另有1笼没有放满.那么最多有________只鸡,最少有________只鸡.
答案
10.41 29
解析
【分析】
本题属于一元一次不等式组的实际应用问题，解题思路如下：①设未知数：设笼子的数量为x个，根据“每个笼放4只，1只鸡无笼可放”可直接用含x的式子表示出鸡的总数量；②找不等关系：根据第二种放法“1笼无鸡可放，另有1笼没放满”可知，总鸡数比(x-2)个笼各放5只的数量多，同时比(x-1)个笼各放5只的数量少；③列不等式组求解，结合笼子数量为正整数得到x的所有可能取值，再计算对应鸡的数量，即可得到最多、最少的鸡数。
【解析】
解：设共有x个笼子，则鸡的总数量为(4x+1)只。
根据题意可列不等式组：
$\begin{cases}4x+1 ＞ 5(x-2) \\4x+1 ＜ 5(x-1) \end{cases}$
解第一个不等式：
$4x+1 ＞ 5x-10$
移项得：$x ＜ 11$
解第二个不等式：
$4x+1 ＜ 5x-5$
移项得：$x ＞ 6$
所以不等式组的解集为$6 ＜ x ＜ 11$，
因为x为笼子的数量，必须是正整数，所以x的取值为7、8、9、10。
当x取最小值7时，鸡的数量最少，为$4×7+1=29$（只）；
当x取最大值10时，鸡的数量最多，为$4×10+1=41$（只）。
【答案】
41；29
【知识点】
一元一次不等式组的应用；不等式组的解法；实际问题的整数解
【点评】
本题是不等式组实际应用的常见题型，解题的核心是准确从“未放满”的表述中提炼出不等关系，同时要注意结合实际意义，未知数的取值必须为正整数，最后根据整数解计算对应结果即可。
【难度系数】
0.6
本题属于一元一次不等式组的实际应用问题，解题思路如下：①设未知数：设笼子的数量为x个，根据“每个笼放4只，1只鸡无笼可放”可直接用含x的式子表示出鸡的总数量；②找不等关系：根据第二种放法“1笼无鸡可放，另有1笼没放满”可知，总鸡数比(x-2)个笼各放5只的数量多，同时比(x-1)个笼各放5只的数量少；③列不等式组求解，结合笼子数量为正整数得到x的所有可能取值，再计算对应鸡的数量，即可得到最多、最少的鸡数。
【解析】
解：设共有x个笼子，则鸡的总数量为(4x+1)只。
根据题意可列不等式组：
$\begin{cases}4x+1 ＞ 5(x-2) \\4x+1 ＜ 5(x-1) \end{cases}$
解第一个不等式：
$4x+1 ＞ 5x-10$
移项得：$x ＜ 11$
解第二个不等式：
$4x+1 ＜ 5x-5$
移项得：$x ＞ 6$
所以不等式组的解集为$6 ＜ x ＜ 11$，
因为x为笼子的数量，必须是正整数，所以x的取值为7、8、9、10。
当x取最小值7时，鸡的数量最少，为$4×7+1=29$（只）；
当x取最大值10时，鸡的数量最多，为$4×10+1=41$（只）。
【答案】
41；29
【知识点】
一元一次不等式组的应用；不等式组的解法；实际问题的整数解
【点评】
本题是不等式组实际应用的常见题型，解题的核心是准确从“未放满”的表述中提炼出不等关系，同时要注意结合实际意义，未知数的取值必须为正整数，最后根据整数解计算对应结果即可。
【难度系数】
0.6
11. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球. 已知购买 2 个篮球和 3 个足球共需费用510 元；购买 3 个篮球和 5 个足球共需费用 810 元.
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校计划采购篮球、足球共 50 个，并要求篮球不少于 30 个，且总费用不超过 5 500 元，那么有哪几种购买方案？
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校计划采购篮球、足球共 50 个，并要求篮球不少于 30 个，且总费用不超过 5 500 元，那么有哪几种购买方案？
答案
11.解:(1)设篮球的单价为$a$元,足球的单价为$b$元.由题意,得$\begin{cases}2a+3b=510,\\3a+5b=810,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=120,\\b=90.\end{cases}$
答:篮球的单价为 120 元,足球的单价为 90 元.
(2)设采购篮球$x$个,则采购足球$(50-x)$个.由题意,得$\begin{cases}x≥30,\\120x+90(50-x)≤5\ 500,\end{cases}$解得$30≤x≤33\dfrac{1}{3}$.因为$x$为整数,所以$x$的值可为 30,31,32,33,所以共有 4 种购买方案. 方案 1:采购篮球 30 个,采购足球 20 个;方案 2:采购篮球 31 个,采购足球 19 个;方案 3:采购篮球 32 个,采购足球 18 个;方案 4:采购篮球 33 个,采购足球 17 个.
答:篮球的单价为 120 元,足球的单价为 90 元.
(2)设采购篮球$x$个,则采购足球$(50-x)$个.由题意,得$\begin{cases}x≥30,\\120x+90(50-x)≤5\ 500,\end{cases}$解得$30≤x≤33\dfrac{1}{3}$.因为$x$为整数,所以$x$的值可为 30,31,32,33,所以共有 4 种购买方案. 方案 1:采购篮球 30 个,采购足球 20 个;方案 2:采购篮球 31 个,采购足球 19 个;方案 3:采购篮球 32 个,采购足球 18 个;方案 4:采购篮球 33 个,采购足球 17 个.
解析
【分析】
(1) 第一问求篮球和足球的单价，题干给出了两种购买组合的总费用，我们可以分别设两种球的单价为未知数，根据两次购买的总费用等量关系列出二元一次方程组，求解方程组即可得到两种球的单价。
(2) 第二问需要确定购买方案，已知采购总数量、篮球数量的下限和总费用的上限，我们可以设采购篮球的数量为x，那么足球数量就是总数量减去x，再根据“篮球数量不少于30个”“总费用不超过5500元”两个不等关系列出一元一次不等式组，求出x的取值范围，结合x为正整数的实际意义，就能得到所有符合条件的x值，对应得出所有购买方案。
【解析】
(1) 设篮球的单价为$a$元，足球的单价为$b$元。
由题意得：
$\begin{cases}2a+3b=510\\3a+5b=810\end{cases}$
给第一个方程两边乘3得$6a+9b=1530$，第二个方程两边乘2得$6a+10b=1620$，用第二个式子减去第一个式子得$b=90$，将$b=90$代入$2a+3×90=510$，解得$a=120$。
即$\begin{cases}a=120\\b=90\end{cases}$
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元。
(2) 设采购篮球$x$个，则采购足球$(50-x)$个。
由题意得：
$\begin{cases}x≥30\\120x+90(50-x)≤5500\end{cases}$
解第二个不等式：$120x+4500-90x≤5500$，化简得$30x≤1000$，解得$x≤33\dfrac{1}{3}$。
结合第一个不等式可得$30≤ x≤33\dfrac{1}{3}$。
因为$x$为正整数，所以$x$可取30、31、32、33，对应共有4种购买方案：
方案1：采购篮球30个，足球$50-30=20$个；
方案2：采购篮球31个，足球$50-31=19$个；
方案3：采购篮球32个，足球$50-32=18$个；
方案4：采购篮球33个，足球$50-33=17$个。
【答案】
(1) 篮球单价为120元，足球单价为90元；
(2) 共有4种购买方案：①采购篮球30个，足球20个；②采购篮球31个，足球19个；③采购篮球32个，足球18个；④采购篮球33个，足球17个。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式组应用；方案设计
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，结合了方程与不等式两个模块的知识，解题时需要准确提取题干中的等量和不等关系，同时要注意未知数的实际意义，结合整数解筛选出符合要求的方案，避免出现不符合实际的错误结果。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求篮球和足球的单价，题干给出了两种购买组合的总费用，我们可以分别设两种球的单价为未知数，根据两次购买的总费用等量关系列出二元一次方程组，求解方程组即可得到两种球的单价。
(2) 第二问需要确定购买方案，已知采购总数量、篮球数量的下限和总费用的上限，我们可以设采购篮球的数量为x，那么足球数量就是总数量减去x，再根据“篮球数量不少于30个”“总费用不超过5500元”两个不等关系列出一元一次不等式组，求出x的取值范围，结合x为正整数的实际意义，就能得到所有符合条件的x值，对应得出所有购买方案。
【解析】
(1) 设篮球的单价为$a$元，足球的单价为$b$元。
由题意得：
$\begin{cases}2a+3b=510\\3a+5b=810\end{cases}$
给第一个方程两边乘3得$6a+9b=1530$，第二个方程两边乘2得$6a+10b=1620$，用第二个式子减去第一个式子得$b=90$，将$b=90$代入$2a+3×90=510$，解得$a=120$。
即$\begin{cases}a=120\\b=90\end{cases}$
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元。
(2) 设采购篮球$x$个，则采购足球$(50-x)$个。
由题意得：
$\begin{cases}x≥30\\120x+90(50-x)≤5500\end{cases}$
解第二个不等式：$120x+4500-90x≤5500$，化简得$30x≤1000$，解得$x≤33\dfrac{1}{3}$。
结合第一个不等式可得$30≤ x≤33\dfrac{1}{3}$。
因为$x$为正整数，所以$x$可取30、31、32、33，对应共有4种购买方案：
方案1：采购篮球30个，足球$50-30=20$个；
方案2：采购篮球31个，足球$50-31=19$个；
方案3：采购篮球32个，足球$50-32=18$个；
方案4：采购篮球33个，足球$50-33=17$个。
【答案】
(1) 篮球单价为120元，足球单价为90元；
(2) 共有4种购买方案：①采购篮球30个，足球20个；②采购篮球31个，足球19个；③采购篮球32个，足球18个；④采购篮球33个，足球17个。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式组应用；方案设计
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，结合了方程与不等式两个模块的知识，解题时需要准确提取题干中的等量和不等关系，同时要注意未知数的实际意义，结合整数解筛选出符合要求的方案，避免出现不符合实际的错误结果。
【难度系数】
0.7
12. 已知方程组$\begin{cases} x+y=-7-a, \\ x-y=1+3a \end{cases}$的解中，$x$为非正数，$y$为负数.
(1)求$a$的取值范围；
(2)化简：$|a-3|+|a+2|$.
(1)求$a$的取值范围；
(2)化简：$|a-3|+|a+2|$.
答案
12.解:(1)解方程组得$\begin{cases}x=-3+a,\\y=-4-2a.\end{cases}$因为$x$为非正数,$y$为负数,所以$\begin{cases}-3+a≤0,\\-4-2a＜0,\end{cases}$解得$-2＜a≤3$.
(2)因为$-2＜a≤3$,即$a-3≤0,a+2＞0$,所以原式$=3-a+a+2=5$.
(2)因为$-2＜a≤3$,即$a-3≤0,a+2＞0$,所以原式$=3-a+a+2=5$.
解析
【分析】
(1) 首先需要求解给定的二元一次方程组，用含参数$a$的代数式分别表示出$x$和$y$的值；再根据“$x$为非正数（即$x≤0$），$y$为负数（即$y＜0$）”的条件，列出关于$a$的一元一次不等式组，最后解不等式组即可得到$a$的取值范围。
(2) 化简绝对值的关键是判断绝对值内式子的正负性，根据第(1)问求出的$a$的取值范围，分别判断$a-3$和$a+2$的正负，再依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases} x+y=-7-a \\ x-y=1+3a \end{cases}$：
将两个方程左右两边分别相加，得：$2x=-6+2a$，解得$x=-3+a$；
将两个方程左右两边分别相减，得：$2y=-8-4a$，解得$y=-4-2a$。
根据题意$x$为非正数，$y$为负数，可得不等式组：
$\begin{cases} -3+a ≤ 0 \\ -4-2a ＜ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：移项得$a ≤ 3$；
解第二个不等式：移项得$-2a ＜ 4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$a ＞ -2$。
综上，$a$的取值范围是$-2 ＜ a ≤ 3$。
(2) 由(1)可知$-2 ＜ a ≤ 3$，因此$a-3 ≤ 0$，$a+2 ＞ 0$。
根据绝对值的性质化简：
$|a-3|+|a+2| = (3-a) + (a+2) = 3-a+a+2 = 5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2 ＜ a ≤ 3}$；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的求解，绝对值的性质
【点评】
本题是代数基础综合题，将方程组求解、不等式组应用和绝对值化简结合考查，解题核心是先通过方程组得到参数和未知数的关系，再结合限制条件求参数范围，最后利用绝对值性质计算，解题时需注意解不等式两边同乘负数时不等号要变向。
【难度系数】
0.7
(1) 首先需要求解给定的二元一次方程组，用含参数$a$的代数式分别表示出$x$和$y$的值；再根据“$x$为非正数（即$x≤0$），$y$为负数（即$y＜0$）”的条件，列出关于$a$的一元一次不等式组，最后解不等式组即可得到$a$的取值范围。
(2) 化简绝对值的关键是判断绝对值内式子的正负性，根据第(1)问求出的$a$的取值范围，分别判断$a-3$和$a+2$的正负，再依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases} x+y=-7-a \\ x-y=1+3a \end{cases}$：
将两个方程左右两边分别相加，得：$2x=-6+2a$，解得$x=-3+a$；
将两个方程左右两边分别相减，得：$2y=-8-4a$，解得$y=-4-2a$。
根据题意$x$为非正数，$y$为负数，可得不等式组：
$\begin{cases} -3+a ≤ 0 \\ -4-2a ＜ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：移项得$a ≤ 3$；
解第二个不等式：移项得$-2a ＜ 4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$a ＞ -2$。
综上，$a$的取值范围是$-2 ＜ a ≤ 3$。
(2) 由(1)可知$-2 ＜ a ≤ 3$，因此$a-3 ≤ 0$，$a+2 ＞ 0$。
根据绝对值的性质化简：
$|a-3|+|a+2| = (3-a) + (a+2) = 3-a+a+2 = 5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2 ＜ a ≤ 3}$；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的求解，绝对值的性质
【点评】
本题是代数基础综合题，将方程组求解、不等式组应用和绝对值化简结合考查，解题核心是先通过方程组得到参数和未知数的关系，再结合限制条件求参数范围，最后利用绝对值性质计算，解题时需注意解不等式两边同乘负数时不等号要变向。
【难度系数】
0.7
