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1. 下列各项中,是一元一次不等式组的是 （
A.$\begin{cases}5x+2＞0 \\ x-1＞\dfrac{2}{x}\end{cases}$
B.$\begin{cases}x+1＞0 \\ y-3＞1\end{cases}$
C.$\begin{cases}2x＞3 \\ x^2 - x＞0\end{cases}$
D.$\begin{cases}x＜2 \\ x+2＞-1\end{cases}$
D
）A.$\begin{cases}5x+2＞0 \\ x-1＞\dfrac{2}{x}\end{cases}$
B.$\begin{cases}x+1＞0 \\ y-3＞1\end{cases}$
C.$\begin{cases}2x＞3 \\ x^2 - x＞0\end{cases}$
D.$\begin{cases}x＜2 \\ x+2＞-1\end{cases}$
答案
1.D
解析
【分析】
要解这道题，首先需要明确一元一次不等式组的两个核心判定标准：第一，组成不等式组的每个不等式都必须是一元一次不等式，即同时满足只含1个未知数、未知数最高次数为1、不等式两边都是整式三个要求；第二，不等式组内所有不等式都含有同一个未知数。接下来用这两个标准逐个排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
先明确一元一次不等式组的判定条件：
① 每个不等式都是一元一次不等式（仅含1个未知数，未知数次数为1，且为整式不等式）；
② 所有不等式含同一个未知数。
逐个分析选项：
选项A：第二个不等式$x-1＞\frac{2}{x}$的分母含未知数$x$，属于分式不等式，不是一元一次不等式，不符合要求，排除；
选项B：不等式组含有$x$、$y$两个不同的未知数，不符合“同一未知数”的要求，排除；
选项C：第二个不等式$x^2-x＞0$中未知数$x$的最高次数是2，属于一元二次不等式，不符合要求，排除；
选项D：两个不等式都只含同一个未知数$x$，且$x$的次数都是1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式组的定义
2. 一元一次不等式的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是熟练掌握一元一次不等式组的判定要点，排查选项时注意不要忽略“整式”“未知数次数为1”“同一未知数”这些核心限制条件，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先需要明确一元一次不等式组的两个核心判定标准：第一，组成不等式组的每个不等式都必须是一元一次不等式，即同时满足只含1个未知数、未知数最高次数为1、不等式两边都是整式三个要求；第二，不等式组内所有不等式都含有同一个未知数。接下来用这两个标准逐个排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
先明确一元一次不等式组的判定条件：
① 每个不等式都是一元一次不等式（仅含1个未知数，未知数次数为1，且为整式不等式）；
② 所有不等式含同一个未知数。
逐个分析选项：
选项A：第二个不等式$x-1＞\frac{2}{x}$的分母含未知数$x$，属于分式不等式，不是一元一次不等式，不符合要求，排除；
选项B：不等式组含有$x$、$y$两个不同的未知数，不符合“同一未知数”的要求，排除；
选项C：第二个不等式$x^2-x＞0$中未知数$x$的最高次数是2，属于一元二次不等式，不符合要求，排除；
选项D：两个不等式都只含同一个未知数$x$，且$x$的次数都是1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式组的定义
2. 一元一次不等式的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是熟练掌握一元一次不等式组的判定要点，排查选项时注意不要忽略“整式”“未知数次数为1”“同一未知数”这些核心限制条件，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
2. 关于$ x $的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集为 （
A.$-2≤ x≤ 1$
B.$-2≤ x＜1$
C.$-2＜ x≤ 1$
D.$-2＜ x＜1$
B
）A.$-2≤ x≤ 1$
B.$-2≤ x＜1$
C.$-2＜ x≤ 1$
D.$-2＜ x＜1$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先要掌握数轴表示不等式解集的规则：实心圆点代表包含对应数值，空心圆圈代表不包含对应数值，折线向右对应“大于”，折线向左对应“小于”。先分别读出数轴上两个不等式的解集，再取两者的公共部分，即可得到不等式组的解集。
【解析】
观察数轴可得：
1. -2位置为实心圆点，折线向右，对应的解集为$ x≥ -2 $，即$ -2≤ x $；
2. 1位置为空心圆圈，折线向左，对应的解集为$ x＜1 $。
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$ -2≤ x＜1 $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
数轴表示不等式解集、一元一次不等式组的解集
【点评】
本题是不等式组的基础题型，重点考查对数轴表示解集规则的掌握，易错点是混淆实心圆点和空心圆圈的含义，牢记相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要掌握数轴表示不等式解集的规则：实心圆点代表包含对应数值，空心圆圈代表不包含对应数值，折线向右对应“大于”，折线向左对应“小于”。先分别读出数轴上两个不等式的解集，再取两者的公共部分，即可得到不等式组的解集。
【解析】
观察数轴可得：
1. -2位置为实心圆点，折线向右，对应的解集为$ x≥ -2 $，即$ -2≤ x $；
2. 1位置为空心圆圈，折线向左，对应的解集为$ x＜1 $。
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$ -2≤ x＜1 $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
数轴表示不等式解集、一元一次不等式组的解集
【点评】
本题是不等式组的基础题型，重点考查对数轴表示解集规则的掌握，易错点是混淆实心圆点和空心圆圈的含义，牢记相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 老师和同学们玩猜数游戏,老师在心里想一个 100 以内的数字,同学们可以提问,老师只能点头或者摇头回应对错.甲问:“小于 50 吗?”老师摇头.乙问:“不大于 75 吗?”老师点头.丙问:“不小于60 吗?”老师点头.老师心里想的数字 x 所在的范围为
（
A.$50＜x≤75$
B.$60≤x≤75$
C.$50＜x＜60$
D.$50≤x＜60$
（
B
）A.$50＜x≤75$
B.$60≤x≤75$
C.$50＜x＜60$
D.$50≤x＜60$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先将每位同学的提问转化为对应的不等关系：老师点头代表提问描述正确，对应不等关系成立；老师摇头代表提问描述错误，对应不等关系不成立，推导得到x的范围。最后取所有范围的公共部分，即为所求的x的取值范围。
【解析】
1. 处理甲的提问：甲问“小于50吗？”，老师摇头，说明“$x＜50$”不成立，因此$x≥50$；
2. 处理乙的提问：乙问“不大于75吗？”，老师点头，说明“$x≤75$”成立，因此$x≤75$；
3. 处理丙的提问：丙问“不小于60吗？”，老师点头，说明“$x≥60$”成立，因此$x≥60$；
同时满足$x≥50$、$x≤75$、$x≥60$的公共范围为$60≤ x≤75$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
不等关系转化、一元一次不等式组的解集
【点评】
本题结合游戏场景考查不等式的实际应用，核心是准确把生活语言转化为数学中的不等关系，再求解不等式组的公共解集，解题时需注意“不大于”“不小于”对应的不等号方向，细心即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先将每位同学的提问转化为对应的不等关系：老师点头代表提问描述正确，对应不等关系成立；老师摇头代表提问描述错误，对应不等关系不成立，推导得到x的范围。最后取所有范围的公共部分，即为所求的x的取值范围。
【解析】
1. 处理甲的提问：甲问“小于50吗？”，老师摇头，说明“$x＜50$”不成立，因此$x≥50$；
2. 处理乙的提问：乙问“不大于75吗？”，老师点头，说明“$x≤75$”成立，因此$x≤75$；
3. 处理丙的提问：丙问“不小于60吗？”，老师点头，说明“$x≥60$”成立，因此$x≥60$；
同时满足$x≥50$、$x≤75$、$x≥60$的公共范围为$60≤ x≤75$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
不等关系转化、一元一次不等式组的解集
【点评】
本题结合游戏场景考查不等式的实际应用，核心是准确把生活语言转化为数学中的不等关系，再求解不等式组的公共解集，解题时需注意“不大于”“不小于”对应的不等号方向，细心即可得分。
【难度系数】
0.8
4. 用每分钟可抽30 t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过1 200 t而不足1 500 t.设将污水抽完所用时间为x min，那么x的取值范围是
$40＜x＜50$
.答案
4.$40＜x＜50$
解析
【分析】
解题时首先提取题干中的不等信息：“积存的污水超过1200 t”“不足1500 t”，抽水机x分钟的抽水量为30x t，抽水量需和污水总量匹配，因此可得两个不等关系：抽水量＞1200t、抽水量＜1500t，据此列出两个不等式，分别求解后取公共范围，就能得到x的取值范围。
【解析】
根据题意可列两个不等式：
1. 抽水量超过1200t：$30x ＞ 1200$
不等式两边同时除以30，解得：$x ＞ 40$
2. 抽水量不足1500t：$30x ＜ 1500$
不等式两边同时除以30，解得：$x ＜ 50$
综合两个不等式的解，可得x的取值范围。
【答案】
$40＜x＜50$
【知识点】
1. 实际问题列不等式
2. 一元一次不等式组解法
3. 不等式基本性质
【点评】
本题属于不等式组应用的基础题型，解题核心是准确理解“超过”“不足”这类表示不等关系的关键词，正确列出对应不等式后进行简单运算即可得到结果，主要考查学生的审题能力和不等式基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题干中的不等信息：“积存的污水超过1200 t”“不足1500 t”，抽水机x分钟的抽水量为30x t，抽水量需和污水总量匹配，因此可得两个不等关系：抽水量＞1200t、抽水量＜1500t，据此列出两个不等式，分别求解后取公共范围，就能得到x的取值范围。
【解析】
根据题意可列两个不等式：
1. 抽水量超过1200t：$30x ＞ 1200$
不等式两边同时除以30，解得：$x ＞ 40$
2. 抽水量不足1500t：$30x ＜ 1500$
不等式两边同时除以30，解得：$x ＜ 50$
综合两个不等式的解，可得x的取值范围。
【答案】
$40＜x＜50$
【知识点】
1. 实际问题列不等式
2. 一元一次不等式组解法
3. 不等式基本性质
【点评】
本题属于不等式组应用的基础题型，解题核心是准确理解“超过”“不足”这类表示不等关系的关键词，正确列出对应不等式后进行简单运算即可得到结果，主要考查学生的审题能力和不等式基础运算能力。
【难度系数】
0.8
5. 当$x$满足$\underline{\hspace{10cm}}$时，式子$3x+1$的值大于4且小于10.
答案
5.$1＜x＜3$
解析
【分析】
题目要求式子$3x+1$的值同时满足“大于4”和“小于10”两个条件，我们可以先把这两个文字表述的不等关系转化为对应的一元一次不等式，组成一元一次不等式组，再分别求解每个不等式，最后取两个解集的公共部分，就能得到$x$的取值范围。
【解析】
根据题意，可列不等式组：
$\begin{cases}3x+1＞4 \quad \mathrm{①} \\3x+1＜10 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①：
移项得$3x＞4-1$，即$3x＞3$，
两边同时除以3，得$x＞1$。
解不等式②：
移项得$3x＜10-1$，即$3x＜9$，
两边同时除以3，得$x＜3$。
所以不等式组的解集为$1＜x＜3$。
【答案】
$1＜x＜3$
【知识点】
列一元一次不等式组、解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础题型，核心考察将文字描述的不等关系转化为数学不等式组的能力，只要熟练掌握不等式的基本性质和解一元一次不等式组的步骤，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
题目要求式子$3x+1$的值同时满足“大于4”和“小于10”两个条件，我们可以先把这两个文字表述的不等关系转化为对应的一元一次不等式，组成一元一次不等式组，再分别求解每个不等式，最后取两个解集的公共部分，就能得到$x$的取值范围。
【解析】
根据题意，可列不等式组：
$\begin{cases}3x+1＞4 \quad \mathrm{①} \\3x+1＜10 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①：
移项得$3x＞4-1$，即$3x＞3$，
两边同时除以3，得$x＞1$。
解不等式②：
移项得$3x＜10-1$，即$3x＜9$，
两边同时除以3，得$x＜3$。
所以不等式组的解集为$1＜x＜3$。
【答案】
$1＜x＜3$
【知识点】
列一元一次不等式组、解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础题型，核心考察将文字描述的不等关系转化为数学不等式组的能力，只要熟练掌握不等式的基本性质和解一元一次不等式组的步骤，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 某运行程序如图所示，规定：从输入一个值$ x $到结果是否大于95为一次程序操作. 如果程序操作运行了两次才输出，那么$ x $的取值范围是________.
答案
6.$23＜x≤47$
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确“运行两次才输出”的含义：第一次程序操作后结果不大于95，不会输出，需要返回进行第二次操作；第二次操作后结果大于95，才会输出。先写出每次操作对应的代数式：每次操作是将输入值乘2再加1，因此第一次操作结果为$2x+1$，第二次操作是把第一次的结果作为新输入，结果为$2(2x+1)+1$。再根据两次操作的条件列出不等式组，求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据“运行两次才输出”的要求，列不等式组如下：
1. 第一次操作未输出，结果≤95：
$\begin{aligned}2x+1 &≤ 95\\2x &≤ 94\\x &≤ 47\end{aligned}$
2. 第二次操作成功输出，结果＞95：
$\begin{aligned}2(2x+1)+1 &＞95\\4x+2+1 &＞95\\4x &＞92\\x &＞23\end{aligned}$
综合两个不等式的解，可得x的取值范围是$23＜x≤47$。
【答案】
$23＜x≤47$
【知识点】
一元一次不等式组应用，程序运算，不等式求解
【点评】
本题的解题关键是准确理解操作次数对应的不等关系，注意不要混淆两次操作的不等号方向，也不要遗漏任意一个限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先要明确“运行两次才输出”的含义：第一次程序操作后结果不大于95，不会输出，需要返回进行第二次操作；第二次操作后结果大于95，才会输出。先写出每次操作对应的代数式：每次操作是将输入值乘2再加1，因此第一次操作结果为$2x+1$，第二次操作是把第一次的结果作为新输入，结果为$2(2x+1)+1$。再根据两次操作的条件列出不等式组，求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据“运行两次才输出”的要求，列不等式组如下：
1. 第一次操作未输出，结果≤95：
$\begin{aligned}2x+1 &≤ 95\\2x &≤ 94\\x &≤ 47\end{aligned}$
2. 第二次操作成功输出，结果＞95：
$\begin{aligned}2(2x+1)+1 &＞95\\4x+2+1 &＞95\\4x &＞92\\x &＞23\end{aligned}$
综合两个不等式的解，可得x的取值范围是$23＜x≤47$。
【答案】
$23＜x≤47$
【知识点】
一元一次不等式组应用，程序运算，不等式求解
【点评】
本题的解题关键是准确理解操作次数对应的不等关系，注意不要混淆两次操作的不等号方向，也不要遗漏任意一个限制条件。
【难度系数】
0.7
7. 解下列不等式组：
(1)$\begin{cases}5x + 2 ＞ 3(x - 1),&①\\\dfrac{x + 5}{2} - x ≥ 1;&②\end{cases}$
(2)$\begin{cases}2x + 7 ＞ 3(x + 1),&①\\\dfrac{2}{3}x - \dfrac{3x + 4}{6} ≤ \dfrac{2}{3}.&②\end{cases}$
(1)$\begin{cases}5x + 2 ＞ 3(x - 1),&①\\\dfrac{x + 5}{2} - x ≥ 1;&②\end{cases}$
(2)$\begin{cases}2x + 7 ＞ 3(x + 1),&①\\\dfrac{2}{3}x - \dfrac{3x + 4}{6} ≤ \dfrac{2}{3}.&②\end{cases}$
答案
7.解:(1)解不等式①,得$x＞-2.5$,解不等式②,得$x≤3$,所以不等式组的解集为$-2.5＜x≤3$.
(2)解不等式①,得$x＜4$,解不等式②,得$x≤8$,所以不等式组的解集为$x＜4$.
(2)解不等式①,得$x＜4$,解不等式②,得$x≤8$,所以不等式组的解集为$x＜4$.
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：第一步分别求解组内每个一元一次不等式，解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，依次为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意系数为负数时不等号方向要改变；第二步取两个不等式解集的公共部分，可借助“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀确定不等式组的最终解集。
【解析】
(1) 解不等式①：
去括号得：$5x + 2 ＞ 3x - 3$
移项得：$5x - 3x ＞ -3 - 2$
合并同类项得：$2x ＞ -5$
系数化为1得：$x ＞ -2.5$
解不等式②：
两边同乘2去分母得：$x + 5 - 2x ≥ 2$
移项、合并同类项得：$-x ≥ -3$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ≤ 3$
取两个解集的公共部分，即得不等式组的解集。
(2) 解不等式①：
去括号得：$2x + 7 ＞ 3x + 3$
移项得：$2x - 3x ＞ 3 - 7$
合并同类项得：$-x ＞ -4$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＜ 4$
解不等式②：
两边同乘6去分母得：$4x - (3x + 4) ≤ 4$
去括号得：$4x - 3x - 4 ≤ 4$
移项、合并同类项得：$x ≤ 8$
根据“同小取小”的原则取两个解集的公共部分，即得不等式组的解集。
【答案】
(1) $-2.5 ＜ x ≤ 3$
(2) $x ＜ 4$
【知识点】
一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法、不等式组解集的确定
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础常规题，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤，尤其要注意系数化为1时不等号方向的变化规则，确定公共解集时可结合数轴或口诀快速判断，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：第一步分别求解组内每个一元一次不等式，解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，依次为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意系数为负数时不等号方向要改变；第二步取两个不等式解集的公共部分，可借助“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀确定不等式组的最终解集。
【解析】
(1) 解不等式①：
去括号得：$5x + 2 ＞ 3x - 3$
移项得：$5x - 3x ＞ -3 - 2$
合并同类项得：$2x ＞ -5$
系数化为1得：$x ＞ -2.5$
解不等式②：
两边同乘2去分母得：$x + 5 - 2x ≥ 2$
移项、合并同类项得：$-x ≥ -3$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ≤ 3$
取两个解集的公共部分，即得不等式组的解集。
(2) 解不等式①：
去括号得：$2x + 7 ＞ 3x + 3$
移项得：$2x - 3x ＞ 3 - 7$
合并同类项得：$-x ＞ -4$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＜ 4$
解不等式②：
两边同乘6去分母得：$4x - (3x + 4) ≤ 4$
去括号得：$4x - 3x - 4 ≤ 4$
移项、合并同类项得：$x ≤ 8$
根据“同小取小”的原则取两个解集的公共部分，即得不等式组的解集。
【答案】
(1) $-2.5 ＜ x ≤ 3$
(2) $x ＜ 4$
【知识点】
一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法、不等式组解集的确定
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础常规题，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤，尤其要注意系数化为1时不等号方向的变化规则，确定公共解集时可结合数轴或口诀快速判断，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
