13. （★★）（2025·德阳）如图，在Rt $ △ ABC $中， $ ∠ ACB=90° $ ，将 $ △ ABC $沿CB方向向右平移至 $ △ EGF $处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE的长为 【 】

A.3
B.2
C.1
D.$ \frac{1}{2} $

13. B

 14. （★★）如图，在 $ \mathrm{R t} △ A B C $中， $ ∠ A C B= 9 0° $ ，通过尺规作图得到的直线 MN分别交 AB,AC于点 D,E，连接 CD. 若 $ C E=\frac{1}{3} A E=1 $ ，则 CD的长为_______.

14. $\sqrt{6}$ 提示:连接BE.
$\because$ $CE=\frac{1}{3}AE=1$,
$\therefore$ $AE=3,AC=4$.
根据作图可知,MN为AB的垂直平分线,
$\therefore$ $AE=BE=3$.
在$\mathrm{Rt}△ ECB$中,$BC=\sqrt{BE^2-CE^2}=2\sqrt{2}$,
$\therefore$ $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=2\sqrt{6}$.
$\because$ CD为$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边上的中线,
$\therefore$ $CD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{6}$.

 15. （★★）如图，在 $ △ A B C $中， $ BE\bot AC $ $ CF\bot AB $ ，垂足分别为 E，F，M为 BC的中点.
(1) 求证：ME=MF；
(2) 若 $ ∠ A=5 0° $ ，求 $ ∠ F M E $的度数.

15.(1)$\because$ $BE⊥ AC,CF⊥ AB$,
$\therefore$ $∠ BEC=90°,∠ CFB=90°$.
$\because$ M为BC的中点,
$\therefore$ $ME=\frac{1}{2}BC,MF=\frac{1}{2}BC$.
$\therefore$ $ME=MF$.
(2)$\because$ $∠ A=50°$,
$\therefore$ $∠ ABC+∠ ACB=130°$.
$\because$ $MF=MB,ME=MC$,
$\therefore$ $∠ MFB=∠ ABC,∠ MEC=∠ ACB$.
$\therefore$ $∠ BMF+∠ CME=360°-2×130°=100°$.
$\therefore$ $∠ FME=180°-100°=80°$.

 16. （★★★）如图，四边形ABCD是矩形， $ △ P B C $和 $ △ Q C D $都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内.求证：
(1) $ ∠ P B A=∠ P C Q=3 0° $；
(2) PA=PQ.

16.(1)$\because$ 四边形ABCD是矩形,
$\therefore$ $∠ ABC=∠ BCD=90°,AB=DC$.
$\because$ $△ PBC$和$△ QCD$是等边三角形,
$\therefore$ $∠ PBC=∠ PCB=∠ QCD=60°,PB=PC,DC=QC$.
$\therefore$ $∠ PBA=∠ ABC-∠ PBC=30°,∠ PCD=∠ BCD-∠ PCB=30°$.
$\therefore$ $∠ PCQ=∠ QCD-∠ PCD=30°$.
$\therefore$ $∠ PBA=∠ PCQ=30°$.
(2)由(1)可得$AB=QC,∠ PBA=∠ PCQ,PB=PC$.
$\therefore$ $△ PAB≌△ PQC(\mathrm{SAS})$.
$\therefore$ $PA=PQ$.