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5. 一个长方体零件的长为 80，宽为 60，高为 100。现要把它锻压成一个新的长方体零件，其底面是边长为 40 的正方形，则这个新长方体零件的高为
300
。答案
5. 300
解析
设新长方体零件的高为$h$。
原长方体体积：$80×60×100 = 480000$
新长方体底面积：$40×40 = 1600$
由体积不变可得：$1600h = 480000$
解得：$h = 480000÷1600 = 300$
300
原长方体体积：$80×60×100 = 480000$
新长方体底面积：$40×40 = 1600$
由体积不变可得：$1600h = 480000$
解得：$h = 480000÷1600 = 300$
300
6. 将 6 cm 长的铁丝围成一个长方形，使长比宽多 0.4 cm。设这个长方形的宽为 $ x $ cm，可列方程：
2(x + 0.4 + x) = 6
。答案
6. 2(x + 0.4 + x) = 6
解析
【分析】
本题是利用长方形周长公式列一元一次方程的问题。首先明确铁丝长度等于长方形的周长，已知宽为$x$cm，根据“长比宽多0.4cm”可表示出长，再结合长方形周长公式（周长=2×(长+宽)），将周长对应铁丝长度6cm，即可列出方程。
【解析】
已知长方形的宽为$x$cm，因为长比宽多0.4cm，所以长为$(x + 0.4)$cm；
长方形的周长公式为：周长$=2×(长+宽)$；
题目中铁丝长6cm即长方形周长为6cm，将长和宽代入周长公式，可得方程：$2(x + 0.4 + x) = 6$。
【答案】
$2(x + 0.4 + x) = 6$
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形周长公式
【点评】
本题属于基础的一元一次方程应用题型，核心是掌握长方形周长公式，找准长、宽与周长的等量关系，适合学生巩固方程建模的基础方法。
【难度系数】
0.8
本题是利用长方形周长公式列一元一次方程的问题。首先明确铁丝长度等于长方形的周长，已知宽为$x$cm，根据“长比宽多0.4cm”可表示出长，再结合长方形周长公式（周长=2×(长+宽)），将周长对应铁丝长度6cm，即可列出方程。
【解析】
已知长方形的宽为$x$cm，因为长比宽多0.4cm，所以长为$(x + 0.4)$cm；
长方形的周长公式为：周长$=2×(长+宽)$；
题目中铁丝长6cm即长方形周长为6cm，将长和宽代入周长公式，可得方程：$2(x + 0.4 + x) = 6$。
【答案】
$2(x + 0.4 + x) = 6$
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形周长公式
【点评】
本题属于基础的一元一次方程应用题型，核心是掌握长方形周长公式，找准长、宽与周长的等量关系，适合学生巩固方程建模的基础方法。
【难度系数】
0.8
7. 现将一根直径为 2 mm、长为 10 cm 的铁丝均匀拉长，使其直径变为 1 mm，则长变为多少？
答案
7. 解：设长变为x cm。
根据题意，得π×($\frac{2}{2}$)²×100 = π×($\frac{1}{2}$)²×10x。
解这个方程，得x = 40。
因此，长变为40 cm。
根据题意，得π×($\frac{2}{2}$)²×100 = π×($\frac{1}{2}$)²×10x。
解这个方程，得x = 40。
因此，长变为40 cm。
解析
【分析】本题核心是利用体积不变的原理解决铁丝拉长后的长度问题。铁丝可近似看作圆柱体，圆柱体积公式为$V=π r^2 h$（$r$为底面半径，$h$为高，此处高对应铁丝长度）。解题时需先统一单位，再根据拉长前后体积相等建立方程，最终求解得到结果。
【解析】设拉长后铁丝的长度为$x$ cm，先统一单位：原来铁丝直径$2$ mm，半径为$\frac{2}{2}=1$ mm，长度$10$ cm = $100$ mm；拉长后直径$1$ mm，半径为$\frac{1}{2}=0.5$ mm，长度为$10x$ mm。根据体积不变，列方程：
$π×1^2×100 = π×0.5^2×10x$
两边约去$π$，计算得：
$100 = 0.25×10x$
$100 = 2.5x$
解得$x=40$。
【答案】40 cm
【知识点】圆柱体积公式、体积不变原理
【点评】本题考查体积守恒的实际应用，关键是利用圆柱体积相等建立方程，需注意单位统一，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】设拉长后铁丝的长度为$x$ cm，先统一单位：原来铁丝直径$2$ mm，半径为$\frac{2}{2}=1$ mm，长度$10$ cm = $100$ mm；拉长后直径$1$ mm，半径为$\frac{1}{2}=0.5$ mm，长度为$10x$ mm。根据体积不变，列方程：
$π×1^2×100 = π×0.5^2×10x$
两边约去$π$，计算得：
$100 = 0.25×10x$
$100 = 2.5x$
解得$x=40$。
【答案】40 cm
【知识点】圆柱体积公式、体积不变原理
【点评】本题考查体积守恒的实际应用，关键是利用圆柱体积相等建立方程，需注意单位统一，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
8. 一个长方形的周长为 310 m，长和宽的差为 25 m。这个长方形的长和宽分别是多少？
答案
8. 解：设这个长方形的宽为x m，则长为(x + 25)m。
根据题意，得2(x + x + 25) = 310。
解这个方程，得x = 65。
x + 25 = 65 + 25 = 90。
因此，这个长方形的长为90 m，宽为65 m。
根据题意，得2(x + x + 25) = 310。
解这个方程，得x = 65。
x + 25 = 65 + 25 = 90。
因此，这个长方形的长为90 m，宽为65 m。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设未知数建立一元一次方程来求解：已知长方形周长和长与宽的差，先设宽为未知数，用宽表示长，再根据长方形周长公式列出方程，解方程后即可得到长和宽的数值。
【解析】
设这个长方形的宽为$x$ m，则长为$(x + 25)$m。
根据长方形周长公式：周长$=2×(长+宽)$，结合题意得：
$2(x + x + 25) = 310$
解方程：
先化简方程左边：$2(2x + 25) = 4x + 50$
则$4x + 50 = 310$
移项得：$4x = 310 - 50 = 260$
解得：$x = 65$
那么长为：$x + 25 = 65 + 25 = 90$（m）
【答案】
长为90 m，宽为65 m。
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形的周长计算
【点评】
本题是一元一次方程在几何中的基础应用，核心是利用长方形周长公式建立等量关系，解题步骤清晰，属于方程应用的基础题型，能帮助学生巩固方程建模的思路。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以通过设未知数建立一元一次方程来求解：已知长方形周长和长与宽的差，先设宽为未知数，用宽表示长，再根据长方形周长公式列出方程，解方程后即可得到长和宽的数值。
【解析】
设这个长方形的宽为$x$ m，则长为$(x + 25)$m。
根据长方形周长公式：周长$=2×(长+宽)$，结合题意得：
$2(x + x + 25) = 310$
解方程：
先化简方程左边：$2(2x + 25) = 4x + 50$
则$4x + 50 = 310$
移项得：$4x = 310 - 50 = 260$
解得：$x = 65$
那么长为：$x + 25 = 65 + 25 = 90$（m）
【答案】
长为90 m，宽为65 m。
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形的周长计算
【点评】
本题是一元一次方程在几何中的基础应用，核心是利用长方形周长公式建立等量关系，解题步骤清晰，属于方程应用的基础题型，能帮助学生巩固方程建模的思路。
【难度系数】
0.7
9. 如图，有一张正方形纸片，先剪掉一个宽为 4 cm 的长方形，再从剩下的部分剪掉一个宽为 5 cm 的长方形(阴影部分)。若两次剪掉的部分面积相等，求原正方形纸片的边长。
答案
9. 解：设原正方形纸片的边长为x cm。
根据题意，得4x = 5(x - 4)。
解这个方程，得x = 20。
因此，原正方形纸片的边长为20 cm。
根据题意，得4x = 5(x - 4)。
解这个方程，得x = 20。
因此，原正方形纸片的边长为20 cm。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设原正方形的边长为未知数，分别表示出两次剪掉的阴影部分的面积，再根据“两次剪掉的部分面积相等”的条件建立方程，进而求解边长。首先明确：第一次剪掉的宽为4cm的长方形，长等于原正方形的边长；第二次剪掉的宽为5cm的长方形，长是原正方形边长减去第一次剪掉的4cm，最后利用面积相等的等量关系列方程计算。
【解析】
设原正方形纸片的边长为$ x $ cm。
第一次剪掉的阴影部分是长为$ x $ cm、宽为4 cm的长方形，其面积为$ 4x $ $ cm^2 $；
第二次剪掉的阴影部分是长为$ (x - 4) $ cm、宽为5 cm的长方形，其面积为$ 5(x - 4) $ $ cm^2 $。
根据两次剪掉的部分面积相等，列方程：
$ 4x = 5(x - 4) $
解方程：
去括号得：$ 4x = 5x - 20 $
移项得：$ 5x - 4x = 20 $
解得：$ x = 20 $
【答案】
原正方形纸片的边长为20 cm。
【知识点】
一元一次方程应用、长方形面积计算
【点评】
本题是一元一次方程在几何面积问题中的基础应用，核心是找准两次阴影部分的面积表达式，利用面积相等建立方程，考查学生对基础方程应用的掌握程度，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以通过设原正方形的边长为未知数，分别表示出两次剪掉的阴影部分的面积，再根据“两次剪掉的部分面积相等”的条件建立方程，进而求解边长。首先明确：第一次剪掉的宽为4cm的长方形，长等于原正方形的边长；第二次剪掉的宽为5cm的长方形，长是原正方形边长减去第一次剪掉的4cm，最后利用面积相等的等量关系列方程计算。
【解析】
设原正方形纸片的边长为$ x $ cm。
第一次剪掉的阴影部分是长为$ x $ cm、宽为4 cm的长方形，其面积为$ 4x $ $ cm^2 $；
第二次剪掉的阴影部分是长为$ (x - 4) $ cm、宽为5 cm的长方形，其面积为$ 5(x - 4) $ $ cm^2 $。
根据两次剪掉的部分面积相等，列方程：
$ 4x = 5(x - 4) $
解方程：
去括号得：$ 4x = 5x - 20 $
移项得：$ 5x - 4x = 20 $
解得：$ x = 20 $
【答案】
原正方形纸片的边长为20 cm。
【知识点】
一元一次方程应用、长方形面积计算
【点评】
本题是一元一次方程在几何面积问题中的基础应用，核心是找准两次阴影部分的面积表达式，利用面积相等建立方程，考查学生对基础方程应用的掌握程度，难度适中。
【难度系数】
0.6
10. 请根据图中给出的信息，列方程求出大量筒中水的高度 $ x $(单位：cm)。
答案
10. 解：根据题意，得
π·($\frac{8}{2}$)²·x = π·($\frac{6}{2}$)²·(x + 5)。
解这个方程，得x = $\frac{45}{7}$。
因此，大量筒中水的高度为$\frac{45}{7}$ cm。
π·($\frac{8}{2}$)²·x = π·($\frac{6}{2}$)²·(x + 5)。
解这个方程，得x = $\frac{45}{7}$。
因此，大量筒中水的高度为$\frac{45}{7}$ cm。
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用圆柱体积公式，找到两个量筒中水的体积相等这一等量关系。圆柱体积=底面积×高，底面积=π×半径²，先确定两个量筒的底面半径和水的高度，再根据体积相等列出方程，最后解方程求出大量筒中水的高度x。
【解析】
解：圆柱体积公式为$V=πr^2h$（其中r为底面半径，h为高）。
由题意可知，两个量筒中水的体积相等，因此：
大量筒的底面半径为$\frac{8}{2}=4$cm，水的高度为x cm，体积为$π×4^2×x$；
小量筒的底面半径为$\frac{6}{2}=3$cm，水的高度为$(x+5)$cm，体积为$π×3^2×(x+5)$；
根据体积相等列方程：
$π×(\frac{8}{2})^2×x = π×(\frac{6}{2})^2×(x+5)$
两边同时除以π，化简得：
$16x = 9(x+5)$
展开右边：
$16x = 9x + 45$
移项合并同类项：
$7x = 45$
解得：
$x=\frac{45}{7}$
【答案】
大量筒中水的高度为$\frac{45}{7}$cm。
【知识点】
圆柱体积公式、一元一次方程应用
【点评】
本题结合圆柱体积公式考查一元一次方程的实际应用，核心是抓住“两个量筒水体积相等”的等量关系，正确建立方程并求解，属于基础题型，侧重考查学生对公式的运用和方程建模能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用圆柱体积公式，找到两个量筒中水的体积相等这一等量关系。圆柱体积=底面积×高，底面积=π×半径²，先确定两个量筒的底面半径和水的高度，再根据体积相等列出方程，最后解方程求出大量筒中水的高度x。
【解析】
解：圆柱体积公式为$V=πr^2h$（其中r为底面半径，h为高）。
由题意可知，两个量筒中水的体积相等，因此：
大量筒的底面半径为$\frac{8}{2}=4$cm，水的高度为x cm，体积为$π×4^2×x$；
小量筒的底面半径为$\frac{6}{2}=3$cm，水的高度为$(x+5)$cm，体积为$π×3^2×(x+5)$；
根据体积相等列方程：
$π×(\frac{8}{2})^2×x = π×(\frac{6}{2})^2×(x+5)$
两边同时除以π，化简得：
$16x = 9(x+5)$
展开右边：
$16x = 9x + 45$
移项合并同类项：
$7x = 45$
解得：
$x=\frac{45}{7}$
【答案】
大量筒中水的高度为$\frac{45}{7}$cm。
【知识点】
圆柱体积公式、一元一次方程应用
【点评】
本题结合圆柱体积公式考查一元一次方程的实际应用，核心是抓住“两个量筒水体积相等”的等量关系，正确建立方程并求解，属于基础题型，侧重考查学生对公式的运用和方程建模能力。
【难度系数】
0.6
