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7. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这
样一道题目:"问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十
二里,大斜十三里,欲知为田几何?"这道题讲的是:"有一块
三角形沙田,三边长分别为5里、12里、13里,问这块沙田面
积有多大?"题中"里"是我国市制长度单位,1里$=500\ \mathrm{m}$,则
该沙田的面积为 ()
A.$7.5\ \mathrm{km}^{2}$
B.$15\ \mathrm{km}^{2}$
C.$75\ \mathrm{km}^{2}$
D.$750\ \mathrm{km}^{2}$
样一道题目:"问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十
二里,大斜十三里,欲知为田几何?"这道题讲的是:"有一块
三角形沙田,三边长分别为5里、12里、13里,问这块沙田面
积有多大?"题中"里"是我国市制长度单位,1里$=500\ \mathrm{m}$,则
该沙田的面积为 ()
A.$7.5\ \mathrm{km}^{2}$
B.$15\ \mathrm{km}^{2}$
C.$75\ \mathrm{km}^{2}$
D.$750\ \mathrm{km}^{2}$
答案
A
解析
1. 判断三角形形状：因为$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，直角边为5里和12里。
2. 单位转换：1里=500m=0.5km，因此5里=2.5km，12里=6km。
3. 计算面积：$S=\frac{1}{2}×2.5×6=7.5\ \mathrm{km}^2$。
2. 单位转换：1里=500m=0.5km，因此5里=2.5km，12里=6km。
3. 计算面积：$S=\frac{1}{2}×2.5×6=7.5\ \mathrm{km}^2$。
8. 已知M,N是线段AB上的两点,$AM=MN=2,NB=1$,以
点A为圆心,AN的长为半径画弧;再以点B为圆心,BM的
长为半径画弧,两弧相交于点C,连接AC,BC,则$△ ABC$一
定是 ()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
点A为圆心,AN的长为半径画弧;再以点B为圆心,BM的
长为半径画弧,两弧相交于点C,连接AC,BC,则$△ ABC$一
定是 ()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
B
解析
先计算线段长度：AN=AM+MN=2+2=4，BM=MN+NB=2+1=3，AB=AM+MN+NB=5。由题意可知AC=AN=4，BC=BM=3。因为3²+4²=5²，即BC²+AC²=AB²，根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形。
9. 如图,在四边形ABCD中,$AD// BC,∠ D=90°,AD=4$,
$BC=3$.分别以点A,C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧,
两弧相交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.
若点O是AC的中点,则CD的长为 ()
A.$2\sqrt{2}$
B.4
C.3
D.$\sqrt{10}$
$BC=3$.分别以点A,C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧,
两弧相交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.
若点O是AC的中点,则CD的长为 ()
A.$2\sqrt{2}$
B.4
C.3
D.$\sqrt{10}$
答案
A
解析
1. 根据尺规作图的性质，BE是AC的垂直平分线，因此AB=BC=3。
2. 过点B作BH⊥AD于点H，因为$AD// BC$，$∠ D=90°$，所以四边形BHDC是矩形，可得$BH=CD$，$AH=AD-BC=4-3=1$。
3. 在Rt△ABH中，由勾股定理计算：$BH=\sqrt{AB^2 - AH^2}=\sqrt{3^2 - 1^2}=2\sqrt{2}$，故$CD=2\sqrt{2}$。
2. 过点B作BH⊥AD于点H，因为$AD// BC$，$∠ D=90°$，所以四边形BHDC是矩形，可得$BH=CD$，$AH=AD-BC=4-3=1$。
3. 在Rt△ABH中，由勾股定理计算：$BH=\sqrt{AB^2 - AH^2}=\sqrt{3^2 - 1^2}=2\sqrt{2}$，故$CD=2\sqrt{2}$。
10. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°,∠ BAC=30°,AC=2$,
分别以三边为直径画半圆,则两个月牙形图案阴影部分
的面积之和是 ()
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}π$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}π$
分别以三边为直径画半圆,则两个月牙形图案阴影部分
的面积之和是 ()
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}π$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}π$
答案
A
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ BAC=30°$，$AC=2$，则$BC=\frac{1}{2}AC=1$；由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
阴影部分面积=以$AB$为直径的半圆面积+以$BC$为直径的半圆面积+$△ABC$的面积-以$AC$为直径的半圆面积。
分别计算：
以$AB$为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}π(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{3π}{8}$
以$BC$为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}π(\frac{1}{2})^2=\frac{π}{8}$
以$AC$为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}π(\frac{2}{2})^2=\frac{π}{2}$
$△ABC$的面积：$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$
代入得：$\frac{3π}{8}+\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
阴影部分面积=以$AB$为直径的半圆面积+以$BC$为直径的半圆面积+$△ABC$的面积-以$AC$为直径的半圆面积。
分别计算：
以$AB$为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}π(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{3π}{8}$
以$BC$为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}π(\frac{1}{2})^2=\frac{π}{8}$
以$AC$为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}π(\frac{2}{2})^2=\frac{π}{2}$
$△ABC$的面积：$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$
代入得：$\frac{3π}{8}+\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
二、填空题每小题3分,共15分
11. 在平面直角坐标系中,点$P(-3,4)$到原点的距离是.
11. 在平面直角坐标系中,点$P(-3,4)$到原点的距离是.
答案
解：
过点$P(-3,4)$作$PA⊥ x$轴于点$A$，
则$OA=|-3|=3$，$PA=4$，
在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2 + PA^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
答：点$P(-3,4)$到原点的距离是$\boldsymbol{5}$。
过点$P(-3,4)$作$PA⊥ x$轴于点$A$，
则$OA=|-3|=3$，$PA=4$，
在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2 + PA^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
答：点$P(-3,4)$到原点的距离是$\boldsymbol{5}$。
12. 已知直角三角形的两边长为3和4,则第三边的长为.
答案
5或$\sqrt{7}$
解析
分两种情况讨论：
①若3和4为直角边，根据勾股定理，第三边（斜边）长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$；
②若4为斜边，3为直角边，根据勾股定理，第三边（直角边）长为$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$。
综上，第三边的长为5或$\sqrt{7}$。
①若3和4为直角边，根据勾股定理，第三边（斜边）长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$；
②若4为斜边，3为直角边，根据勾股定理，第三边（直角边）长为$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$。
综上，第三边的长为5或$\sqrt{7}$。
