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8. 已知方程$(a - 2)x^{|a| - 1} + 2m + 4 = 0$是关于$x$的一元一次方程。
（1）求$a$的值；
（2）已知方程$\frac{0.1x - 0.2}{0.02} - \frac{x + 1}{0.5} = 3$和上述方程同解，求$m$的值。
（1）求$a$的值；
（2）已知方程$\frac{0.1x - 0.2}{0.02} - \frac{x + 1}{0.5} = 3$和上述方程同解，求$m$的值。
答案
8. 解：(1) 根据题意，得 $ |a| - 1 = 1 $，解得 $ a = \pm 2 $。
因为 $ a - 2 ≠ 0 $，所以 $ a ≠ 2 $。
所以 $ a = -2 $。
(2) $ \dfrac{0.1x - 0.2}{0.02} - \dfrac{x + 1}{0.5} = 3 $，
原方程整理得 $ \dfrac{10x - 20}{2} - \dfrac{10x + 10}{5} = 3 $，
即 $ 5x - 10 - (2x + 2) = 3 $，
去括号，得 $ 5x - 10 - 2x - 2 = 3 $，
移项，得 $ 5x - 2x = 3 + 10 + 2 $，
合并同类项，得 $ 3x = 15 $，
方程的两边都除以3，得 $ x = 5 $。
当 $ a = -2 $ 时，原方程化为 $ -4x + 2m + 4 = 0 $。
因为方程 $ \dfrac{0.1x - 0.2}{0.02} - \dfrac{x + 1}{0.5} = 3 $ 和方程 $ -4x + 2m + 4 = 0 $ 同解，
所以 $ -4 × 5 + 2m + 4 = 0 $，
解得 $ m = 8 $。
因为 $ a - 2 ≠ 0 $，所以 $ a ≠ 2 $。
所以 $ a = -2 $。
(2) $ \dfrac{0.1x - 0.2}{0.02} - \dfrac{x + 1}{0.5} = 3 $，
原方程整理得 $ \dfrac{10x - 20}{2} - \dfrac{10x + 10}{5} = 3 $，
即 $ 5x - 10 - (2x + 2) = 3 $，
去括号，得 $ 5x - 10 - 2x - 2 = 3 $，
移项，得 $ 5x - 2x = 3 + 10 + 2 $，
合并同类项，得 $ 3x = 15 $，
方程的两边都除以3，得 $ x = 5 $。
当 $ a = -2 $ 时，原方程化为 $ -4x + 2m + 4 = 0 $。
因为方程 $ \dfrac{0.1x - 0.2}{0.02} - \dfrac{x + 1}{0.5} = 3 $ 和方程 $ -4x + 2m + 4 = 0 $ 同解，
所以 $ -4 × 5 + 2m + 4 = 0 $，
解得 $ m = 8 $。
解析
【分析】
这道题分两小问求解，第一问要紧扣一元一次方程的定义思考：一元一次方程需要满足只含1个未知数、未知数次数为1、未知数的一次项系数不为0三个核心要求。首先先根据未知数次数为1列出关于a的绝对值方程，解出a的两个候选值，再代入一次项系数排除系数为0的错误取值，就能得到正确的a值。第二问是同解问题，思路是先把分母带小数的常规一元一次方程解出x的值，再利用“同解即两个方程的x取值完全相同”的性质，把解出的x代入已经代入a值的第一个方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m。
【解析】
（1）根据一元一次方程的定义，未知数x的次数必须为1，因此可得：
$|a| - 1 = 1$
解得 $a = \pm 2$
同时一元一次方程的一次项系数不能为0，即：
$a - 2 ≠ 0$，也就是 $a ≠ 2$
综上排除a=2的情况，可得 $a=-2$。
（2）先求解方程 $\frac{0.1x - 0.2}{0.02} - \frac{x + 1}{0.5} = 3$：
利用分数的基本性质，将分子分母同时乘对应整数，把小数分母转化为整数，原方程整理得：
$\frac{10x - 20}{2} - \frac{10x + 10}{5} = 3$
约分后得：$5x - 10 - (2x + 2) = 3$
去括号：$5x - 10 - 2x - 2 = 3$
移项：$5x - 2x = 3 + 10 + 2$
合并同类项：$3x = 15$
系数化为1：$x = 5$
把$a=-2$代入原含参数的方程，可得：
$(-2 - 2)x + 2m + 4 = 0$，即 $-4x + 2m + 4 = 0$
因为两个方程同解，因此把$x=5$代入上式：
$-4×5 + 2m + 4 = 0$
计算得 $-20 + 2m + 4 = 0$，即 $2m = 16$
解得 $m = 8$
【答案】
（1）$a=-2$；（2）$m=8$
【知识点】
一元一次方程定义，小数分母方程求解，同解方程性质
【点评】
本题是一元一次方程章节的基础综合题，易错点集中在第一问容易忽略“一次项系数不为0”的限制，误将a=2作为答案；第二问化简小数分母方程时容易出现去括号漏变号的错误，只要牢记一元一次方程的判定条件，熟练掌握解方程的步骤，理解同解的含义就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
这道题分两小问求解，第一问要紧扣一元一次方程的定义思考：一元一次方程需要满足只含1个未知数、未知数次数为1、未知数的一次项系数不为0三个核心要求。首先先根据未知数次数为1列出关于a的绝对值方程，解出a的两个候选值，再代入一次项系数排除系数为0的错误取值，就能得到正确的a值。第二问是同解问题，思路是先把分母带小数的常规一元一次方程解出x的值，再利用“同解即两个方程的x取值完全相同”的性质，把解出的x代入已经代入a值的第一个方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m。
【解析】
（1）根据一元一次方程的定义，未知数x的次数必须为1，因此可得：
$|a| - 1 = 1$
解得 $a = \pm 2$
同时一元一次方程的一次项系数不能为0，即：
$a - 2 ≠ 0$，也就是 $a ≠ 2$
综上排除a=2的情况，可得 $a=-2$。
（2）先求解方程 $\frac{0.1x - 0.2}{0.02} - \frac{x + 1}{0.5} = 3$：
利用分数的基本性质，将分子分母同时乘对应整数，把小数分母转化为整数，原方程整理得：
$\frac{10x - 20}{2} - \frac{10x + 10}{5} = 3$
约分后得：$5x - 10 - (2x + 2) = 3$
去括号：$5x - 10 - 2x - 2 = 3$
移项：$5x - 2x = 3 + 10 + 2$
合并同类项：$3x = 15$
系数化为1：$x = 5$
把$a=-2$代入原含参数的方程，可得：
$(-2 - 2)x + 2m + 4 = 0$，即 $-4x + 2m + 4 = 0$
因为两个方程同解，因此把$x=5$代入上式：
$-4×5 + 2m + 4 = 0$
计算得 $-20 + 2m + 4 = 0$，即 $2m = 16$
解得 $m = 8$
【答案】
（1）$a=-2$；（2）$m=8$
【知识点】
一元一次方程定义，小数分母方程求解，同解方程性质
【点评】
本题是一元一次方程章节的基础综合题，易错点集中在第一问容易忽略“一次项系数不为0”的限制，误将a=2作为答案；第二问化简小数分母方程时容易出现去括号漏变号的错误，只要牢记一元一次方程的判定条件，熟练掌握解方程的步骤，理解同解的含义就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
9. 阅读下面的材料，完成任务。
分子、分母含小数的一元一次方程的解法
我们知道，解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为$1$，那么像$\frac{0.3x - 0.2}{0.2} + 7 = \frac{-1.5 - x}{0.5}$这样分子、分母均含有小数的方程，如何求出它的解呢？下面是某同学的解答过程：
解：原方程可化为$\frac{3x - 2}{2} + 7 = \frac{-3 - 2x}{1}$，
去分母，得$3x - 2 + 14 = -6 - 4x$。
移项、合并同类项，得$7x = -18$。
方程的两边都除以$7$，得$x = -\frac{18}{7}$。
任务：
(1)该同学由$\frac{0.3x - 0.2}{0.2} + 7 = \frac{-1.5 - x}{0.5}$变形到$\frac{3x - 2}{2} + 7 = \frac{-3 - 2x}{1}$是利用了
A. 等式的基本性质
B. 去括号
C. 分数的基本性质
D. 去分母
(2)请仿照上述方法解方程：$\frac{2x}{0.03} + \frac{0.25 - 0.1x}{0.02} = 1$。
分子、分母含小数的一元一次方程的解法
我们知道，解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为$1$，那么像$\frac{0.3x - 0.2}{0.2} + 7 = \frac{-1.5 - x}{0.5}$这样分子、分母均含有小数的方程，如何求出它的解呢？下面是某同学的解答过程：
解：原方程可化为$\frac{3x - 2}{2} + 7 = \frac{-3 - 2x}{1}$，
去分母，得$3x - 2 + 14 = -6 - 4x$。
移项、合并同类项，得$7x = -18$。
方程的两边都除以$7$，得$x = -\frac{18}{7}$。
任务：
(1)该同学由$\frac{0.3x - 0.2}{0.2} + 7 = \frac{-1.5 - x}{0.5}$变形到$\frac{3x - 2}{2} + 7 = \frac{-3 - 2x}{1}$是利用了
C
。A. 等式的基本性质
B. 去括号
C. 分数的基本性质
D. 去分母
(2)请仿照上述方法解方程：$\frac{2x}{0.03} + \frac{0.25 - 0.1x}{0.02} = 1$。
答案
9. 解：(1) C
(2) 原方程可化为 $ \dfrac{200x}{3} + \dfrac{25 - 10x}{2} = 1 $。
去分母，得 $ 400x + 3(25 - 10x) = 6 $。
去括号，得 $ 400x + 75 - 30x = 6 $。
移项、合并同类项，得 $ 370x = -69 $。
方程的两边都除以370，得 $ x = -\dfrac{69}{370} $。
(2) 原方程可化为 $ \dfrac{200x}{3} + \dfrac{25 - 10x}{2} = 1 $。
去分母，得 $ 400x + 3(25 - 10x) = 6 $。
去括号，得 $ 400x + 75 - 30x = 6 $。
移项、合并同类项，得 $ 370x = -69 $。
方程的两边都除以370，得 $ x = -\dfrac{69}{370} $。
解析
【分析】
先思考第(1)问：首先回忆几个选项对应的数学性质，观察变形过程，是单独对两个分式各自的分子、分母同时乘同一个非零数，分式整体值不变，没有对等式所有项同时做乘除操作，也没有去括号、去分母，所以对应分数的基本性质。再思考第(2)问：仿照例题的方法，第一步先利用分数基本性质，把两个含小数分母的分式的分子分母同时乘100，将小数分母转化为整数，得到常规的一元一次方程，之后按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的标准步骤求解即可。
【解析】
(1) 该变形中，第一个分式$\frac{0.3x-0.2}{0.2}$的分子分母同时乘10，第二个分式$\frac{-1.5-x}{0.5}$的分子分母同时乘2，仅改变分式的分子分母数字，分式本身的大小不变，符合分数的基本性质的定义，因此选C。
(2) 解方程$\frac{2x}{0.03} + \frac{0.25 - 0.1x}{0.02} = 1$：
① 利用分数的基本性质，将两个分式的分子分母同时乘100，把小数分母化为整数：
原方程可化为 $\dfrac{200x}{3} + \dfrac{25 - 10x}{2} = 1$
② 去分母，等式两边同时乘最简公分母6：
得 $400x + 3(25 - 10x) = 6$
③ 去括号：
得 $400x + 75 - 30x = 6$
④ 移项、合并同类项：
得 $370x = -69$
⑤ 未知数系数化为1，两边同时除以370：
得 $x = -\dfrac{69}{370}$
【答案】
(1) C；(2) $x = -\dfrac{69}{370}$
【知识点】
分数的基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题重点考察含小数分母的一元一次方程的解法，容易出错的点是混淆分数基本性质和等式基本性质，要注意前者仅对单个分式的分子分母操作，后者是对等式所有项整体操作，化整过程中不要漏乘分式的分子部分，后续去分母时不要漏乘等式右侧的常数项，就能顺利完成求解。
【难度系数】
0.6
先思考第(1)问：首先回忆几个选项对应的数学性质，观察变形过程，是单独对两个分式各自的分子、分母同时乘同一个非零数，分式整体值不变，没有对等式所有项同时做乘除操作，也没有去括号、去分母，所以对应分数的基本性质。再思考第(2)问：仿照例题的方法，第一步先利用分数基本性质，把两个含小数分母的分式的分子分母同时乘100，将小数分母转化为整数，得到常规的一元一次方程，之后按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的标准步骤求解即可。
【解析】
(1) 该变形中，第一个分式$\frac{0.3x-0.2}{0.2}$的分子分母同时乘10，第二个分式$\frac{-1.5-x}{0.5}$的分子分母同时乘2，仅改变分式的分子分母数字，分式本身的大小不变，符合分数的基本性质的定义，因此选C。
(2) 解方程$\frac{2x}{0.03} + \frac{0.25 - 0.1x}{0.02} = 1$：
① 利用分数的基本性质，将两个分式的分子分母同时乘100，把小数分母化为整数：
原方程可化为 $\dfrac{200x}{3} + \dfrac{25 - 10x}{2} = 1$
② 去分母，等式两边同时乘最简公分母6：
得 $400x + 3(25 - 10x) = 6$
③ 去括号：
得 $400x + 75 - 30x = 6$
④ 移项、合并同类项：
得 $370x = -69$
⑤ 未知数系数化为1，两边同时除以370：
得 $x = -\dfrac{69}{370}$
【答案】
(1) C；(2) $x = -\dfrac{69}{370}$
【知识点】
分数的基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题重点考察含小数分母的一元一次方程的解法，容易出错的点是混淆分数基本性质和等式基本性质，要注意前者仅对单个分式的分子分母操作，后者是对等式所有项整体操作，化整过程中不要漏乘分式的分子部分，后续去分母时不要漏乘等式右侧的常数项，就能顺利完成求解。
【难度系数】
0.6
10. 用整体思想解方程：$3(2x - 3) - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - 5(3 - 2x)$。
答案
10. 解：将 $ (2x - 3) $ 看成一个整体，
原方程可化为 $ 3(2x - 3) - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2} + 5(2x - 3) $。
移项，得 $ 3(2x - 3) - 5(2x - 3) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} $。
合并同类项，得 $ (3 - 5)(2x - 3) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} $，
即 $ -2(2x - 3) = \dfrac{5}{6} $。
方程两边都除以 $ -2 $，得 $ 2x - 3 = -\dfrac{5}{12} $。
原方程可化为 $ 3(2x - 3) - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2} + 5(2x - 3) $。
移项，得 $ 3(2x - 3) - 5(2x - 3) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} $。
合并同类项，得 $ (3 - 5)(2x - 3) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} $，
即 $ -2(2x - 3) = \dfrac{5}{6} $。
方程两边都除以 $ -2 $，得 $ 2x - 3 = -\dfrac{5}{12} $。
解析
【分析】
本题要求用整体思想解一元一次方程，首先观察方程中的代数式特征：左侧含有(2x-3)，右侧含有(3-2x)，二者互为相反数，即3-2x=-(2x-3)。我们不需要按常规方法先去括号展开所有项，直接把(2x-3)当作一个整体处理，先将右侧的-5(3-2x)变形为+5(2x-3)，再把所有含该整体的项移到等号左边，常数项移到等号右边，合并同类项后先求出整体(2x-3)的数值，最后再解出x即可，这种思路能大幅简化运算，避免复杂展开带来的计算错误。
【解析】
解：将$(2x-3)$看作一个整体，利用$3-2x=-(2x-3)$，可将原方程变形为：
$3(2x - 3) - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + 5(2x - 3)$
1. 移项：将含整体$(2x-3)$的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，得：
$3(2x - 3) - 5(2x - 3) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
2. 合并同类项：提取公因式$(2x-3)$，同时对右侧常数项通分求和：
$(3-5)(2x-3) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6}$
化简得：
$-2(2x - 3) = \frac{5}{6}$
3. 等式两边同时除以$-2$，得到整体$(2x-3)$的值：
$2x - 3 = -\frac{5}{12}$
4. 求解x：移项得$2x = 3 - \frac{5}{12} = \frac{31}{12}$，两边同时除以2，得：
$x = \frac{31}{24}$
【答案】
$x=\dfrac{31}{24}$
【知识点】
整体思想，一元一次方程解法
【点评】
本题重点考察整体思想在一元一次方程求解中的应用，通过观察发现互为相反数的代数式，将重复出现的多项式作为整体合并，避免了常规去括号步骤中大量分数运算的麻烦，有效降低出错概率，同学们后续遇到结构相似的方程时，可以优先尝试整体法简化计算。
【难度系数】
0.6
本题要求用整体思想解一元一次方程，首先观察方程中的代数式特征：左侧含有(2x-3)，右侧含有(3-2x)，二者互为相反数，即3-2x=-(2x-3)。我们不需要按常规方法先去括号展开所有项，直接把(2x-3)当作一个整体处理，先将右侧的-5(3-2x)变形为+5(2x-3)，再把所有含该整体的项移到等号左边，常数项移到等号右边，合并同类项后先求出整体(2x-3)的数值，最后再解出x即可，这种思路能大幅简化运算，避免复杂展开带来的计算错误。
【解析】
解：将$(2x-3)$看作一个整体，利用$3-2x=-(2x-3)$，可将原方程变形为：
$3(2x - 3) - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + 5(2x - 3)$
1. 移项：将含整体$(2x-3)$的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，得：
$3(2x - 3) - 5(2x - 3) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
2. 合并同类项：提取公因式$(2x-3)$，同时对右侧常数项通分求和：
$(3-5)(2x-3) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6}$
化简得：
$-2(2x - 3) = \frac{5}{6}$
3. 等式两边同时除以$-2$，得到整体$(2x-3)$的值：
$2x - 3 = -\frac{5}{12}$
4. 求解x：移项得$2x = 3 - \frac{5}{12} = \frac{31}{12}$，两边同时除以2，得：
$x = \frac{31}{24}$
【答案】
$x=\dfrac{31}{24}$
【知识点】
整体思想，一元一次方程解法
【点评】
本题重点考察整体思想在一元一次方程求解中的应用，通过观察发现互为相反数的代数式，将重复出现的多项式作为整体合并，避免了常规去括号步骤中大量分数运算的麻烦，有效降低出错概率，同学们后续遇到结构相似的方程时，可以优先尝试整体法简化计算。
【难度系数】
0.6
