登录
5. 从1～10的10个自然数中，至少要选出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数不是3的倍数？
答案
5. 在这10个数中，是3的倍数的数有
3个，所以至少要选出4个数，才能保
证其中一定有一个数不是3的倍数。
3个，所以至少要选出4个数，才能保
证其中一定有一个数不是3的倍数。
解析
【分析】
要解决“保证其中一定有一个数不是3的倍数”的问题，需运用最不利原则：先考虑最极端的情况，即把所有是3的倍数的数都选出来，此时再选一个数，就必然能保证这个数不是3的倍数。首先要找出1～10中3的倍数的数量，再在此基础上加1，就是至少要选的数的个数。
【解析】
1. 确定1～10中3的倍数：3、6、9，共3个。
2. 根据最不利原则，先将这3个3的倍数全部选出，此时再选1个数，该数一定不是3的倍数。
3. 计算至少选出的数的个数：3+1=4（个）。
【答案】
4个
【知识点】
抽屉原理（最不利原则）、倍数判定
【点评】
本题考查最不利原则的实际应用，解题核心是先明确符合“3的倍数”的数的数量，再通过考虑最坏情况推导结果，有助于提升学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要解决“保证其中一定有一个数不是3的倍数”的问题，需运用最不利原则：先考虑最极端的情况，即把所有是3的倍数的数都选出来，此时再选一个数，就必然能保证这个数不是3的倍数。首先要找出1～10中3的倍数的数量，再在此基础上加1，就是至少要选的数的个数。
【解析】
1. 确定1～10中3的倍数：3、6、9，共3个。
2. 根据最不利原则，先将这3个3的倍数全部选出，此时再选1个数，该数一定不是3的倍数。
3. 计算至少选出的数的个数：3+1=4（个）。
【答案】
4个
【知识点】
抽屉原理（最不利原则）、倍数判定
【点评】
本题考查最不利原则的实际应用，解题核心是先明确符合“3的倍数”的数的数量，再通过考虑最坏情况推导结果，有助于提升学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
6. 有红、黄、蓝、白四种颜色的大小、形状相同的小球各10个，放在一个布袋里，一次摸出5个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？如果一次摸出9个小球，至少有几个小球的颜色相同？如果一次摸出13个呢？你发现了什么规律吗？
答案
6. $5÷4=1······1$，$1+1=2$，一次摸出
5个小球，其中至少有2个小球的颜色
相同；$9÷4=2······1$，$2+1=3$，一次
摸出9个小球，其中至少有3个小球的
颜色相同；$13÷4=3······1$，$3+1=4$，
一次摸出13个小球，其中至少有4个
小球的颜色相同。
规律略。
5个小球，其中至少有2个小球的颜色
相同；$9÷4=2······1$，$2+1=3$，一次
摸出9个小球，其中至少有3个小球的
颜色相同；$13÷4=3······1$，$3+1=4$，
一次摸出13个小球，其中至少有4个
小球的颜色相同。
规律略。
解析
【分析】
这道题是抽屉原理的典型应用，我们可以把四种颜色看作4个“抽屉”，摸出的小球数量看作“待放入抽屉的物体”。解题时要先考虑最不利的情况：尽可能让每种颜色的小球数量平均分配，先给每个抽屉放相同数量的小球，剩下的小球无论放到哪个抽屉，都会使该抽屉内的小球数量至少增加1个，以此来计算至少有几个小球颜色相同。
具体思考步骤：
1. 摸5个小球：4种颜色各放1个，共放了4个，还剩1个，这个小球放入任意颜色中，就会出现有1种颜色有2个小球；
2. 摸9个小球：4种颜色各放2个，共放了8个，还剩1个，放入后就会有1种颜色有3个小球；
3. 摸13个小球：4种颜色各放3个，共放了12个，还剩1个，放入后就会有1种颜色有4个小球。
通过这三个情况，就能总结出对应的规律。
【解析】
1. 一次摸出5个小球：
$5÷4=1······1$，其中商1表示平均每种颜色先分配1个小球，余数1表示剩余1个小球，将剩余小球放入任意颜色中，可得至少有$1+1=2$个小球颜色相同。
2. 一次摸出9个小球：
$9÷4=2······1$，商2表示平均每种颜色先分配2个小球，余数1表示剩余1个小球，放入后至少有$2+1=3$个小球颜色相同。
3. 一次摸出13个小球：
$13÷4=3······1$，商3表示平均每种颜色先分配3个小球，余数1表示剩余1个小球，放入后至少有$3+1=4$个小球颜色相同。
【答案】
一次摸出5个小球，其中至少有2个小球的颜色相同；一次摸出9个小球，其中至少有3个小球的颜色相同；一次摸出13个小球，其中至少有4个小球的颜色相同。规律略。
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题通过不同数量的摸球情境，考查抽屉原理的实际应用，核心是利用“最不利原则”分析问题，帮助学生理解抽屉原理的本质，掌握此类问题的解题方法，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
这道题是抽屉原理的典型应用，我们可以把四种颜色看作4个“抽屉”，摸出的小球数量看作“待放入抽屉的物体”。解题时要先考虑最不利的情况：尽可能让每种颜色的小球数量平均分配，先给每个抽屉放相同数量的小球，剩下的小球无论放到哪个抽屉，都会使该抽屉内的小球数量至少增加1个，以此来计算至少有几个小球颜色相同。
具体思考步骤：
1. 摸5个小球：4种颜色各放1个，共放了4个，还剩1个，这个小球放入任意颜色中，就会出现有1种颜色有2个小球；
2. 摸9个小球：4种颜色各放2个，共放了8个，还剩1个，放入后就会有1种颜色有3个小球；
3. 摸13个小球：4种颜色各放3个，共放了12个，还剩1个，放入后就会有1种颜色有4个小球。
通过这三个情况，就能总结出对应的规律。
【解析】
1. 一次摸出5个小球：
$5÷4=1······1$，其中商1表示平均每种颜色先分配1个小球，余数1表示剩余1个小球，将剩余小球放入任意颜色中，可得至少有$1+1=2$个小球颜色相同。
2. 一次摸出9个小球：
$9÷4=2······1$，商2表示平均每种颜色先分配2个小球，余数1表示剩余1个小球，放入后至少有$2+1=3$个小球颜色相同。
3. 一次摸出13个小球：
$13÷4=3······1$，商3表示平均每种颜色先分配3个小球，余数1表示剩余1个小球，放入后至少有$3+1=4$个小球颜色相同。
【答案】
一次摸出5个小球，其中至少有2个小球的颜色相同；一次摸出9个小球，其中至少有3个小球的颜色相同；一次摸出13个小球，其中至少有4个小球的颜色相同。规律略。
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题通过不同数量的摸球情境，考查抽屉原理的实际应用，核心是利用“最不利原则”分析问题，帮助学生理解抽屉原理的本质，掌握此类问题的解题方法，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
