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9 如果$|a|=4$，$|b|=3$，且$a＜0＜b$，那么$(a+b)^3=$
-1
。答案
9. $-1$
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质，得出a、b的所有可能取值；再结合题目给出的a＜0＜b的大小限制，确定a、b的具体数值；最后将a、b的值代入代数式，先计算括号内的加法，再计算乘方即可得到结果。
【解析】
解：
∵|a|=4，
∴a=4或a=-4，
又
∵a＜0，
∴a=-4；
∵|b|=3，
∴b=3或b=-3，
又
∵b＞0，
∴b=3；
则a+b=-4+3=-1，
∴$(a+b)^3=(-1)^3=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
绝对值的性质；有理数加法；乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是根据绝对值的性质和给定的正负条件准确确定a、b的取值，再按照有理数运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据绝对值的性质，得出a、b的所有可能取值；再结合题目给出的a＜0＜b的大小限制，确定a、b的具体数值；最后将a、b的值代入代数式，先计算括号内的加法，再计算乘方即可得到结果。
【解析】
解：
∵|a|=4，
∴a=4或a=-4，
又
∵a＜0，
∴a=-4；
∵|b|=3，
∴b=3或b=-3，
又
∵b＞0，
∴b=3；
则a+b=-4+3=-1，
∴$(a+b)^3=(-1)^3=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
绝对值的性质；有理数加法；乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是根据绝对值的性质和给定的正负条件准确确定a、b的取值，再按照有理数运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.8
10 将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，第一次对折后可得到1条折痕(图中虚线)，第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后可得到7条折痕，那么第七次对折后可得到
127
条折痕.答案
10. 127
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先梳理已知的对折次数和对应折痕数量的关系，观察数据特征寻找规律。首先把前三次的对折结果列出来：第1次对折折痕1条，第2次3条，第3次7条，对比2的乘方运算结果，会发现折痕数都等于2的对应对折次数次方减1，得出通用规律后，将对折次数7代入规律计算即可得到结果。
【解析】
解：根据题意分析已知的对折情况：
第1次对折，折痕条数为$1=2^1 - 1$；
第2次对折，折痕条数为$3=2^2 - 1$；
第3次对折，折痕条数为$7=2^3 - 1$；
由此可归纳得到规律：第$n$次对折后，折痕的条数为$2^n -1$。
当$n=7$时，折痕条数为$2^7 - 1 = 128 -1 = 127$。
【答案】
127
【知识点】
1.乘方的计算 2.数字规律探究 3.图形变化规律
【点评】
这是一道结合图形折叠的规律探究题，解题的核心是通过已知的折叠结果，提炼出折痕数和对折次数之间的通用规律，再结合乘方运算求解，能够锻炼学生观察归纳和应用乘方计算的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以先梳理已知的对折次数和对应折痕数量的关系，观察数据特征寻找规律。首先把前三次的对折结果列出来：第1次对折折痕1条，第2次3条，第3次7条，对比2的乘方运算结果，会发现折痕数都等于2的对应对折次数次方减1，得出通用规律后，将对折次数7代入规律计算即可得到结果。
【解析】
解：根据题意分析已知的对折情况：
第1次对折，折痕条数为$1=2^1 - 1$；
第2次对折，折痕条数为$3=2^2 - 1$；
第3次对折，折痕条数为$7=2^3 - 1$；
由此可归纳得到规律：第$n$次对折后，折痕的条数为$2^n -1$。
当$n=7$时，折痕条数为$2^7 - 1 = 128 -1 = 127$。
【答案】
127
【知识点】
1.乘方的计算 2.数字规律探究 3.图形变化规律
【点评】
这是一道结合图形折叠的规律探究题，解题的核心是通过已知的折叠结果，提炼出折痕数和对折次数之间的通用规律，再结合乘方运算求解，能够锻炼学生观察归纳和应用乘方计算的能力。
【难度系数】
0.7
11 观察下列等式：$3^1=3$，$3^2=9$，$3^3=27$，$3^4=81$，$3^5=243$，$3^6=729$，…，则$3^{2026}$的个位上的数字是
9
。答案
11. 9
【解析】因为 $3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243,3^6=729,…,$所以3的正整数次幂的个位上的数字按3,9,7,1的顺序进行循环.因为$2026÷4=506……2,$所以$3^{2026}$的个位上的数字是9.
【解析】因为 $3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243,3^6=729,…,$所以3的正整数次幂的个位上的数字按3,9,7,1的顺序进行循环.因为$2026÷4=506……2,$所以$3^{2026}$的个位上的数字是9.
解析
【分析】
本题要求$3^{2026}$的个位数字，无需计算完整的幂结果，只需观察3的正整数次幂的个位数字变化规律即可。首先梳理前几个3的幂的个位数字，找到其循环周期，再用指数2026除以周期，根据余数即可确定对应的个位数字。
【解析】
观察给出的等式可知：$3^1$的个位数字是3，$3^2$的个位数字是9，$3^3$的个位数字是7，$3^4$的个位数字是1，$3^5$的个位数字回到3，因此3的正整数次幂的个位数字按3、9、7、1的顺序每4个为一个周期循环出现。
计算2026除以周期4的结果：$2026÷4=506······2$，余数为2，说明$3^{2026}$的个位数字对应循环序列中的第2个数字。
【答案】
9
【知识点】
有理数乘方，规律探究，周期问题
【点评】
本题是典型的数字规律类题目，核心是通过观察找到幂的个位数字的循环周期，再结合余数判断结果，解题时要注意准确计算余数，避免因周期判断错误失分。
【难度系数】
0.7
本题要求$3^{2026}$的个位数字，无需计算完整的幂结果，只需观察3的正整数次幂的个位数字变化规律即可。首先梳理前几个3的幂的个位数字，找到其循环周期，再用指数2026除以周期，根据余数即可确定对应的个位数字。
【解析】
观察给出的等式可知：$3^1$的个位数字是3，$3^2$的个位数字是9，$3^3$的个位数字是7，$3^4$的个位数字是1，$3^5$的个位数字回到3，因此3的正整数次幂的个位数字按3、9、7、1的顺序每4个为一个周期循环出现。
计算2026除以周期4的结果：$2026÷4=506······2$，余数为2，说明$3^{2026}$的个位数字对应循环序列中的第2个数字。
【答案】
9
【知识点】
有理数乘方，规律探究，周期问题
【点评】
本题是典型的数字规律类题目，核心是通过观察找到幂的个位数字的循环周期，再结合余数判断结果，解题时要注意准确计算余数，避免因周期判断错误失分。
【难度系数】
0.7
12 计算：
（1）$-2^{31}+(-2)^{31}$；
（2）$(-2)^2 - 2^2 + (-\dfrac{2}{3})^2 - \dfrac{2}{3^2}$。
（1）$-2^{31}+(-2)^{31}$；
（2）$(-2)^2 - 2^2 + (-\dfrac{2}{3})^2 - \dfrac{2}{3^2}$。
答案
12. (1) $-2^{32}$ (2) $\dfrac{2}{9}$
解析
【分析】
计算乘方类运算时，首先要明确乘方的意义，区分底数带括号与不带括号的运算差异，再结合幂的符号法则判断结果符号，最后按照有理数加减法则计算结果。具体到各小问：（1）先根据负数的奇次幂为负，将$(-2)^{31}$化简为$-2^{31}$，再合并同类项即可得出结果；（2）先分别计算每一项的乘方结果，注意区分$(-2)^2$与$2^2$、$(-\dfrac{2}{3})^2$与$\dfrac{2}{3^2}$的底数差异，再依次做加减运算。
【解析】
（1）根据负数的奇次幂是负数，可得$(-2)^{31}=-2^{31}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}-2^{31}+(-2)^{31}&=-2^{31}+(-2^{31})\\&=-2^{31}-2^{31}\\&=-2×2^{31}\\&=-2^{32}\end{aligned}$
（2）先分别计算各乘方项：$(-2)^2=4$，$2^2=4$，$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，$\dfrac{2}{3^2}=\dfrac{2}{9}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}(-2)^2 - 2^2 + (-\dfrac{2}{3})^2 - \dfrac{2}{3^2}&=4-4+\dfrac{4}{9}-\dfrac{2}{9}\\&=0+\dfrac{2}{9}\\&=\dfrac{2}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2^{32}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{2}{9}}$
【知识点】
1. 乘方的运算 2. 有理数加减运算 3. 幂的符号法则
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心易错点是区分底数是否带括号的运算差异，计算时需先准确判断乘方结果的符号，再进行后续加减运算，是巩固乘方基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.7
计算乘方类运算时，首先要明确乘方的意义，区分底数带括号与不带括号的运算差异，再结合幂的符号法则判断结果符号，最后按照有理数加减法则计算结果。具体到各小问：（1）先根据负数的奇次幂为负，将$(-2)^{31}$化简为$-2^{31}$，再合并同类项即可得出结果；（2）先分别计算每一项的乘方结果，注意区分$(-2)^2$与$2^2$、$(-\dfrac{2}{3})^2$与$\dfrac{2}{3^2}$的底数差异，再依次做加减运算。
【解析】
（1）根据负数的奇次幂是负数，可得$(-2)^{31}=-2^{31}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}-2^{31}+(-2)^{31}&=-2^{31}+(-2^{31})\\&=-2^{31}-2^{31}\\&=-2×2^{31}\\&=-2^{32}\end{aligned}$
（2）先分别计算各乘方项：$(-2)^2=4$，$2^2=4$，$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，$\dfrac{2}{3^2}=\dfrac{2}{9}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}(-2)^2 - 2^2 + (-\dfrac{2}{3})^2 - \dfrac{2}{3^2}&=4-4+\dfrac{4}{9}-\dfrac{2}{9}\\&=0+\dfrac{2}{9}\\&=\dfrac{2}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2^{32}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{2}{9}}$
【知识点】
1. 乘方的运算 2. 有理数加减运算 3. 幂的符号法则
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心易错点是区分底数是否带括号的运算差异，计算时需先准确判断乘方结果的符号，再进行后续加减运算，是巩固乘方基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.7
13 已知$a,b$为有理数，且$|a+4|+(b-3)^2=0$，求$(a+b)^{2027}$的值.
答案
13. 由题意,得$a+4=0,b-3=0,$所以$a=-4,b=3.$所以$(a+b)^{2027}=(-4+3)^{2027}=-1$
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值和平方数的性质：二者都是非负数，即任意实数的绝对值≥0，任意实数的平方≥0。当两个非负数的和为0时，只有每个非负数都为0才能满足条件，因此可以先列方程求出a、b的值，再代入待求式计算乘方即可。
【解析】
解：
∵ $|a+4|≥0$，$(b-3)^2≥0$，且$|a+4|+(b-3)^2=0$
∴ $a+4=0$，$b-3=0$
解得 $a=-4$，$b=3$
将$a=-4$，$b=3$代入$(a+b)^{2027}$得：
$(a+b)^{2027}=(-4+3)^{2027}=(-1)^{2027}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
非负数的性质、有理数乘方运算、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握绝对值和偶次幂的非负性，明确多个非负数相加和为0时，每个非负数的取值都为0，熟练掌握该规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆绝对值和平方数的性质：二者都是非负数，即任意实数的绝对值≥0，任意实数的平方≥0。当两个非负数的和为0时，只有每个非负数都为0才能满足条件，因此可以先列方程求出a、b的值，再代入待求式计算乘方即可。
【解析】
解：
∵ $|a+4|≥0$，$(b-3)^2≥0$，且$|a+4|+(b-3)^2=0$
∴ $a+4=0$，$b-3=0$
解得 $a=-4$，$b=3$
将$a=-4$，$b=3$代入$(a+b)^{2027}$得：
$(a+b)^{2027}=(-4+3)^{2027}=(-1)^{2027}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
非负数的性质、有理数乘方运算、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握绝对值和偶次幂的非负性，明确多个非负数相加和为0时，每个非负数的取值都为0，熟练掌握该规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
14 教材 P53 例4变式 观察下列各组数：
① $-1,2,-4,8,-16,32,···$；
② $0,3,-3,9,-15,33,···$；
③ $-2,4,-8,16,-32,64,···$.
（1）第①组数是按什么规律排列的？
（2）第②③组数分别与第①组数有什么数量关系？
（3）取每组数的第8个数，计算这三个数的和.
① $-1,2,-4,8,-16,32,···$；
② $0,3,-3,9,-15,33,···$；
③ $-2,4,-8,16,-32,64,···$.
（1）第①组数是按什么规律排列的？
（2）第②③组数分别与第①组数有什么数量关系？
（3）取每组数的第8个数，计算这三个数的和.
答案
14. (1) 相邻的两个数中,后面一个数与前面一个数相除的商是$-2$ (2) 对比①②③三组中对应位置的数,第②组数比第①组对应位置的数大1,第③组数是第①组对应位置的数的2倍 (3) 由(2),得这三个数的和为$2^7+(2^7+1)+(2^7×2)=513$
解析
【分析】
（1）探究第①组数的规律时，可从符号、绝对值两方面观察，也可通过计算相邻两数的商判断变化规律；（2）探究第②③组数与第①组数的关系时，将三组数同一位置的数逐一对比，即可得到数量关系；（3）先根据第①组的规律求出其第8个数，再结合第（2）问得到的关系分别求出第②③组的第8个数，最后将三个数相加即可得到结果。
【解析】
（1）观察第①组数：$-1,2,-4,8,-16,32,\dots$，计算相邻两数的商：$2÷(-1)=-2$，$-4÷2=-2$，$8÷(-4)=-2$，以此类推，可得规律：相邻的两个数中，后面一个数与前面一个数相除的商是$-2$。
（2）对比三组数对应位置的数：第1个：$0=-1+1$，$-2=-1×2$；第2个：$3=2+1$，$4=2×2$；第3个：$-3=-4+1$，$-8=-4×2$，验证后续位置的数均符合上述关系，因此第②组数比第①组对应位置的数大1，第③组数是第①组对应位置的数的2倍。
（3）由（1）的规律可推出第①组第8个数为$2^7=128$；由（2）的关系可得，第②组第8个数为$128+1=129$，第③组第8个数为$128×2=256$。
三个数的和为：$2^7+(2^7+1)+(2^7×2)=128+129+256=513$。
【答案】
(1) 相邻的两个数中,后面一个数与前面一个数相除的商是$-2$
(2) 第②组数比第①组对应位置的数大1,第③组数是第①组对应位置的数的2倍
(3) $513$
【知识点】
1. 数字规律探究 2. 乘方运算 3. 有理数加减运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先找到基准组的变化规律，再通过对比推导其他组与基准组的数量关系，重点考查观察归纳能力和有理数运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）探究第①组数的规律时，可从符号、绝对值两方面观察，也可通过计算相邻两数的商判断变化规律；（2）探究第②③组数与第①组数的关系时，将三组数同一位置的数逐一对比，即可得到数量关系；（3）先根据第①组的规律求出其第8个数，再结合第（2）问得到的关系分别求出第②③组的第8个数，最后将三个数相加即可得到结果。
【解析】
（1）观察第①组数：$-1,2,-4,8,-16,32,\dots$，计算相邻两数的商：$2÷(-1)=-2$，$-4÷2=-2$，$8÷(-4)=-2$，以此类推，可得规律：相邻的两个数中，后面一个数与前面一个数相除的商是$-2$。
（2）对比三组数对应位置的数：第1个：$0=-1+1$，$-2=-1×2$；第2个：$3=2+1$，$4=2×2$；第3个：$-3=-4+1$，$-8=-4×2$，验证后续位置的数均符合上述关系，因此第②组数比第①组对应位置的数大1，第③组数是第①组对应位置的数的2倍。
（3）由（1）的规律可推出第①组第8个数为$2^7=128$；由（2）的关系可得，第②组第8个数为$128+1=129$，第③组第8个数为$128×2=256$。
三个数的和为：$2^7+(2^7+1)+(2^7×2)=128+129+256=513$。
【答案】
(1) 相邻的两个数中,后面一个数与前面一个数相除的商是$-2$
(2) 第②组数比第①组对应位置的数大1,第③组数是第①组对应位置的数的2倍
(3) $513$
【知识点】
1. 数字规律探究 2. 乘方运算 3. 有理数加减运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先找到基准组的变化规律，再通过对比推导其他组与基准组的数量关系，重点考查观察归纳能力和有理数运算能力。
【难度系数】
0.7
