登录
21. 如图 19 所示,在一个底面积为$150\ \mathrm{cm}^2$且足够深的薄壁柱形容器内装入一定量的水,放在一个足够大的桌面中央。将一个高为$10\ \mathrm{cm}$、底面积为$50\ \mathrm{cm}^2$的圆柱形实心塑料块 A 挂于弹簧测力计上,弹簧测力计上端固定。当塑料块 A 的底面刚好接触水面时,弹簧测力计(0刻度线与1 N刻度线之间的间隔为1 cm)示数为4 N,向容器里缓慢加水。($\rho_{\mathrm{水}}=1.0× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$,$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$)
(1)求该实心塑料块 A 的密度。
(2)向容器里加水至弹簧测力计示数为3 N时,塑料块 A 的底部所受水的压强为多少?
(3)当加水至弹簧测力计示数变为0时,与原来水面相比,水面升高的高度为多少?
(1)求该实心塑料块 A 的密度。
(2)向容器里加水至弹簧测力计示数为3 N时,塑料块 A 的底部所受水的压强为多少?
(3)当加水至弹簧测力计示数变为0时,与原来水面相比,水面升高的高度为多少?
答案
21.(1)塑料块 A 的体积
$V=Sh=50\ \mathrm{cm}^2×10\ \mathrm{cm}=500\ \mathrm{cm}^3=5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,
该实心塑料块 A 的密度
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{G}{gV}=\frac{4\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}×5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(2)塑料块 A 受到的浮力
$F_{浮}=G-F=4\ \mathrm{N}-3\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{N}$,
塑料块 A 排开水的体积
$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{1\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,
塑料块 A 浸入水中的深度
$h=\frac{V_{排}}{S}=\frac{10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{50×10^{-4}\ \mathrm{m}^2}=0.02\ \mathrm{m}$,
塑料块 A 的底部所受水的压强
$p=\rho_{水}gh=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.02\ \mathrm{m}=200\ \mathrm{Pa}$。
(3)当加水至弹簧测力计的示数变为0时,塑料块 A 受到的浮力为4 N,则它排开水的体积
$V'_{排}=\frac{F'_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{4\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,
$h'=\frac{V'_{排}}{S}=\frac{4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{50×10^{-4}\ \mathrm{m}^2}=0.08\ \mathrm{m}=8\ \mathrm{cm}$。
由于弹簧测力计的示数由4 N变为0,弹簧测力计上升的距离为4 cm,则水面升高的高度
$h=8\ \mathrm{cm}+4\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{cm}$。
$V=Sh=50\ \mathrm{cm}^2×10\ \mathrm{cm}=500\ \mathrm{cm}^3=5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,
该实心塑料块 A 的密度
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{G}{gV}=\frac{4\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}×5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(2)塑料块 A 受到的浮力
$F_{浮}=G-F=4\ \mathrm{N}-3\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{N}$,
塑料块 A 排开水的体积
$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{1\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,
塑料块 A 浸入水中的深度
$h=\frac{V_{排}}{S}=\frac{10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{50×10^{-4}\ \mathrm{m}^2}=0.02\ \mathrm{m}$,
塑料块 A 的底部所受水的压强
$p=\rho_{水}gh=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.02\ \mathrm{m}=200\ \mathrm{Pa}$。
(3)当加水至弹簧测力计的示数变为0时,塑料块 A 受到的浮力为4 N,则它排开水的体积
$V'_{排}=\frac{F'_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{4\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,
$h'=\frac{V'_{排}}{S}=\frac{4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{50×10^{-4}\ \mathrm{m}^2}=0.08\ \mathrm{m}=8\ \mathrm{cm}$。
由于弹簧测力计的示数由4 N变为0,弹簧测力计上升的距离为4 cm,则水面升高的高度
$h=8\ \mathrm{cm}+4\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
本题是密度、浮力、液体压强的综合计算题，解题思路如下：
（1）求塑料块A的密度，需先由重力算出质量，再结合体积（底面积×高），利用密度公式计算；
（2）弹簧测力计示数为3N时，用称重法算浮力，再通过阿基米德原理得排开水的体积，进而算出浸入深度，最后用液体压强公式求底部压强；
（3）弹簧测力计示数为0时，浮力等于重力，同理得此时浸入深度；再根据弹簧测力计示数变化，结合“0刻度线与1N刻度线间隔1cm”，算出弹簧缩短的距离（即塑料块向下移动的距离），水面升高高度为浸入深度与该距离之和。
【解析】
（1）塑料块A的体积：
$V = S_A h_A = 50\ \mathrm{cm}^2 × 10\ \mathrm{cm} = 500\ \mathrm{cm}^3 = 5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
塑料块A的质量：$m = \frac{G}{g} = \frac{4\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}} = 0.4\ \mathrm{kg}$
密度：$\rho = \frac{m}{V} = \frac{0.4\ \mathrm{kg}}{5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3} = 0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
（2）弹簧测力计示数为3N时，塑料块A受到的浮力：
$F_{浮} = G - F = 4\ \mathrm{N} - 3\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{N}$
由阿基米德原理$F_{浮} = \rho_{水}gV_{排}$，得排开水的体积：
$V_{排} = \frac{F_{浮}}{\rho_{水}g} = \frac{1\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}} = 10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
塑料块A浸入水中的深度：
$h = \frac{V_{排}}{S_A} = \frac{10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{50×10^{-4}\ \mathrm{m}^2} = 0.02\ \mathrm{m}$
塑料块A底部所受水的压强：
$p = \rho_{水}gh = 1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.02\ \mathrm{m} = 200\ \mathrm{Pa}$
（3）弹簧测力计示数为0时，塑料块A受到的浮力$F_{浮}' = G = 4\ \mathrm{N}$
此时排开水的体积：
$V_{排}' = \frac{F_{浮}'}{\rho_{水}g} = \frac{4\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}} = 4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
浸入水中的深度：
$h' = \frac{V_{排}'}{S_A} = \frac{4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{50×10^{-4}\ \mathrm{m}^2} = 0.08\ \mathrm{m} = 8\ \mathrm{cm}$
弹簧测力计示数从4N变为0，拉力变化$\Delta F = 4\ \mathrm{N}$，由“0刻度线与1N间隔1cm”，得弹簧缩短距离（塑料块向下移动距离）$\Delta L = 4\ \mathrm{cm}$
水面升高的高度：$\Delta h = h' + \Delta L = 8\ \mathrm{cm} + 4\ \mathrm{cm} = 12\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) $0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(2) $200\ \mathrm{Pa}$；(3) $12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
密度计算、浮力计算、液体压强计算
【点评】
本题综合考查密度、浮力、液体压强的核心知识，需熟练运用称重法、阿基米德原理等公式，第三问需理解弹簧测力计示数变化与物体移动的关系，是解题难点，需仔细分析逻辑关系。
【难度系数】
0.4
本题是密度、浮力、液体压强的综合计算题，解题思路如下：
（1）求塑料块A的密度，需先由重力算出质量，再结合体积（底面积×高），利用密度公式计算；
（2）弹簧测力计示数为3N时，用称重法算浮力，再通过阿基米德原理得排开水的体积，进而算出浸入深度，最后用液体压强公式求底部压强；
（3）弹簧测力计示数为0时，浮力等于重力，同理得此时浸入深度；再根据弹簧测力计示数变化，结合“0刻度线与1N刻度线间隔1cm”，算出弹簧缩短的距离（即塑料块向下移动的距离），水面升高高度为浸入深度与该距离之和。
【解析】
（1）塑料块A的体积：
$V = S_A h_A = 50\ \mathrm{cm}^2 × 10\ \mathrm{cm} = 500\ \mathrm{cm}^3 = 5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
塑料块A的质量：$m = \frac{G}{g} = \frac{4\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}} = 0.4\ \mathrm{kg}$
密度：$\rho = \frac{m}{V} = \frac{0.4\ \mathrm{kg}}{5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3} = 0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
（2）弹簧测力计示数为3N时，塑料块A受到的浮力：
$F_{浮} = G - F = 4\ \mathrm{N} - 3\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{N}$
由阿基米德原理$F_{浮} = \rho_{水}gV_{排}$，得排开水的体积：
$V_{排} = \frac{F_{浮}}{\rho_{水}g} = \frac{1\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}} = 10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
塑料块A浸入水中的深度：
$h = \frac{V_{排}}{S_A} = \frac{10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{50×10^{-4}\ \mathrm{m}^2} = 0.02\ \mathrm{m}$
塑料块A底部所受水的压强：
$p = \rho_{水}gh = 1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.02\ \mathrm{m} = 200\ \mathrm{Pa}$
（3）弹簧测力计示数为0时，塑料块A受到的浮力$F_{浮}' = G = 4\ \mathrm{N}$
此时排开水的体积：
$V_{排}' = \frac{F_{浮}'}{\rho_{水}g} = \frac{4\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}} = 4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
浸入水中的深度：
$h' = \frac{V_{排}'}{S_A} = \frac{4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{50×10^{-4}\ \mathrm{m}^2} = 0.08\ \mathrm{m} = 8\ \mathrm{cm}$
弹簧测力计示数从4N变为0，拉力变化$\Delta F = 4\ \mathrm{N}$，由“0刻度线与1N间隔1cm”，得弹簧缩短距离（塑料块向下移动距离）$\Delta L = 4\ \mathrm{cm}$
水面升高的高度：$\Delta h = h' + \Delta L = 8\ \mathrm{cm} + 4\ \mathrm{cm} = 12\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) $0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(2) $200\ \mathrm{Pa}$；(3) $12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
密度计算、浮力计算、液体压强计算
【点评】
本题综合考查密度、浮力、液体压强的核心知识，需熟练运用称重法、阿基米德原理等公式，第三问需理解弹簧测力计示数变化与物体移动的关系，是解题难点，需仔细分析逻辑关系。
【难度系数】
0.4
