1. 若点$A(2,m)$在函数$y=2x+1$的图象上，则点$A$的坐标是（）

A.$(2,1)$
B.$(2,2)$
C.$(2,5)$
D.$(2,3)$

C

将点A的横坐标x=2代入函数y=2x+1，得y=2×2+1=5，即m=5，故点A的坐标为(2,5)，对应选项C。

2. 下列函数中，y是x的一次函数的是（）

A.$y=1$
B.$y=\frac{1}{x+1}$
C.$y=2x-3$
D.$y=x^2$

C

根据一次函数的定义，形如y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的函数是一次函数。A选项y=1是常数函数，不符合；B选项是分式函数，不是整式，不符合；C选项y=2x-3符合一次函数定义；D选项是二次函数，不符合。

3. 若y是x的一次函数且该函数图象过点(1,0)，请写出一个符合条件的函数解析式：。

$y = x - 1$（答案不唯一）

设一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k≠0$），将点$(1,0)$代入解析式得：$k + b = 0$，即$b = -k$。取$k = 1$，则$b = -1$，此时函数解析式为$y = x - 1$，满足条件（答案不唯一）。

4. 一次函数$y=kx+b$的图象如图所示，则不等式$kx+b＞1$的解集为.

$x＞0$

由一次函数$y=kx+b$的图象可知，该函数与$y$轴交于点$(0,1)$，且函数值$y$随$x$的增大而增大，因此不等式$kx+b＞1$的解集是$x＞0$。

5. 如图,在平面直角坐标系中,在直线$y=x+1$和$x$轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形(图中所示的阴影部分),其中一条直角边在$x$轴上,另一条直角边与$x$轴垂直,则第100个等腰直角三角形的面积是________.

$2^{197}$

先分析前几个等腰直角三角形的面积：第1个等腰直角三角形，直角边长为1，面积为$\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}$；第2个等腰直角三角形，直角边长为2，面积为$\frac{2^2}{2}=2$；第3个等腰直角三角形，直角边长为4，面积为$\frac{4^2}{2}=8$；……由此可得规律：第n个等腰直角三角形的直角边长为$2^{n-1}$，则其面积为$S_n=\frac{(2^{n-1})^2}{2}=\frac{2^{2n-2}}{2}=2^{2n-3}$。当n=100时，$S_{100}=2^{2×100 -3}=2^{197}$。

6. 如图①，在平面直角坐标系中，已知直线$l_2:y=-\dfrac{1}{2}x+6$与直线$l_1:y=\dfrac{1}{2}x$交于点A，分别与x轴、y轴交于点B，C.
（1）分别求出点A，B，C的坐标.
（2）若D是线段OA上的点，且$△ COD$的面积为12，求直线CD的函数解析式.
（3）在（2）的条件下，设P是直线CD上的点，在平面内是否存在其他点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

（1）$A(6,3),B(12,0),C(0,6)$；
（2）$y=-x+6$；
（3）存在，Q的坐标为$(6,6)$、$(3\sqrt{2},12-3\sqrt{2})$、$(-3\sqrt{2},12+3\sqrt{2})$、$(-3,3)$。

（1）联立直线$l_1$与$l_2$的方程求交点A；令$l_2$中$y=0$求B，$x=0$求C：
联立$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x+6\\y=\dfrac{1}{2}x\end{cases}$，解得$x=6,y=3$，故$A(6,3)$；
令$y=0$，$0=-\dfrac{1}{2}x+6$，得$x=12$，故$B(12,0)$；
令$x=0$，$y=6$，故$C(0,6)$。
（2）设$D(a,\dfrac{1}{2}a)$（D在OA上，OA解析式为$y=\dfrac{1}{2}x$），$△ COD$的底$OC=6$，高为D的横坐标$a$，面积$S=\dfrac{1}{2}×6× a=3a=12$，解得$a=4$，故$D(4,2)$；
设直线CD解析式为$y=kx+b$，代入$C(0,6)$得$b=6$，代入$D(4,2)$得$2=4k+6$，解得$k=-1$，故直线CD解析式为$y=-x+6$。
（3）存在，分情况讨论：
设$P(p,-p+6)$，$O(0,0),C(0,6)$，菱形四边相等，分三类：
① 以OC为边，$OC=OP=6$：$OP=\sqrt{p^2+(-p+6)^2}=6$，解得$p=0$（舍去）或$p=6$，得$P(6,0)$，对应$Q(6,6)$；
② 以OC为边，$OC=CP=6$：$CP=\sqrt{p^2+(-p)^2}=|p|\sqrt{2}=6$，解得$p=\pm3\sqrt{2}$，对应$Q(3\sqrt{2},12-3\sqrt{2})$、$Q(-3\sqrt{2},12+3\sqrt{2})$；
③ 以OC为对角线，$OP=CP$：P在OC垂直平分线$y=3$上，代入CD得$p=3$，得$P(3,3)$，对应$Q(-3,3)$。