13. 计算：
(1) $\sqrt{81} + \sqrt[3]{-27} + \sqrt{(-\dfrac{2}{3})^2}$；
(2) $\left|\sqrt{2} - \sqrt{6}\right| + \left|\sqrt{2} - 1\right| - \left|\sqrt{6} - 3\right|$。

13.(1)$\frac{20}{3}$
(2)$2\sqrt{6}-4$

【分析】
(1) 解题时先分别计算每个根式的值：根据算术平方根的定义，$\sqrt{81}$是求81的正的平方根，结果为9；根据立方根的定义，$\sqrt[3]{-27}$是求-27的立方根，结果为-3；$\sqrt{(-\dfrac{2}{3})^2}$是求$(-\dfrac{2}{3})$平方的算术平方根，结果为正数$\dfrac{2}{3}$，再将三个结果相加即可得到最终值。
(2) 解题核心是先判断绝对值内代数式的正负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，之后合并同类项即可。先判断大小：$\sqrt{6}＞\sqrt{2}$，$\sqrt{2}＞1$，$\sqrt{6}＜3$，去绝对值后注意符号变化，再按顺序计算。
【解析】
(1) 解：
$\begin{aligned}原式&=9 + (-3) + \sqrt{(\dfrac{2}{3})^2}\\&=9 - 3 + \dfrac{2}{3}\\&=6 + \dfrac{2}{3}\\&=\dfrac{20}{3}\end{aligned}$
(2) 解：
$\because \sqrt{6}＞\sqrt{2}，\sqrt{2}＞1，\sqrt{6}＜3$
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{6}-\sqrt{2}) + (\sqrt{2}-1) - (3-\sqrt{6})\\&=\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1-3+\sqrt{6}\\&=(\sqrt{6}+\sqrt{6}) + (-\sqrt{2}+\sqrt{2}) + (-1-3)\\&=2\sqrt{6}-4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{20}{3}$；(2) $2\sqrt{6}-4$
【知识点】
算术平方根计算，立方根计算，绝对值化简
【点评】
本题考查实数的基础运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根、立方根的运算规则，以及绝对值的化简方法，计算时要注意符号变化，避免因去绝对值或去括号时符号处理错误失分。
【难度系数】
0.7

14. 如图2-4-3，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B，若点A表示$-\sqrt{3}$，设点B表示的数为m.

(1)写出m的值：；
(2)求$|m-1| + \sqrt{3}(m+6)+1$的值.

14.(1)$-\sqrt{3}+3$
(2)$8\sqrt{3}$

【分析】
(1) 数轴上的点向右平移时，对应表示的数等于原数加上平移的单位长度。已知点A表示的数为$-\sqrt{3}$，向右爬行3个单位长度到点B，直接按规律计算即可得到m的值。
(2) 计算代数式的值时，先代入m的数值，首先判断绝对值内式子的正负：$\sqrt{3}\approx1.732$，因此$m=3-\sqrt{3}\approx1.268$，可知$m-1$为正数，绝对值可以直接去掉，再按照实数运算顺序逐步计算，合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 因为点A表示$-\sqrt{3}$，沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B，根据数轴右移加的规律可得：
$m = -\sqrt{3} + 3 = 3-\sqrt{3}$
(2) 将$m=3-\sqrt{3}$代入式子$|m-1| + \sqrt{3}(m+6)+1$中：
首先判断绝对值内的符号：$m-1=3-\sqrt{3}-1=2-\sqrt{3}$，因为$\sqrt{3}＜2$，所以$2-\sqrt{3}＞0$，因此$|m-1|=2-\sqrt{3}$。
原式计算如下：
$\begin{aligned}|m-1| + \sqrt{3}(m+6)+1 &= 2-\sqrt{3} + \sqrt{3}×(3-\sqrt{3}+6) +1\\&= 2-\sqrt{3} + \sqrt{3}×(9-\sqrt{3}) +1\\&=2-\sqrt{3} +9\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2 +1\\&=2-\sqrt{3}+9\sqrt{3}-3+1\\&=8\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $3-\sqrt{3}$
(2) $8\sqrt{3}$
【知识点】
数轴上点的平移；绝对值化简；实数运算
【点评】
本题结合数轴考察实数相关运算，解题核心是先根据数轴平移规律求出m的值，再正确化简绝对值、按运算规则计算，属于基础题型，主要考查基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8

15. (1)若a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，求$3(a+b)-2cd+x$的值.
(2)若x的两个平方根分别为$2a-3$和$-a-2$，求$x-13$的平方根.

15.(1)3或-7
(2)$\pm6$

【分析】
(1) 解题时先依据相反数、倒数、绝对值的定义，先确定a+b、cd、x的取值，再分情况代入代数式计算即可。首先，互为相反数的两数之和为0，可直接得到a+b的值；互为倒数的两数乘积为1，可直接得到cd的值；绝对值为5的数有5和-5两个，需要分两种情况代入计算，避免漏解。
(2) 根据平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，先列方程求出a的值，再代入计算得到其中一个平方根，平方后得到x的值，最后计算x-13的平方根即可，注意平方根有正负两个值，不要漏写负的结果。
【解析】
(1) 解：
∵a与b互为相反数，
∴a+b=0
∵c与d互为倒数，
∴cd=1
∵x的绝对值等于5，
∴x=5或x=-5
①当x=5时：
$3(a+b)-2cd+x = 3×0 - 2×1 + 5 = 0 - 2 + 5 = 3$
②当x=-5时：
$3(a+b)-2cd+x = 3×0 - 2×1 + (-5) = 0 - 2 - 5 = -7$
综上，原式的值为3或-7。
(2) 解：
∵正数的两个平方根互为相反数
∴$(2a-3) + (-a-2) = 0$
化简得：$a - 5 = 0$，解得$a=5$
将a=5代入$2a-3$得：$2×5 - 3 = 7$
∴$x = 7^2 = 49$
则$x - 13 = 49 - 13 = 36$
∵$(±6)^2 = 36$，
∴36的平方根为±6，即x-13的平方根为±6。
【答案】
(1)3或-7；(2)$\pm6$
【知识点】
相反数与倒数的性质；绝对值的性质；平方根的性质
【点评】
本题属于基础代数概念应用题，解题的关键是牢记相关概念的性质，注意绝对值有两个取值、平方根的结果要同时考虑正负两个值，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8

16. 已知$2a-1$的立方根是3，$3a+b+5$的平方根是$\pm7$，$c$是$\sqrt{13}$的整数部分，求$a+2b-c^2$的平方根.

16.$\pm3$

【分析】
解题时我们可以分三步推进：第一步，根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方，据此列方程求出a的值；第二步，根据平方根的定义，若一个数的平方根是±7，则这个数等于(±7)的平方，将求出的a代入即可求出b的值；第三步，先估算√13的取值范围，找到它的整数部分得到c的值；最后将a、b、c代入代数式计算，再求所得结果的平方根即可。
【解析】
1. 求a的值：
∵$2a-1$的立方根是3
∴$2a-1=3^3=27$
解得：$2a=28$，$a=14$
2. 求b的值：
∵$3a+b+5$的平方根是$\pm7$
∴$3a+b+5=(\pm7)^2=49$
把$a=14$代入得：$3×14 + b +5=49$
计算得：$42 + b +5=49$，解得$b=2$
3. 求c的值：
∵$3^2=9$，$4^2=16$，$9＜13＜16$
∴$3＜\sqrt{13}＜4$，即$\sqrt{13}$的整数部分$c=3$
4. 计算代数式的值并求平方根：
把$a=14$，$b=2$，$c=3$代入$a+2b-c^2$得：
$14 + 2×2 - 3^2=14+4-9=9$
∵9的平方根是$\pm3$
∴$a+2b-c^2$的平方根是$\pm3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
立方根的定义，平方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是熟练掌握平方根、立方根的定义，同时要注意正数的平方根有两个，互为相反数，计算时避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7