登录
7.如图,在等边三角形ABC中,AD是角平分线,E,F是AD上的两点,连接BE,BF,CE,CF.若BC=6,AD=5,则图中阴影部分的面积是 (
A.15
B.7.5
C.6
D.4.5
一练一得
利用转化思想,可以将分散的图形的面积转化为“凑整”后整体图形的面积.
B
)A.15
B.7.5
C.6
D.4.5
一练一得
利用转化思想,可以将分散的图形的面积转化为“凑整”后整体图形的面积.
答案
7.B
解析
【分析】
解题时先利用等边三角形的轴对称性分析：等边三角形的角平分线AD所在直线是它的对称轴，对称轴两侧对应部分的面积相等。我们可以将分散的阴影部分通过轴对称转化，凑成完整的△ABD，阴影总面积就等于△ABD的面积，无需分别计算每个阴影的面积，简化计算过程。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AD是角平分线
∴AD是△ABC的对称轴，AD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$
根据轴对称的性质，对称轴两侧对应三角形面积相等，因此右侧阴影部分的面积和左侧对应的空白部分面积相等，可得：
阴影部分的总面积 = △ABD的面积
计算△ABD的面积：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×BD×AD=\frac{1}{2}×3×5=7.5$
即阴影部分面积为7.5。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质，轴对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题运用转化思想，借助轴对称性将分散的阴影面积整合为规则三角形的面积计算，降低了计算难度，解题的关键是识别出等边三角形的对称轴以及轴对称带来的面积相等关系。
【难度系数】
0.7
解题时先利用等边三角形的轴对称性分析：等边三角形的角平分线AD所在直线是它的对称轴，对称轴两侧对应部分的面积相等。我们可以将分散的阴影部分通过轴对称转化，凑成完整的△ABD，阴影总面积就等于△ABD的面积，无需分别计算每个阴影的面积，简化计算过程。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AD是角平分线
∴AD是△ABC的对称轴，AD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$
根据轴对称的性质，对称轴两侧对应三角形面积相等，因此右侧阴影部分的面积和左侧对应的空白部分面积相等，可得：
阴影部分的总面积 = △ABD的面积
计算△ABD的面积：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×BD×AD=\frac{1}{2}×3×5=7.5$
即阴影部分面积为7.5。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质，轴对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题运用转化思想，借助轴对称性将分散的阴影面积整合为规则三角形的面积计算，降低了计算难度，解题的关键是识别出等边三角形的对称轴以及轴对称带来的面积相等关系。
【难度系数】
0.7
8.如图,在△ABC中,AD=BD=CD,EF⊥CA,交CA的延长线于点F.试说明:AB//EF.
答案
8.解:因为 $AD=BD=CD$,
所以 $∠ ABD=∠ BAD,∠ CAD=∠ ACD$.
因为 $∠ ABD+∠ BAC+∠ ACD=180°$,
所以 $∠ ABD + ∠ BAD + ∠ CAD + ∠ ACD=180°$.
所以 $2∠ BAD+2∠ CAD=180°$.
所以 $∠ BAD+∠ CAD=90°$,
即 $∠ BAC=90°$.
因为 $EF⊥ CF$,所以 $∠ F=90°$.
所以 $∠ BAC=∠ F$,
所以 $AB// EF$.
所以 $∠ ABD=∠ BAD,∠ CAD=∠ ACD$.
因为 $∠ ABD+∠ BAC+∠ ACD=180°$,
所以 $∠ ABD + ∠ BAD + ∠ CAD + ∠ ACD=180°$.
所以 $2∠ BAD+2∠ CAD=180°$.
所以 $∠ BAD+∠ CAD=90°$,
即 $∠ BAC=90°$.
因为 $EF⊥ CF$,所以 $∠ F=90°$.
所以 $∠ BAC=∠ F$,
所以 $AB// EF$.
解析
【分析】
要证明AB//EF，可利用“同位角相等，两直线平行”的判定定理推导。观察图形可知∠BAC和∠F是AB、EF被FC所截得到的同位角，已知EF⊥CA，可得∠F=90°，因此只需证明∠BAC=90°即可。已知AD=BD=CD，可结合等腰三角形等边对等角的性质，再利用三角形内角和为180°，即可推导出∠BAC的度数为90°，进而得到两个同位角相等，证明两直线平行。
【解析】
因为 $AD=BD=CD$，
所以 $∠ ABD=∠ BAD,∠ CAD=∠ ACD$（等边对等角）。
因为 $∠ ABD+∠ BAC+∠ ACD=180°$（三角形内角和为180°），且$∠BAC=∠BAD+∠CAD$，
所以 $∠ ABD + ∠ BAD + ∠ CAD + ∠ ACD=180°$，
等量代换得 $2∠ BAD+2∠ CAD=180°$，
等式两边同时除以2得 $∠ BAD+∠ CAD=90°$，
即 $∠ BAC=90°$。
因为 $EF⊥ CF$，所以 $∠ F=90°$（垂直的定义），
所以 $∠ BAC=∠ F$，
根据“同位角相等，两直线平行”，可得 $AB// EF$。
【答案】
$AB// EF$
【知识点】
等边对等角，三角形内角和定理，平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先利用等腰三角形性质和三角形内角和定理推出∠BAC为直角，再结合垂直的定义得到相等的同位角，进而证明两直线平行，侧重对基础几何定理的理解与应用考查。
【难度系数】
0.8
要证明AB//EF，可利用“同位角相等，两直线平行”的判定定理推导。观察图形可知∠BAC和∠F是AB、EF被FC所截得到的同位角，已知EF⊥CA，可得∠F=90°，因此只需证明∠BAC=90°即可。已知AD=BD=CD，可结合等腰三角形等边对等角的性质，再利用三角形内角和为180°，即可推导出∠BAC的度数为90°，进而得到两个同位角相等，证明两直线平行。
【解析】
因为 $AD=BD=CD$，
所以 $∠ ABD=∠ BAD,∠ CAD=∠ ACD$（等边对等角）。
因为 $∠ ABD+∠ BAC+∠ ACD=180°$（三角形内角和为180°），且$∠BAC=∠BAD+∠CAD$，
所以 $∠ ABD + ∠ BAD + ∠ CAD + ∠ ACD=180°$，
等量代换得 $2∠ BAD+2∠ CAD=180°$，
等式两边同时除以2得 $∠ BAD+∠ CAD=90°$，
即 $∠ BAC=90°$。
因为 $EF⊥ CF$，所以 $∠ F=90°$（垂直的定义），
所以 $∠ BAC=∠ F$，
根据“同位角相等，两直线平行”，可得 $AB// EF$。
【答案】
$AB// EF$
【知识点】
等边对等角，三角形内角和定理，平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先利用等腰三角形性质和三角形内角和定理推出∠BAC为直角，再结合垂直的定义得到相等的同位角，进而证明两直线平行，侧重对基础几何定理的理解与应用考查。
【难度系数】
0.8
9.为了加强环境治理，某地准备在如图所示的公路m，n之间的S区域新建一座垃圾处理站P，按照设计要求，垃圾处理站P到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等.请在图中用尺规作图的方法作出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）.
答案
9.解:如图所示.
解析
【分析】
要确定点P的位置，需结合它满足的两个条件逐步推导：①到A、B两个城镇距离相等，根据线段垂直平分线的性质，到线段两个端点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，因此首先需要作出线段AB的垂直平分线；②到两条公路m、n的距离相等，根据角平分线的性质，到两条相交直线距离相等的点在两条直线夹角的角平分线上，结合P要在S区域的要求，需要作出m、n夹角朝向S区域的角平分线。两条线的交点即为同时满足两个条件的点P。
【解析】
首先用尺规作线段AB的垂直平分线，再作直线m、n相交形成的、位于S区域一侧的角平分线，两条线的交点就是所求的点P，按题目要求保留作图痕迹、不写作法即可。
【答案】
如图所示.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于几何作图基础题，需要结合两个不同的几何性质确定点的位置，解题的关键是准确理解两个距离条件对应的几何轨迹，作图时要注意保留规范的作图痕迹，同时确保所作的点在题目要求的S区域内。
【难度系数】
0.7
要确定点P的位置，需结合它满足的两个条件逐步推导：①到A、B两个城镇距离相等，根据线段垂直平分线的性质，到线段两个端点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，因此首先需要作出线段AB的垂直平分线；②到两条公路m、n的距离相等，根据角平分线的性质，到两条相交直线距离相等的点在两条直线夹角的角平分线上，结合P要在S区域的要求，需要作出m、n夹角朝向S区域的角平分线。两条线的交点即为同时满足两个条件的点P。
【解析】
首先用尺规作线段AB的垂直平分线，再作直线m、n相交形成的、位于S区域一侧的角平分线，两条线的交点就是所求的点P，按题目要求保留作图痕迹、不写作法即可。
【答案】
如图所示.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于几何作图基础题，需要结合两个不同的几何性质确定点的位置，解题的关键是准确理解两个距离条件对应的几何轨迹，作图时要注意保留规范的作图痕迹，同时确保所作的点在题目要求的S区域内。
【难度系数】
0.7
