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12. 三种不同类型的地砖如图所示(各条边的长已给出),现有A类地砖16块,B类地砖48块,小明用这些地砖刚好拼成一个正方形(无缝隙且不重叠),那么小明所用C类地砖数为 (
A.36块
B.24块
C.12块
D.6块
A
)A.36块
B.24块
C.12块
D.6块
答案
12.A
解析
【分析】
解题时首先明确拼接前后总面积不变，先分别计算A、B两类地砖的总面积，再结合拼成的图形是正方形，可知总面积对应完全平方式，利用完全平方公式的结构特征即可推导得出需要的C类地砖数量。
【解析】
1. 计算单块地砖面积：
A类是边长为$m$的正方形，单块面积为$m^2$，16块A的总面积为$16m^2$；
B类是长为$m$、宽为$n$的长方形，单块面积为$mn$，48块B的总面积为$48mn$；
C类是边长为$n$的正方形，单块面积为$n^2$，设需要C类地砖$k$块，C的总面积为$kn^2$。
2. 结合完全平方公式计算：
所有地砖拼成正方形，因此总面积为完全平方式，即$16m^2+48mn+kn^2$是完全平方展开式。
由$16m^2=(4m)^2$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a=4m$，可得$2×4m× b=48mn$，解得$b=6n$。
因此完全平方式的常数项为$b^2=(6n)^2=36n^2$，即$kn^2=36n^2$，得$k=36$，即需要C类地砖36块。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，列代数式
【点评】
本题是代数与几何结合的应用题，核心是抓住拼接前后面积相等的特点，利用完全平方公式的结构特征求解，能很好地考查学生对公式的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确拼接前后总面积不变，先分别计算A、B两类地砖的总面积，再结合拼成的图形是正方形，可知总面积对应完全平方式，利用完全平方公式的结构特征即可推导得出需要的C类地砖数量。
【解析】
1. 计算单块地砖面积：
A类是边长为$m$的正方形，单块面积为$m^2$，16块A的总面积为$16m^2$；
B类是长为$m$、宽为$n$的长方形，单块面积为$mn$，48块B的总面积为$48mn$；
C类是边长为$n$的正方形，单块面积为$n^2$，设需要C类地砖$k$块，C的总面积为$kn^2$。
2. 结合完全平方公式计算：
所有地砖拼成正方形，因此总面积为完全平方式，即$16m^2+48mn+kn^2$是完全平方展开式。
由$16m^2=(4m)^2$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a=4m$，可得$2×4m× b=48mn$，解得$b=6n$。
因此完全平方式的常数项为$b^2=(6n)^2=36n^2$，即$kn^2=36n^2$，得$k=36$，即需要C类地砖36块。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，列代数式
【点评】
本题是代数与几何结合的应用题，核心是抓住拼接前后面积相等的特点，利用完全平方公式的结构特征求解，能很好地考查学生对公式的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
13.若$(2x - y)^2 + A = (2x + y)^2$，则代数式$A =$ （
A.$-4xy$
B.$4xy$
C.$-8xy$
D.$8xy$
D
）A.$-4xy$
B.$4xy$
C.$-8xy$
D.$8xy$
答案
13.D
解析
【分析】
本题可通过移项将代数式A单独放在等式一侧，即$A=(2x+y)^2 - (2x-y)^2$，再利用所学的完全平方公式分别展开两个完全平方式，最后通过去括号、合并同类项即可求出A的结果，是完全平方公式的典型应用题型。
【解析】
已知$(2x - y)^2 + A = (2x + y)^2$，移项可得：
$A=(2x + y)^2 - (2x - y)^2$
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分别展开两个式子：
$(2x + y)^2=4x^2 + 4xy + y^2$
$(2x - y)^2=4x^2 - 4xy + y^2$
将展开结果代入A的表达式：
$A=(4x^2 + 4xy + y^2) - (4x^2 - 4xy + y^2)$
去括号得：
$A=4x^2 + 4xy + y^2 - 4x^2 + 4xy - y^2$
合并同类项后：
$A=8xy$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式的加减运算
【点评】
本题属于整式运算中的基础常规题，核心考查对完全平方公式的识记与应用能力，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因符号计算失误失分。
【难度系数】
0.8
本题可通过移项将代数式A单独放在等式一侧，即$A=(2x+y)^2 - (2x-y)^2$，再利用所学的完全平方公式分别展开两个完全平方式，最后通过去括号、合并同类项即可求出A的结果，是完全平方公式的典型应用题型。
【解析】
已知$(2x - y)^2 + A = (2x + y)^2$，移项可得：
$A=(2x + y)^2 - (2x - y)^2$
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分别展开两个式子：
$(2x + y)^2=4x^2 + 4xy + y^2$
$(2x - y)^2=4x^2 - 4xy + y^2$
将展开结果代入A的表达式：
$A=(4x^2 + 4xy + y^2) - (4x^2 - 4xy + y^2)$
去括号得：
$A=4x^2 + 4xy + y^2 - 4x^2 + 4xy - y^2$
合并同类项后：
$A=8xy$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式的加减运算
【点评】
本题属于整式运算中的基础常规题，核心考查对完全平方公式的识记与应用能力，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因符号计算失误失分。
【难度系数】
0.8
14. $(-6a^6) ÷ (-\dfrac{1}{3}a^2)$的运算结果是 （
A.$2a^3$
B.$2a^4$
C.$18a^3$
D.$18a^4$
D
）A.$2a^3$
B.$2a^4$
C.$18a^3$
D.$18a^4$
答案
14.D
解析
【分析】
这是单项式除以单项式的运算题，解题时按照单项式除法法则分步计算即可：第一步先处理系数的除法，注意负号的运算规则，除以一个分数等于乘这个分数的倒数；第二步处理同底数幂的除法，按照法则底数不变，指数相减；最后把两部分结果相乘得到最终答案，再对应选项选择即可。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(-6a^6) ÷ (-\dfrac{1}{3}a^2)&=[(-6)÷(-\dfrac{1}{3})]×(a^6÷ a^2)\\&=(-6)×(-3)× a^{6-2}\\&=18a^4\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整式除法的运算法则，易错点是计算系数时误将除法直接当成乘法算错结果，或是计算同底数幂时错误将指数相乘，计算时分步处理系数和幂的部分就能有效避免错误。
【难度系数】
0.8
这是单项式除以单项式的运算题，解题时按照单项式除法法则分步计算即可：第一步先处理系数的除法，注意负号的运算规则，除以一个分数等于乘这个分数的倒数；第二步处理同底数幂的除法，按照法则底数不变，指数相减；最后把两部分结果相乘得到最终答案，再对应选项选择即可。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(-6a^6) ÷ (-\dfrac{1}{3}a^2)&=[(-6)÷(-\dfrac{1}{3})]×(a^6÷ a^2)\\&=(-6)×(-3)× a^{6-2}\\&=18a^4\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整式除法的运算法则，易错点是计算系数时误将除法直接当成乘法算错结果，或是计算同底数幂时错误将指数相乘，计算时分步处理系数和幂的部分就能有效避免错误。
【难度系数】
0.8
15. 如果一个单项式与$-5ab$的积为$-\frac{5}{8}a^2bc$，则这个单项式为（
A.$\frac{1}{8}a^2c$
B.$\frac{1}{8}ac$
C.$\frac{25}{8}a^3b^2c$
D.$\frac{25}{8}ac$
B
）A.$\frac{1}{8}a^2c$
B.$\frac{1}{8}ac$
C.$\frac{25}{8}a^3b^2c$
D.$\frac{25}{8}ac$
答案
15.B
解析
【分析】
要找到与$-5ab$相乘得到$-\frac{5}{8}a^2bc$的单项式，根据乘法和除法互为逆运算的关系，可知所求单项式等于乘积除以已知的单项式，接下来只需按照单项式除以单项式的运算法则逐步计算即可。
【解析】
根据题意，所求单项式为：
$(-\frac{5}{8}a^2bc) ÷ (-5ab)$
第一步：计算系数部分：$(-\frac{5}{8}) ÷ (-5) = \frac{5}{8} × \frac{1}{5} = \frac{1}{8}$
第二步：计算同底数幂部分：
$a^2 ÷ a = a^{2-1}=a$，$b ÷ b = b^{1-1}=1$
第三步：被除式中独有的字母$c$，连同它的指数一起作为商的因式，保留$c$
将以上结果合并，得到所求单项式为$\frac{1}{8}ac$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.单项式除法法则 2.同底数幂的除法
【点评】
本题考查单项式除法的基础应用，解题核心是利用乘除互逆的关系列出算式，计算时要注意系数的符号运算、同底数幂的指数运算规则，避免出现符号错误或指数计算错误。
【难度系数】
0.8
要找到与$-5ab$相乘得到$-\frac{5}{8}a^2bc$的单项式，根据乘法和除法互为逆运算的关系，可知所求单项式等于乘积除以已知的单项式，接下来只需按照单项式除以单项式的运算法则逐步计算即可。
【解析】
根据题意，所求单项式为：
$(-\frac{5}{8}a^2bc) ÷ (-5ab)$
第一步：计算系数部分：$(-\frac{5}{8}) ÷ (-5) = \frac{5}{8} × \frac{1}{5} = \frac{1}{8}$
第二步：计算同底数幂部分：
$a^2 ÷ a = a^{2-1}=a$，$b ÷ b = b^{1-1}=1$
第三步：被除式中独有的字母$c$，连同它的指数一起作为商的因式，保留$c$
将以上结果合并，得到所求单项式为$\frac{1}{8}ac$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.单项式除法法则 2.同底数幂的除法
【点评】
本题考查单项式除法的基础应用，解题核心是利用乘除互逆的关系列出算式，计算时要注意系数的符号运算、同底数幂的指数运算规则，避免出现符号错误或指数计算错误。
【难度系数】
0.8
16. 计算：
(1) $-12a^3b^2 ÷ (4ab^2)$；
(2) $(-2a^2b)^3 ÷ (-ab) · ( \frac{1}{2}a^2b )^3$；
(3) $(6x^4 - 8x^3) ÷ (2x^2)$；
(4) $(9x^5 + 12x^3 - 6x) ÷ (3x)$。
(1) $-12a^3b^2 ÷ (4ab^2)$；
(2) $(-2a^2b)^3 ÷ (-ab) · ( \frac{1}{2}a^2b )^3$；
(3) $(6x^4 - 8x^3) ÷ (2x^2)$；
(4) $(9x^5 + 12x^3 - 6x) ÷ (3x)$。
答案
16.解:(1)原式$=\frac{-12}{4}×\frac{a^3}{a}·\frac{b^2}{b^2}=-3a^2$.
(2)原式$= - 8a^6b^3 ÷ ( - ab) · ( \frac{1}{2}a^2b )^3 = 8a^5b^2 · \frac{1}{8}a^6b^3 = a^{11}b^5$.
(3)$(6x^4 - 8x^3) ÷ (2x^2) = 6x^4 ÷ (2x^2) - 8x^3 ÷ (2x^2) = 3x^2 - 4x$.
(4)$(9x^5 + 12x^3 - 6x) ÷ (3x) = 3x^4 + 4x^2 - 2$.
(2)原式$= - 8a^6b^3 ÷ ( - ab) · ( \frac{1}{2}a^2b )^3 = 8a^5b^2 · \frac{1}{8}a^6b^3 = a^{11}b^5$.
(3)$(6x^4 - 8x^3) ÷ (2x^2) = 6x^4 ÷ (2x^2) - 8x^3 ÷ (2x^2) = 3x^2 - 4x$.
(4)$(9x^5 + 12x^3 - 6x) ÷ (3x) = 3x^4 + 4x^2 - 2$.
解析
【分析】
这4道小题均考查整式的除法及相关混合运算，解题思路如下：①单项式除以单项式时，将系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母则连同它的指数一起作为商的因式；②多项式除以单项式时，先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，注意不要漏项；③乘除混合运算先算乘方，再按照从左到右的顺序计算，注意符号的处理。
【解析】
(1) 原式$=\frac{-12}{4}×\frac{a^3}{a}·\frac{b^2}{b^2}=-3a^2$
(2) 原式$= - 8a^6b^3 ÷ ( - ab) · ( \frac{1}{2}a^2b )^3 = 8a^5b^2 · \frac{1}{8}a^6b^3 = a^{11}b^5$
(3) $(6x^4 - 8x^3) ÷ (2x^2) = 6x^4 ÷ (2x^2) - 8x^3 ÷ (2x^2) = 3x^2 - 4x$
(4) $(9x^5 + 12x^3 - 6x) ÷ (3x) = 9x^5÷3x + 12x^3÷3x - 6x÷3x = 3x^4 + 4x^2 - 2$
【答案】
(1) $-3a^2$；(2) $a^{11}b^5$；(3) $3x^2-4x$；(4) $3x^4+4x^2-2$
【知识点】
1.单项式除以单项式 2.多项式除以单项式 3.整式乘除混合运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式除法运算法则的应用，计算时需注意系数符号、同底数幂的指数运算规则，混合运算要遵循先乘方后乘除的顺序，多项式除以单项式时要避免漏除项的问题。
【难度系数】
0.8
这4道小题均考查整式的除法及相关混合运算，解题思路如下：①单项式除以单项式时，将系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母则连同它的指数一起作为商的因式；②多项式除以单项式时，先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，注意不要漏项；③乘除混合运算先算乘方，再按照从左到右的顺序计算，注意符号的处理。
【解析】
(1) 原式$=\frac{-12}{4}×\frac{a^3}{a}·\frac{b^2}{b^2}=-3a^2$
(2) 原式$= - 8a^6b^3 ÷ ( - ab) · ( \frac{1}{2}a^2b )^3 = 8a^5b^2 · \frac{1}{8}a^6b^3 = a^{11}b^5$
(3) $(6x^4 - 8x^3) ÷ (2x^2) = 6x^4 ÷ (2x^2) - 8x^3 ÷ (2x^2) = 3x^2 - 4x$
(4) $(9x^5 + 12x^3 - 6x) ÷ (3x) = 9x^5÷3x + 12x^3÷3x - 6x÷3x = 3x^4 + 4x^2 - 2$
【答案】
(1) $-3a^2$；(2) $a^{11}b^5$；(3) $3x^2-4x$；(4) $3x^4+4x^2-2$
【知识点】
1.单项式除以单项式 2.多项式除以单项式 3.整式乘除混合运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式除法运算法则的应用，计算时需注意系数符号、同底数幂的指数运算规则，混合运算要遵循先乘方后乘除的顺序，多项式除以单项式时要避免漏除项的问题。
【难度系数】
0.8
