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1. (2025·安徽中考改编)下列方程中,有两个相等的实数根的是（
A.$x^{2}+1=0$
B.$x^{2}-2x+1=0$
C.$x^{2}+x+1=0$
D.$x^{2}+x-1=0$
B
）A.$x^{2}+1=0$
B.$x^{2}-2x+1=0$
C.$x^{2}+x+1=0$
D.$x^{2}+x-1=0$
答案
选项 A:$x^{2}+1=0,a=1,b=0,c=1,b^{2}-4ac=0^{2}-4×1×1=-4＜0$,无实数根,不符合题意;选项 B:$x^{2}-2x+1=0$,$a=1,b=-2,c=1,b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×1=4-4=0$,有两个相等的实数根,符合题意;选项 C:$x^{2}+x+1=0,a=1,b=1,c=1,b^{2}-4ac=1^{2}-4×1×1=1-4=-3＜0$,无实数根,不符合题意;选项 D:$x^{2}+x-1=0,a=1,b=1,c=-1,b^{2}-4ac=1^{2}-4×1×(-1)=1+4=5＞0$,有两个不相等的实数根,不符合题意;故选 B.
解析
【分析】要判断一元二次方程是否有两个相等的实数根，需运用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta ＞ 0$时，有两个不相等的实数根；$\Delta ＜ 0$时，无实数根。因此，只需对每个选项的方程确定$a、b、c$的值，计算$\Delta$，判断其是否等于0即可。
【解析】根据一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，逐一分析选项：
选项A：方程$x^2 + 1 = 0$可整理为$x^2 + 0x + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=0$，$c=1$，则$\Delta = 0^2 - 4×1×1 = -4 ＜ 0$，无实数根，不符合题意；
选项B：方程$x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，则$\Delta = (-2)^2 - 4×1×1 = 4 - 4 = 0$，有两个相等的实数根，符合题意；
选项C：方程$x^2 + x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=1$，$c=1$，则$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，无实数根，不符合题意；
选项D：方程$x^2 + x - 1 = 0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-1$，则$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5 ＞ 0$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，解题关键是准确确定方程中$a、b、c$的取值，计算判别式时注意符号的处理，避免计算失误。
【难度系数】0.8
【解析】根据一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，逐一分析选项：
选项A：方程$x^2 + 1 = 0$可整理为$x^2 + 0x + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=0$，$c=1$，则$\Delta = 0^2 - 4×1×1 = -4 ＜ 0$，无实数根，不符合题意；
选项B：方程$x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，则$\Delta = (-2)^2 - 4×1×1 = 4 - 4 = 0$，有两个相等的实数根，符合题意；
选项C：方程$x^2 + x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=1$，$c=1$，则$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，无实数根，不符合题意；
选项D：方程$x^2 + x - 1 = 0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-1$，则$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5 ＞ 0$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，解题关键是准确确定方程中$a、b、c$的取值，计算判别式时注意符号的处理，避免计算失误。
【难度系数】0.8
2. (广安中考)已知 $a,b,c$ 为常数,点 $P(a,c)$ 在第四象限,则关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+$$bx+c=0$ 的根的情况为（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判定
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判定
答案
∵ 点 $P(a,c)$ 在第四象限,
∴ $a＞0,c＜0,∴ ac＜0$,
∴ 方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 的根的判别式 $b^{2}-4ac＞0$,
∴ 方程有两个不相等的实数根,故选 B.
解析
【分析】首先根据点在第四象限的坐标特征，确定a、c的符号；再利用一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac，结合a、c的符号判断Δ的正负，进而确定方程根的情况。
【解析】
∵点P(a,c)在第四象限，
∴横坐标a＞0，纵坐标c＜0，因此ac＜0。对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其根的判别式Δ=b²-4ac，因为b²≥0，ac＜0，所以-4ac＞0，故Δ=b²-4ac＞0，因此方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】B
【知识点】象限内点的坐标特征；一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合平面直角坐标系中点的位置与一元二次方程根的判别式，考查基础知识点的综合应用，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】
∵点P(a,c)在第四象限，
∴横坐标a＞0，纵坐标c＜0，因此ac＜0。对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其根的判别式Δ=b²-4ac，因为b²≥0，ac＜0，所以-4ac＞0，故Δ=b²-4ac＞0，因此方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】B
【知识点】象限内点的坐标特征；一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合平面直角坐标系中点的位置与一元二次方程根的判别式，考查基础知识点的综合应用，难度适中。
【难度系数】0.7
3. (1) (2025·徐州模拟)若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+4x+k-1=0$有实数根,则$k$的取值范围是
(2) 新趋势 开放性试题 关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2\sqrt{3}x+4c=0$没有实数根,则$c=$
(3)(2024·广安中考改编)若关于$x$的一元二次方程$(m+1)x^{2}-2x+1=0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是
k≤5
.(2) 新趋势 开放性试题 关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2\sqrt{3}x+4c=0$没有实数根,则$c=$
1(答案不唯一)
(写出一个满足条件的值).(3)(2024·广安中考改编)若关于$x$的一元二次方程$(m+1)x^{2}-2x+1=0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是
m＜0且m≠-1
.答案
(1)$k≤5$ 解析:由题意得,$4^{2}-4×1×(k-1)≥0$,解得 $k≤5$.
(2)1(答案不唯一) 解析:$(2\sqrt{3})^{2}-4×1×4c＜0$,解得 $c＞\frac{3}{4}$,则 $c$ 可取 1.
(3)$m＜0$ 且 $m≠-1$ 解析:$(-2)^{2}-4×1×(m+1)＞0$ 且 $m+1≠0$,解得 $m＜0$ 且 $m≠-1$.
(2)1(答案不唯一) 解析:$(2\sqrt{3})^{2}-4×1×4c＜0$,解得 $c＞\frac{3}{4}$,则 $c$ 可取 1.
(3)$m＜0$ 且 $m≠-1$ 解析:$(-2)^{2}-4×1×(m+1)＞0$ 且 $m+1≠0$,解得 $m＜0$ 且 $m≠-1$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的情况由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：$\Delta≥0$时方程有实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根，$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根；同时需注意一元二次方程的二次项系数不能为0，需结合题目条件列出参数的不等式，求解即可。
【解析】
(1) 方程$x^2+4x+k-1=0$是一元二次方程，其中$a=1$，$b=4$，$c=k-1$。因方程有实数根，故$\Delta≥0$，即：
$\Delta=4^2-4×1×(k-1)=16-4(k-1)=20-4k≥0$，
解得$k≤5$。
(2) 方程$x^2+2\sqrt{3}x+4c=0$是一元二次方程，其中$a=1$，$b=2\sqrt{3}$，$c=4c$。因方程无实数根，故$\Delta＜0$，即：
$\Delta=(2\sqrt{3})^2-4×1×4c=12-16c＜0$，
解得$c＞\frac{3}{4}$，取$c=1$（答案不唯一）。
(3) 方程$(m+1)x^2-2x+1=0$是一元二次方程，故二次项系数$m+1≠0$，即$m≠-1$；又因方程有两个不相等的实数根，故$\Delta＞0$，其中$a=m+1$，$b=-2$，$c=1$，则：
$\Delta=(-2)^2-4×(m+1)×1=4-4(m+1)=-4m＞0$，
解得$m＜0$，结合$m≠-1$，得$m＜0$且$m≠-1$。
【答案】
(1)$k≤5$；(2)$1$（答案不唯一）；(3)$m＜0$且$m≠-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义
【点评】
本题围绕一元二次方程根的判别式设置，涵盖了“有实根”“无实根”“两个不相等实根”三种情况的应用，解题时需准确把握判别式与根的对应关系，同时注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免遗漏条件导致错误，属于基础代数应用题型。
【难度系数】
0.6
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的情况由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：$\Delta≥0$时方程有实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根，$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根；同时需注意一元二次方程的二次项系数不能为0，需结合题目条件列出参数的不等式，求解即可。
【解析】
(1) 方程$x^2+4x+k-1=0$是一元二次方程，其中$a=1$，$b=4$，$c=k-1$。因方程有实数根，故$\Delta≥0$，即：
$\Delta=4^2-4×1×(k-1)=16-4(k-1)=20-4k≥0$，
解得$k≤5$。
(2) 方程$x^2+2\sqrt{3}x+4c=0$是一元二次方程，其中$a=1$，$b=2\sqrt{3}$，$c=4c$。因方程无实数根，故$\Delta＜0$，即：
$\Delta=(2\sqrt{3})^2-4×1×4c=12-16c＜0$，
解得$c＞\frac{3}{4}$，取$c=1$（答案不唯一）。
(3) 方程$(m+1)x^2-2x+1=0$是一元二次方程，故二次项系数$m+1≠0$，即$m≠-1$；又因方程有两个不相等的实数根，故$\Delta＞0$，其中$a=m+1$，$b=-2$，$c=1$，则：
$\Delta=(-2)^2-4×(m+1)×1=4-4(m+1)=-4m＞0$，
解得$m＜0$，结合$m≠-1$，得$m＜0$且$m≠-1$。
【答案】
(1)$k≤5$；(2)$1$（答案不唯一）；(3)$m＜0$且$m≠-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义
【点评】
本题围绕一元二次方程根的判别式设置，涵盖了“有实根”“无实根”“两个不相等实根”三种情况的应用，解题时需准确把握判别式与根的对应关系，同时注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免遗漏条件导致错误，属于基础代数应用题型。
【难度系数】
0.6
4. 在平面直角坐标系中,若直线 $y=-x+m$ 不经过第一象限,则关于 $x$ 的方程 $mx^2+x+1=0$ 的实数根的个数为
1或2
.答案
1 或 2 解析:
∵ 直线 $y=-x+m$ 不经过第一象限,
∴ $m≤0$,当 $m=0$ 时,方程 $mx^{2}+x+1=0$ 是一次方程,有一个根;当 $m＜0$ 时,关于 $x$ 的方程 $mx^{2}+x+1=0$,$b^{2}-4ac=1-4m＞0$,
∴ 关于 $x$ 的方程 $mx^{2}+x+1=0$ 有两个不相等的实数根,故答案为 1 或 2.
∵ 直线 $y=-x+m$ 不经过第一象限,
∴ $m≤0$,当 $m=0$ 时,方程 $mx^{2}+x+1=0$ 是一次方程,有一个根;当 $m＜0$ 时,关于 $x$ 的方程 $mx^{2}+x+1=0$,$b^{2}-4ac=1-4m＞0$,
∴ 关于 $x$ 的方程 $mx^{2}+x+1=0$ 有两个不相等的实数根,故答案为 1 或 2.
解析
【分析】
先根据一次函数$y=-x+m$不经过第一象限，确定参数$m$的取值范围；再针对方程$mx^2+x+1=0$，分$m=0$（一次方程）和$m＜0$（二次方程）两种情况，分别判断根的个数，最终得出结果。
【解析】
1. 确定$m$的取值：直线$y=-x+m$中，斜率$k=-1＜0$，图像过二、四象限；若直线不经过第一象限，则截距$m≤0$（$m=0$时过原点，$m＜0$时过二、三、四象限，均不过第一象限）。
2. 分情况讨论方程的根：
当$m=0$时，方程$mx^2+x+1=0$化为一次方程$x+1=0$，解得$x=-1$，有$1$个实数根；
当$m＜0$时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4× m×1 = 1-4m$，因$m＜0$，故$-4m＞0$，则$\Delta=1-4m＞0$，方程有两个不相等的实数根。
综上，方程的实数根个数为$1$或$2$。
【答案】
1或2
【知识点】
一次函数图像性质、一元二次方程根的判别式、一次方程的解
【点评】
本题需结合一次函数图像确定参数范围，核心是分类讨论方程的类型（一次/二次），易忽略$m=0$的特殊情况，考查分类思想的应用。
【难度系数】
0.6
先根据一次函数$y=-x+m$不经过第一象限，确定参数$m$的取值范围；再针对方程$mx^2+x+1=0$，分$m=0$（一次方程）和$m＜0$（二次方程）两种情况，分别判断根的个数，最终得出结果。
【解析】
1. 确定$m$的取值：直线$y=-x+m$中，斜率$k=-1＜0$，图像过二、四象限；若直线不经过第一象限，则截距$m≤0$（$m=0$时过原点，$m＜0$时过二、三、四象限，均不过第一象限）。
2. 分情况讨论方程的根：
当$m=0$时，方程$mx^2+x+1=0$化为一次方程$x+1=0$，解得$x=-1$，有$1$个实数根；
当$m＜0$时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4× m×1 = 1-4m$，因$m＜0$，故$-4m＞0$，则$\Delta=1-4m＞0$，方程有两个不相等的实数根。
综上，方程的实数根个数为$1$或$2$。
【答案】
1或2
【知识点】
一次函数图像性质、一元二次方程根的判别式、一次方程的解
【点评】
本题需结合一次函数图像确定参数范围，核心是分类讨论方程的类型（一次/二次），易忽略$m=0$的特殊情况，考查分类思想的应用。
【难度系数】
0.6
5. 教材变式 不解方程,判别方程根的情况.
(1)$(x+3)(x+5)=-1$;
(2)$\dfrac{\sqrt{3}}{2}x^{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x-1$.
(1)$(x+3)(x+5)=-1$;
(2)$\dfrac{\sqrt{3}}{2}x^{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x-1$.
答案
(1)原方程化成一般式为 $x^{2}+8x+16=0$,
∵ $b^{2}-4ac=8^{2}-4×16=0$,
∴ 原方程有两个相等的实数根.
(2)原方程化成一般式为 $\sqrt{3}x^{2}-\sqrt{2}x+2=0$,
∵ $b^{2}-4ac=(-\sqrt{2})^{2}-4×\sqrt{3}×2=2-8\sqrt{3}＜0$,
∴ 原方程无实数根.
∵ $b^{2}-4ac=8^{2}-4×16=0$,
∴ 原方程有两个相等的实数根.
(2)原方程化成一般式为 $\sqrt{3}x^{2}-\sqrt{2}x+2=0$,
∵ $b^{2}-4ac=(-\sqrt{2})^{2}-4×\sqrt{3}×2=2-8\sqrt{3}＜0$,
∴ 原方程无实数根.
解析
【分析】
要判别一元二次方程根的情况，需利用根的判别式Δ=b²-4ac，解题步骤为：①将每个方程整理为一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）；②确定a、b、c的值（注意符号）；③计算判别式Δ=b²-4ac；④根据Δ的符号判断根的情况：Δ＞0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时无实数根。
【解析】
(1) 先将原方程化为一般式：展开左边得(x+3)(x+5)=x²+8x+15，移项得x²+8x+15+1=0，即x²+8x+16=0。其中a=1，b=8，c=16，计算Δ=b²-4ac=8²-4×1×16=64-64=0，因此原方程有两个相等的实数根。
(2) 原方程两边同乘2消去分母得√3 x²=√2 x -2，移项整理为一般式：√3 x² -√2 x +2=0。其中a=√3，b=-√2，c=2，计算Δ=(-√2)² -4×√3×2=2-8√3，因为8√3≈13.86，所以2-8√3＜0，因此原方程无实数根。
【答案】
(1) 原方程有两个相等的实数根；(2) 原方程无实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为教材变式题，聚焦一元二次方程根的判别式的基础应用，解题核心是正确将方程化为一般式并准确确定a、b、c的值，计算判别式判断根的情况，属于基础题型，需注意移项时的符号处理，避免出错。
【难度系数】
0.7
要判别一元二次方程根的情况，需利用根的判别式Δ=b²-4ac，解题步骤为：①将每个方程整理为一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）；②确定a、b、c的值（注意符号）；③计算判别式Δ=b²-4ac；④根据Δ的符号判断根的情况：Δ＞0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时无实数根。
【解析】
(1) 先将原方程化为一般式：展开左边得(x+3)(x+5)=x²+8x+15，移项得x²+8x+15+1=0，即x²+8x+16=0。其中a=1，b=8，c=16，计算Δ=b²-4ac=8²-4×1×16=64-64=0，因此原方程有两个相等的实数根。
(2) 原方程两边同乘2消去分母得√3 x²=√2 x -2，移项整理为一般式：√3 x² -√2 x +2=0。其中a=√3，b=-√2，c=2，计算Δ=(-√2)² -4×√3×2=2-8√3，因为8√3≈13.86，所以2-8√3＜0，因此原方程无实数根。
【答案】
(1) 原方程有两个相等的实数根；(2) 原方程无实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为教材变式题，聚焦一元二次方程根的判别式的基础应用，解题核心是正确将方程化为一般式并准确确定a、b、c的值，计算判别式判断根的情况，属于基础题型，需注意移项时的符号处理，避免出错。
【难度系数】
0.7
6. (2025·镇江期中) 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+$ $(2k+1)x+k^{2}=0$ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $k$ 的取值范围；
(2) 试说明: 无论 $k$ 取何值, $x=2$ 都不可能是原方程的根.
(1) 求 $k$ 的取值范围；
(2) 试说明: 无论 $k$ 取何值, $x=2$ 都不可能是原方程的根.
答案
(1)
∵ $x^{2}+(2k+1)x+k^{2}=0$,
∴ $a=1,b=2k+1,c=k^{2}$,
∴ $b^{2}-4ac=(2k+1)^{2}-4k^{2}=4k+1$.
∵ 方程有两个不相等的实数根,
∴ $4k+1＞0$,解得 $k＞-\frac{1}{4}$.
(2)将 $x=2$ 代入方程得 $4+2(2k+1)+k^{2}=0$,整理得 $k^{2}+4k+6=0$,对于关于 $k$ 的方程 $k^{2}+4k+6=0$,其根的判别式为 $b^{2}-4ac=16-24=-8＜0$,
∴ $k$ 无解,
∴ 无论 $k$ 取何值,$x=2$ 都不可能是原方程的根.
∵ $x^{2}+(2k+1)x+k^{2}=0$,
∴ $a=1,b=2k+1,c=k^{2}$,
∴ $b^{2}-4ac=(2k+1)^{2}-4k^{2}=4k+1$.
∵ 方程有两个不相等的实数根,
∴ $4k+1＞0$,解得 $k＞-\frac{1}{4}$.
(2)将 $x=2$ 代入方程得 $4+2(2k+1)+k^{2}=0$,整理得 $k^{2}+4k+6=0$,对于关于 $k$ 的方程 $k^{2}+4k+6=0$,其根的判别式为 $b^{2}-4ac=16-24=-8＜0$,
∴ $k$ 无解,
∴ 无论 $k$ 取何值,$x=2$ 都不可能是原方程的根.
解析
【分析】
要解决这道题，需利用一元二次方程根的判别式和方程根的定义：
1. 对于一元二次方程，若有两个不相等的实数根，需满足判别式Δ＞0，据此可求k的取值范围；
2. 要判断x=2是否为原方程的根，将x=2代入原方程，整理为关于k的方程，若该方程无实数解，则说明x=2不可能是原方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$，其中$a=1$，$b=2k+1$，$c=k^2$，
则判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (2k+1)^2 - 4×1×k^2 = 4k + 1$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即$4k + 1＞0$，解得$k＞-\frac{1}{4}$。
(2) 将$x=2$代入原方程，得$2^2 + (2k+1)×2 + k^2 = 0$，
整理得$k^2 + 4k + 6 = 0$。
对于关于k的方程$k^2 + 4k + 6 = 0$，其判别式$\Delta' = 4^2 - 4×1×6 = -8＜0$，
因此该方程无实数根，即不存在实数k使得$x=2$是原方程的根，故无论k取何值，$x=2$都不可能是原方程的根。
【答案】
(1)$k＞-\frac{1}{4}$；(2)无论k取何值，$x=2$都不可能是原方程的根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和方程根的定义的基础应用，解题思路清晰，步骤明确，是常规题型，需熟练掌握判别式的计算和代入验证的方法。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需利用一元二次方程根的判别式和方程根的定义：
1. 对于一元二次方程，若有两个不相等的实数根，需满足判别式Δ＞0，据此可求k的取值范围；
2. 要判断x=2是否为原方程的根，将x=2代入原方程，整理为关于k的方程，若该方程无实数解，则说明x=2不可能是原方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$，其中$a=1$，$b=2k+1$，$c=k^2$，
则判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (2k+1)^2 - 4×1×k^2 = 4k + 1$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即$4k + 1＞0$，解得$k＞-\frac{1}{4}$。
(2) 将$x=2$代入原方程，得$2^2 + (2k+1)×2 + k^2 = 0$，
整理得$k^2 + 4k + 6 = 0$。
对于关于k的方程$k^2 + 4k + 6 = 0$，其判别式$\Delta' = 4^2 - 4×1×6 = -8＜0$，
因此该方程无实数根，即不存在实数k使得$x=2$是原方程的根，故无论k取何值，$x=2$都不可能是原方程的根。
【答案】
(1)$k＞-\frac{1}{4}$；(2)无论k取何值，$x=2$都不可能是原方程的根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和方程根的定义的基础应用，解题思路清晰，步骤明确，是常规题型，需熟练掌握判别式的计算和代入验证的方法。
【难度系数】
0.6
7. (2026·宿迁月考)已知 a,b,c 分别是三角形的三边长,则方程$(a+b)x^{2}+2cx+(a+b)=0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
D
）A.有两个不相等的实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
答案
D 解析:
∵ $a,b,c$ 分别是三角形的三边,
∴ $a+b＞c$,即 $c-a-b＜0$,
∴ 根的判别式为 $(2c)^{2}-4(a+b)^{2}=(2c+2a+2b)·(2c-2a-2b)=4(c+a+b)(c-a-b)＜0$,
∴ 方程没有实数根.故选 D.
∵ $a,b,c$ 分别是三角形的三边,
∴ $a+b＞c$,即 $c-a-b＜0$,
∴ 根的判别式为 $(2c)^{2}-4(a+b)^{2}=(2c+2a+2b)·(2c-2a-2b)=4(c+a+b)(c-a-b)＜0$,
∴ 方程没有实数根.故选 D.
解析
【分析】要判断一元二次方程根的情况，需先计算根的判别式Δ，再结合三角形三边关系判断Δ的正负：①确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式计算Δ；②利用三角形两边之和大于第三边的性质，判断Δ的符号；③根据Δ的符号确定方程根的情况。
【解析】对于一元二次方程$(a+b)x^2 + 2cx + (a+b)=0$，其根的判别式为：
$\Delta=(2c)^2 - 4(a+b)(a+b)=4c^2 - 4(a+b)^2$
利用平方差公式因式分解得：
$\Delta=4[c^2 - (a+b)^2]=4(c+a+b)(c - a - b)$
因为$a,b,c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，所以$a+b ＞ c$，即$c - a - b ＜ 0$；又因为三角形边长均为正数，所以$a+b+c ＞ 0$。
因此$\Delta=4×(正数)×(负数)=负数$，即$\Delta ＜ 0$，故该方程没有实数根。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式、三角形三边关系
【点评】本题结合三角形三边关系考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是掌握判别式的计算方法和三角形三边的性质，属于基础题型，需注意判别式的符号判断及因式分解的正确性。
【难度系数】0.6
【解析】对于一元二次方程$(a+b)x^2 + 2cx + (a+b)=0$，其根的判别式为：
$\Delta=(2c)^2 - 4(a+b)(a+b)=4c^2 - 4(a+b)^2$
利用平方差公式因式分解得：
$\Delta=4[c^2 - (a+b)^2]=4(c+a+b)(c - a - b)$
因为$a,b,c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，所以$a+b ＞ c$，即$c - a - b ＜ 0$；又因为三角形边长均为正数，所以$a+b+c ＞ 0$。
因此$\Delta=4×(正数)×(负数)=负数$，即$\Delta ＜ 0$，故该方程没有实数根。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式、三角形三边关系
【点评】本题结合三角形三边关系考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是掌握判别式的计算方法和三角形三边的性质，属于基础题型，需注意判别式的符号判断及因式分解的正确性。
【难度系数】0.6
8. 已知直线 $y=-x+4$ 与双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 只有一个交点,将直线向上平移1个单位长度后与双曲线相交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点, $y_1＞y_2$,则点 $A$ 的坐标为（
A.$(1,4)$
B.$(4,1)$
C.$(2,3)$
D.$(2,4)$
A
）A.$(1,4)$
B.$(4,1)$
C.$(2,3)$
D.$(2,4)$
答案
A 解析:令 $-x+4=\frac{k}{x}$,整理得 $x^{2}-4x+k=0$.
∵ 直线 $y=-x+4$ 与双曲线 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 只有一个交点,
∴ $b^{2}-4ac=16-4k=0$,解得 $k=4$,
∴ 双曲线 $y=\frac{4}{x}(x＞0)$,将直线 $y=-x+4$ 向上平移 1 个单位长度后得直线 $y=-x+5$,联立 $\begin{cases} y=-x+5,\\ y=\frac{4}{x},\\ \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=1,\\ y=4\\ \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=4,\\ y=1,\\ \end{cases}$
∵ $y_1＞y_2$,
∴ $A(1,4),B(4,1)$.故选 A.
∵ 直线 $y=-x+4$ 与双曲线 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 只有一个交点,
∴ $b^{2}-4ac=16-4k=0$,解得 $k=4$,
∴ 双曲线 $y=\frac{4}{x}(x＞0)$,将直线 $y=-x+4$ 向上平移 1 个单位长度后得直线 $y=-x+5$,联立 $\begin{cases} y=-x+5,\\ y=\frac{4}{x},\\ \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=1,\\ y=4\\ \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=4,\\ y=1,\\ \end{cases}$
∵ $y_1＞y_2$,
∴ $A(1,4),B(4,1)$.故选 A.
解析
【分析】
要解决本题，需分三步思考：① 直线与双曲线只有一个交点，说明联立后一元二次方程的判别式为0，据此求出双曲线的参数k；② 根据直线平移规则，向上平移1个单位得到新直线的解析式；③ 联立平移后的直线与双曲线，解方程组，结合$y_1＞y_2$确定点A的坐标。
【解析】
1. 求双曲线的k值：将直线$y=-x+4$与双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$联立，得$-x+4=\frac{k}{x}$，整理为一元二次方程：$x^2 -4x +k=0$。因为直线与双曲线只有一个交点，所以判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 -4×1×k =16-4k=0$，解得$k=4$，即双曲线解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
2. 平移直线：直线向上平移1个单位，解析式变为$y=-x+4+1=-x+5$。
3. 求交点坐标：联立平移后的直线与双曲线，得$\begin{cases}y=-x+5\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$，消去y得$-x+5=\frac{4}{x}$，整理为$x^2 -5x +4=0$，解得$x=1$或$x=4$。对应y值：当$x=1$时，$y=4$；当$x=4$时，$y=1$。因为$y_1＞y_2$，所以点A的坐标为$(1,4)$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数与一次函数交点、一元二次方程判别式
【点评】
本题综合考查函数交点与方程的关系、判别式的应用及函数平移规则，步骤清晰，是中等难度的函数综合题，需掌握联立方程求解交点的方法。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需分三步思考：① 直线与双曲线只有一个交点，说明联立后一元二次方程的判别式为0，据此求出双曲线的参数k；② 根据直线平移规则，向上平移1个单位得到新直线的解析式；③ 联立平移后的直线与双曲线，解方程组，结合$y_1＞y_2$确定点A的坐标。
【解析】
1. 求双曲线的k值：将直线$y=-x+4$与双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$联立，得$-x+4=\frac{k}{x}$，整理为一元二次方程：$x^2 -4x +k=0$。因为直线与双曲线只有一个交点，所以判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 -4×1×k =16-4k=0$，解得$k=4$，即双曲线解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
2. 平移直线：直线向上平移1个单位，解析式变为$y=-x+4+1=-x+5$。
3. 求交点坐标：联立平移后的直线与双曲线，得$\begin{cases}y=-x+5\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$，消去y得$-x+5=\frac{4}{x}$，整理为$x^2 -5x +4=0$，解得$x=1$或$x=4$。对应y值：当$x=1$时，$y=4$；当$x=4$时，$y=1$。因为$y_1＞y_2$，所以点A的坐标为$(1,4)$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数与一次函数交点、一元二次方程判别式
【点评】
本题综合考查函数交点与方程的关系、判别式的应用及函数平移规则，步骤清晰，是中等难度的函数综合题，需掌握联立方程求解交点的方法。
【难度系数】
0.6
9. 已知命题“关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+bx+1=$0, 当 $b＜0$ 时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是
b=-1(答案不唯一)
.答案
$b=-1$(答案不唯一) 解析:关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+bx+1=0$ 有实数解时,$b^{2}-4ac=b^{2}-4≥0$,解得 $b≥2$ 或 $b≤-2$,由于当 $b=-1$ 时,满足 $b＜0$,而 $b^{2}-4ac＜0$,方程没有实数解,所以当 $b=-1$ 时,可说明这个命题是假命题.
解析
【分析】要判断一个命题是假命题，只需找到满足命题条件但不满足命题结论的反例。本题命题的条件是“$b＜0$”，结论是“一元二次方程$x^2+bx+1=0$有实数解”，因此需找到$b＜0$时方程无实数解的$b$值。首先回忆一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta =b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时方程无实数解，据此确定$b$的取值范围，再从中选取符合$b＜0$的反例即可。
【解析】对于一元二次方程$x^2+bx+1=0$，其中$a=1$，$c=1$，其判别式$\Delta =b^2 - 4×1×1 = b^2 -4$。方程有实数解的条件是$\Delta≥0$，即$b^2 -4≥0$，解得$b≥2$或$b≤-2$。命题要求当$b＜0$时方程必有实数解，因此只需找一个满足$b＜0$但不满足$b≤-2$的$b$值，例如取$b=-1$：此时$b=-1＜0$，满足命题的条件；计算判别式$\Delta =(-1)^2 -4=1-4=-3＜0$，方程无实数解，不满足命题的结论，故$b=-1$可作为该命题是假命题的反例（答案不唯一）。
【答案】$b=-1$（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式、命题与反例
【点评】本题结合一元二次方程根的判别式考查命题的真假判断，核心是利用判别式确定方程无实根时$b$的范围，再结合命题条件选取反例，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】对于一元二次方程$x^2+bx+1=0$，其中$a=1$，$c=1$，其判别式$\Delta =b^2 - 4×1×1 = b^2 -4$。方程有实数解的条件是$\Delta≥0$，即$b^2 -4≥0$，解得$b≥2$或$b≤-2$。命题要求当$b＜0$时方程必有实数解，因此只需找一个满足$b＜0$但不满足$b≤-2$的$b$值，例如取$b=-1$：此时$b=-1＜0$，满足命题的条件；计算判别式$\Delta =(-1)^2 -4=1-4=-3＜0$，方程无实数解，不满足命题的结论，故$b=-1$可作为该命题是假命题的反例（答案不唯一）。
【答案】$b=-1$（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式、命题与反例
【点评】本题结合一元二次方程根的判别式考查命题的真假判断，核心是利用判别式确定方程无实根时$b$的范围，再结合命题条件选取反例，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.3
10. 如果实数 $x$ 满足 $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-2(x+\dfrac{1}{x})-1=0$,那么$x+\dfrac{1}{x}$的值是
3
.答案
3 解析:
∵ $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2(x+\frac{1}{x})-1=0$,
∴ $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2-2(x+\frac{1}{x})-3=0$,$(x+\frac{1}{x})^{2}-2(x+\frac{1}{x})-3=0$,设 $x+\frac{1}{x}=m$,则 $m^{2}-2m-3=0$,$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-3)=16$,$m=\frac{2±4}{2}$,解得 $m=3$ 或 $m=-1$,当 $m=3$ 时,即 $x+\frac{1}{x}=3$,整理得 $x^{2}-3x+1=0$,验证得此方程有解,
∴ $x+\frac{1}{x}$ 的值为 3;当 $m=-1$ 时,即 $x+\frac{1}{x}=-1$,整理得 $x^{2}+x+1=0$,验证得此方程无解,舍去.综上所述,$x+\frac{1}{x}$ 的值为 3.
∵ $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2(x+\frac{1}{x})-1=0$,
∴ $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2-2(x+\frac{1}{x})-3=0$,$(x+\frac{1}{x})^{2}-2(x+\frac{1}{x})-3=0$,设 $x+\frac{1}{x}=m$,则 $m^{2}-2m-3=0$,$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-3)=16$,$m=\frac{2±4}{2}$,解得 $m=3$ 或 $m=-1$,当 $m=3$ 时,即 $x+\frac{1}{x}=3$,整理得 $x^{2}-3x+1=0$,验证得此方程有解,
∴ $x+\frac{1}{x}$ 的值为 3;当 $m=-1$ 时,即 $x+\frac{1}{x}=-1$,整理得 $x^{2}+x+1=0$,验证得此方程无解,舍去.综上所述,$x+\frac{1}{x}$ 的值为 3.
解析
【分析】首先观察原方程，发现含有$x^2+\frac{1}{x^2}$，可利用完全平方公式将其转化为$(x+\frac{1}{x})^2 -2$，从而将原方程转化为关于$x+\frac{1}{x}$的一元二次方程，采用换元法简化计算；解出换元后的方程的根后，需根据$x$为实数的条件，验证根的合理性，舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】原方程为$x^2 + \frac{1}{x^2} - 2(x + \frac{1}{x}) -1 =0$，根据完全平方公式$a^2 + b^2=(a+b)^2 -2ab$，令$a=x$，$b=\frac{1}{x}$，则$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x + \frac{1}{x})^2 -2$，代入原方程得：
$(x + \frac{1}{x})^2 -2 -2(x + \frac{1}{x}) -1 =0$，整理得：
$(x + \frac{1}{x})^2 -2(x + \frac{1}{x}) -3=0$
设$m = x + \frac{1}{x}$，则方程变为$m^2 -2m -3=0$，解这个一元二次方程：
判别式$\Delta=(-2)^2 -4×1×(-3)=4 +12=16$，
所以$m=\frac{2±\sqrt{16}}{2×1}=\frac{2±4}{2}$，
解得$m_1=3$，$m_2=-1$。
接下来验证解的合理性：
当$m=3$时，$x + \frac{1}{x}=3$，整理得$x^2 -3x +1=0$，判别式$\Delta=(-3)^2 -4×1×1=5＞0$，方程有实根，符合条件；
当$m=-1$时，$x + \frac{1}{x}=-1$，整理得$x^2 +x +1=0$，判别式$\Delta=1^2 -4×1×1=-3＜0$，方程无实根，舍去。
因此，$x + \frac{1}{x}$的值为3。
【答案】3
【知识点】换元法、完全平方公式、一元二次方程的解
【点评】本题通过换元法将复杂的分式方程转化为一元二次方程，简化了计算过程，关键在于利用完全平方公式对原式变形，同时需注意换元后要验证根的合理性，确保解符合实数的条件，避免出错。
【难度系数】0.5
【解析】原方程为$x^2 + \frac{1}{x^2} - 2(x + \frac{1}{x}) -1 =0$，根据完全平方公式$a^2 + b^2=(a+b)^2 -2ab$，令$a=x$，$b=\frac{1}{x}$，则$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x + \frac{1}{x})^2 -2$，代入原方程得：
$(x + \frac{1}{x})^2 -2 -2(x + \frac{1}{x}) -1 =0$，整理得：
$(x + \frac{1}{x})^2 -2(x + \frac{1}{x}) -3=0$
设$m = x + \frac{1}{x}$，则方程变为$m^2 -2m -3=0$，解这个一元二次方程：
判别式$\Delta=(-2)^2 -4×1×(-3)=4 +12=16$，
所以$m=\frac{2±\sqrt{16}}{2×1}=\frac{2±4}{2}$，
解得$m_1=3$，$m_2=-1$。
接下来验证解的合理性：
当$m=3$时，$x + \frac{1}{x}=3$，整理得$x^2 -3x +1=0$，判别式$\Delta=(-3)^2 -4×1×1=5＞0$，方程有实根，符合条件；
当$m=-1$时，$x + \frac{1}{x}=-1$，整理得$x^2 +x +1=0$，判别式$\Delta=1^2 -4×1×1=-3＜0$，方程无实根，舍去。
因此，$x + \frac{1}{x}$的值为3。
【答案】3
【知识点】换元法、完全平方公式、一元二次方程的解
【点评】本题通过换元法将复杂的分式方程转化为一元二次方程，简化了计算过程，关键在于利用完全平方公式对原式变形，同时需注意换元后要验证根的合理性，确保解符合实数的条件，避免出错。
【难度系数】0.5
